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江西省吉安市白鹭洲中学2014—学年高二数学下学期期中试题 文_图文

白鹭洲中学 度下学期高二年级期中考试 数学试卷(文)
考生注意: 1、本试卷由试卷 I、II 卷两部分组成,试卷所有答题都必须写在答题卡上。 2、答题卡与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。 3、考试时间为 120 分钟,试卷满分为 150 分。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.若复数 z 满足 (1 ? i ) ? z ? 3 ? i ,则 z ? ( ) D. 1 ? 2i

A . 4 ? 4i

B . 2 ? 4i

C . 2 ? 2i

2、一个袋中装有大小相同的 5 个白球和 3 个红球,现在不放回的取 2 次球,每次取出一个 球,记“第 1 次拿出的是白球”为事件 A, “第 2 次拿出的是白球”为事件 B,则事件 A 与 B 同时发生的概率是( )

5 A.8

B

5 . 16

4 C.7

5 D . 14

3.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下一组数据:

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70 )

若 y 与 x 之间的关系符合回归直线方程 y ? 6.5 x ? a ,则 a 的值是(

?

A .17.5

B .27.5
2

C .17

D .14
)

4.“ a =-1 ”是“直线 a x - y +1= 0 与直线 x - ay - 2 = 0 互相垂直”的(

A .充分不必要条件 B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

5.下列命题中真命题的个数为( ) ①过平面 ? 外的两点,有且只有一个平面与 ? 垂直; ②若平面 ? 内有不共线的三点到平 面 ? 的距离相等,则 ? ∥ ? ; ③若直线 l 与平面 ? 内无数条直线垂直,则 l ? ? ; ④两异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线.

A.0个

B .1个

C .2个

D.3个

1

1 2 ? 6.已知 a, b ? R ,且 2a ? b ? 2 ,则使得 a b 取 得最小值的 a , b 分别是(
?



A .2,2

1 ,1 B.2

1 3 , C .4 2

1 1 , D .2 2

2 7. 已知命题 p : “若 m ? 0 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实数解”的逆命题;命题 q : “若函数

f ( x) ? lg( x 2 ? 2x ? a) 的值域为 R,则 a ?1” .以下四个结论正确的是(




p 是真命题;② p ? q 是假命题;③ p ? q 是假命题;④ ? q 为假命题. B .② ③

A .① ②

C .① ③

D .② ④

8. 如图,正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直,且 AC=BC=2, ∠ACB=90°,F,G 分别是线段 AE,BC 的中点,则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为( )

A.

3 6

B .

?

3 6

C .
2

3 3

D .

?

3 3

9.已知点 A(2, 0) ,抛物线 C : x ? 4 y 的焦点为 F ,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M ,与 其准线相交于点 N ,则

FM : MN ?

(

)

A .2∶ 5

B .1∶2

C .1∶ 5

D .1∶3
侧视图 )

10.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为(

A . 12 3?

B . 12?

C . 4 3?

D . 3?

11. 设 关 于

x, y 的 不 等 式 组

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? m ? 0, ?y ? m ? 0 ?


表示的平面区域内存在点

P ( x0 , y0 )

,满足

x0 - 2 y0 = 2 ,求得 m 的取值范围是(

1 2 4 (??, ) (??, ? ) (??, ) 3 C. 3 3 B. A.
2

5 (??, ? ) 3 D.

12. 曲线 y ? 4 ? x ? 1(?2 ? x ? 2) 与直线 y ? kx ? 2k ? 4 有两个不同的交点时, 则实数 k

2

的取值范围是 (



5 3 ( , ] A . 12 4

5 , ?? ) B . 12 (

1 3 ( , ] C. 3 4

D .

(??,

5 3 ) ? ( , ??) 12 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 从 1 ? 1 , 2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 中,得第 n 个等式是__________.
2 2 2

? 2 ? sin(? ? ) ?
14 已知直线的极坐标方程为
2

4

2 ,则极点到直线的距离是__________.

15.设函数 f ( x) = g ( x) + x ,曲线 y = g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y = 2 x +1 ,则曲 线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为___________. 16.已知函数 f ( x) = x + x + mx +1 在区间(—1,2)上不是单调函数,则实数 m 的取值范
3 2

围是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? ?( x ? 2)( x ? m) (其中 m ? ?2 ) , g ( x) ? 2 ? 2 ﹒
x

(1)若命题“ (2)设命题

log 2 g ( x) ? 1 ”是真命题,求 x 的取值范围;

p : ?x ? (1, ??) , f ( x) ? 0 ,若 ?p 是假命题,求 m 的取值范围﹒

18. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | . (1)若 a ? 2 ,解不等式 f ( x) ? 5 ; (2)如果 ?x ? R, f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知: 圆 x ? y ? 8 和点 P(?1, 2) , AB 为过点 P 且倾斜角为 ? 的
2 2

弦, (1)当 ? =1350时,求 弦 AB 的长; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求出直线 AB 的方程; (3)设过 P 点的弦的中点为 M ,求点 M 的坐标所满足的关系式.

3

20. (本题满分 12 分) 如下图,在三棱柱

ABC - A1B1C1 中, 侧棱底面 ABC , AB⊥BC , D 为 AC
A1 A

A A = AB = 2 , BC = 3 的中点, 1
(1)求证:

AA1 / / 平面 BC1D ; (2) 求四棱锥 B - AAC 1 1D 的体积.
B1

D

B

,
C1 C

f ( x) ?
21. (本题满分 12 分)已知函数

1? x ? ln x ax (其中 a ? 0 ).

(1)若函数 f ( x) 在 [1,??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

(2)当 a ? 1 时,求证:对于任意大于 1 的正整数 n ,都有

ln n ?

1 1 1 ? ??? 2 3 n.

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F 、F2 b 22.(本题满分 12 分)已知椭圆 a 的左、右焦点 1 ,离心率为 2 ,

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 2 b 双曲线方程为 a , 直 线 x ? 2 与 双 曲 线 的 交 点 为 A, B, 且
| AB |? 4 21 3 .

(1)求椭圆与双曲线的方程; (2)过点

F2

的直线 l 与椭圆交于 M 、N 两点,交双曲线与 P、Q 两点,当

?F1MN

的内切

圆的面积取最大值时,求

?F1 PQ 的面积.

4

白鹭洲中学 度下学期高二年级期中考试 数学(文科)试卷参考答案和评分标准 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 A 5 A 6 B 7 B 8 A 9 C 10 D 11 C 12 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 )

13、

n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? …+(3n-2)=(2n-1)

2

2 14、 2

15、 4

1 (-16, ) 3 16、

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。 ) 17、 (本题 10 分) 解(1)

log 2 g ? x ? ? log 2 2

其等价于

?2 x ? 2 ? 0 ? x ?2 ? 2 ? 2

解得 1 ? x ? 2 ,故所求 x 的取值 范围是 {x |1 ? x ? 2}

( 5 分)

(2)因为 ?p 是假命题,则 p 为真命题, 又 ?x ? (1, ??) , -( x + 2) < 0 ,则当 x ? 1 时, f ( x) < 0 恒成立, 只需 f (1) ? ?(1 ? 2)(1 ? m) ? 0 ,即 m ? 1 ; 故所求 m 的取值范围为 {m | ?2 ? m ? 1} ﹒ 18、 (本题 12 分) 解: (1) 不等式 即为 , ,等价于 (10 分)







或 综上,不等式的解集为 (2)若 , 或

. . ( 6 分)

,不满足题设条件.

5







若 所以

, 的充要条件是 , (12 分)



从而 a 的取值范围是 19、 (本题 12 分)

解: (1)过点 O 做 OG ? AB 于 G ,连结 OA ,

当 ? =1350 时,直线 AB 的斜率为-1,故直线 AB 的方程 x+y-1=0,

0 ? 0 ?1
∴OG=d=

2

?

2 2 ,

(2 分)

又∵r= 2 2 ,∴ ∴

OA ? 8 ?

1 15 30 ? ? 2 2 2 ,
(4 分)

A B? 2 O A ?

30



(2)当弦 AB 被 P 平分时, OP ? AB ,此时 KOP=

?

1 2,

(6 分)

1 y ? 2 ? (x ? 1 ),即 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 ∴ AB 的点斜式方程为 .
(3)设 AB 的中点为 M ( x, y ) , AB 的斜率为 K, OM ? AB ,

(8 分)

) ? y ? 2 ? k(x ? 1 ? 1 ? y?? x ? k 则? ,
消去 K,得: x ? y ? 2 y ? x ? 0 ,当 AB 的斜率 K 不存在时也成立,故过点 P 的弦的中
2 2

点的轨迹方程为: x ? y ? 2 y ? x ? 0 .
2 2

A1

(12 分)

A

20、 (本题 12 分) (1)证明:连接 ∵ 四边形

B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , BCC1 B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点.
B1

D

B

6
O C1 C

E

∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为△

AB1C 的中位线,∴ OD // AB1 .… 3 分

BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D ,∴ AB1 // 平面 BC1 D . … 6 分 ∵ OD ? 平面
(2) ∵

AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA1C1C , ∴ 平面 ABC ? 平面 AA1C1C ,且平面
平面

ABC

AA1C1C ? AC . 作 BE ? AC , 垂 足 为 E , 则 BE ? 平 面 AA1C1C ,

( 8 分) ∵

AB ? BB1 ? 2 , BC ? 3 ,在 Rt △ ABC 中, AC ?
AB BC 6 ? AC 13 ,

AB 2 ? BC 2 ? 4 ? 9 ? 13 ,

BE ?

(10 分)

1 1 V ? ? ? A1C1 ? AD ? AA1 BE B ? AA C D 1 1 3 2 ∴四棱锥 的体积

(10 分)

?

1 3 6 ? 13 ? 2 ? 6 2 13 ? 3 .∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 . (12 分)
1? x ax ? 1 ? ln x f ' ( x) ? (a ? 0). ax 2 ax ,?

21、 (本题 12 分) (1)?

f ( x) ?

' ? 函数 f ( x) 在 [1,??) 上为增函数,? f ( x) ? 0 对任意 x ? [1,??) 恒成立.? ax ? 1 ? 0 对

任意 x ? [1,??) 恒成立, 即

a?

1 1 ( ) max ? 1 x 对任意 x ? [1,??) 恒成立.? x ? [1,??) 时, x ? ,
(6 分)

所求正实数 a 的取值范围是 a ? 1 ;

(2)当 a=1 时,

f ? x? ?

1? x x ?1 ? ln x, f ' ? x ? ? 2 x x ,所以 f(x)在[1, +∞]上增函数,当 n>

x?
1 时,令

n n ? 1 ,则当 x>1 时,f(x) >f(1)=0,所以

1 n ? n ? f? ?0 ? ? ? ? ln n n ?1 ? n ?1 ? ,即
, ln n 1 ? n ?1 n

ln

n 1 ? n ?1 n

ln


2 1 3 1 4 1 ? , ln ? , ln ? , 1 2 2 3 3 4 n 1 1 ? ? ? n ?1 2 3 ?







2 3 4 ln ? ln ? ln ? 1 2 3

? ln

1 1 1 1 ln n ? ? ? ? ? n ,得 2 3 n ,即对于任意大

7

于 1 的正整数 n ,都有

ln n ?

1 1 1 ? ??? 2 3 n (12 分)

x2 y 2 4 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a 2 ? b2 2 b 3 , 22、 (本题 12 分) (1)椭圆: a 的离心率为 2 ,则
A(2, y A ) ,由 | AB |? 不妨设
4 21 2 21 yA ? ? 3 得, 3 ,

28 3 ? 4 ?1 4 2 b2 2 21 b yA ? ? 2 3 代入双曲线方程得 3 把 ,解得 b ? 3 ,

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 ? ?1 3 3 所以椭圆方程为 4 .所以双曲线的方程为 4 . (4 分)
(2)设 M , N 点的坐标分别为

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )

,不妨设

y1 ? 0, y2 ? 0 ,内切圆半径 R .

1 S?F1MN ? (| MN | ? | F1 N | ? | F1M |) ? R ? 4 R ?F MN 的周长是 8 , 所以 2 所以 1 ,
1 S?F1MN ? ? | FF2 | ?( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 2 所以当圆的半径最大时,面积最大,即 ,
设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,

? x ? my ? 1 ? 2 ?x y2 ?1 2 2 ? ? 3 ?4 ,消去 x 得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 , (8 分)
y1 ?
12 m 2 ? 1 ?3m ? 6 m 2 ? 1 ?3m ? 6 m2 ? 1 S ? y ? y ? y ? 1 2 2 ?F1MN 3m 2 ? 4 , 3m 2 ? 4 3m2 ? 4 , ,所以

解得

S ?F MN ?
1

2 不妨设 m ? 1 ? t ? 1,于是

12t 12 ? 2 3t ? 1 3t ? 1 t,

y ? 3t ?
因为

1 t 在 [1, ??) 上单调递增,所以
Rmax ?

S ?F MN ?
1

12t 12 12 ? ? ?3 2 3t ? 1 3t ? 1 4 t ,

所以

S ?F1MN ? 4 R

,即

9? 3 4 ,所求的内切圆的面积的最大值为 16 ,

8

9? ? F MN 故直线 x ? 1 与椭圆交于两点 M , N, 使得 1 的内切圆的面积最大,最大值为 16 .

? x ?1 ? 2 ?y x2 4 3 8 3 ? ?1 y?? | PQ |? ? 3 3 ,即 3 , 所以 ? 4 ,所以
1 1 8 3 8 3 S?F1PQ ? ? | F1F2 | ? | PQ |? ? 2 ? ? ? F PQ 2 2 3 3 . 故 1 的面积为 (12 分)

9


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