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导数中范围问题即求值问题


导数中范围问题
1.已知函数 f ( x ) ?

ax 在 x ? 1 处取得极值 2.(1)求函数 f (x) 的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函 x ?b ax 数 f (x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增?(3)若 P( x0 , y0 ) 为 f ( x ) ? 2 图象上任意一点,直线 l 与 x ?b ax f ( x) ? 2 的图象切于点 P ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 x ?b
2

解: (1)因 f / ( x) ?

ax a( x 2 ? b) ? ax(2 x) 而函数 f ( x ) ? 2 在 x ? 1 处取得极值 2 2 2 x ?b ( x ? b)

所以 ?

? f / (1) ? 0 ? f (1) ? 2
/

?

?a (1 ? b) ? 2a ? 0 ? ? a ?1 ? b ? 2 ?

?a ? 4 4x 所以 f ( x ) ? ? ? 1? x2 ?b ? 1

为所求

4( x 2 ? 1) ? 8x 2 ? 4( x ? 1)(x ? 1) (2)由(1)知 f ( x) ? ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2
可知, f (x) 的单调增区间是 [?1 , 1 ] 所以, ?
? m ? ?1 ?2 m ? 1 ? 1 ?m ? 2 m ? 1 ?

? 1?

? 1
正 负

f / ( x)
f (x)



?

?1 ? m ? 0

所以当 m ? (?1 , 1 ] 时,函数 f (x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增 (3)由条件知,过 f (x) 的图形上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为:

k ? f / ( x0 ) ?
令t ? 当t ?
1 1 ? x0

4(1 ? x0 )
2

(1 ? x0 )
2

2 2

? 4?

? 1 ? x0 ? 2
2

(1 ? x0 )

2 2

? 4[

2 (1 ? x0 )
2
2 2

?

1 1 ? x0
4
2

]

,则 t ? (0 , 1] , 此时 , k ? 8(t 2 ? 1 t ) ? 8(t ? 1 ) 2 ? 1 根据二次函数 k ? 8(t ? 1 ) 2 ? 1 的图象性质知:
2
4 2

1 1 时, t min ? ? 2 4
x ?c

当 t ? 1 时, t max ? 4

所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [?

1 ,4] 2

2.已知函数 f ( x) ? kx ? 1 ( c ? 0 且 c ? 1 , k ? R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x ? ?c . 2 (1)求函数 f ( x) 的另一个极值点; (2)求函数 f ( x) 的极大值 M 和极小值 m ,并求 M ? m ≥ 1 时 k 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

k ( x 2 ? c) ? 2 x(kx ? 1) ?kx 2 ? 2 x ? ck 2 ,由题意知 f ?(?c ) ? 0 ,即得 c k ? 2c ? ck ? 0 , (*) ? ( x 2 ? c) 2 ( x 2 ? c) 2

? c ? 0 ,? k ? 0 .由 f ?( x) ? 0 得 ?kx2 ? 2 x ? ck ? 0 ,由韦达定理知另一个极值点为 x ? 1 (或 x ? c ?
(Ⅱ)由(*)式得 k ?

2 ) . k

2 2 ,即 c ? 1 ? .当 c ? 1 时, k ? 0 ;当 0 ? c ? 1 时, k ? ?2 . c ?1 k

? , 1) (i)当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, c) 和 (1 ? ?) 内是减函数,在 (?c, 内是增函数.
? M ? f (1) ?
2 ?kc ? 1 ?k 2 k ?1 k ? ? 0 , m ? f (?c) ? 2 ? ? 0 ,由 M ? m ? k ? k ≥1 及 k ? 0 ,解得 k ≥ 2 . c ?1 2 c ? c 2(k ? 2) 2 2(k ? 2)

(ii)当 k ? ?2 时, f ( x ) 在 (??, c) 和 (1 ? ?) 内是增函数,在 (?c, 内是减函数.? M ? f (?c) ? ? , 1)

?k 2 ? 0, 2(k ? 2)

k m ? f (1) ? ? 0 2

M ?m ?

?k 2 k (k ? 1)2 ? 1 ? ?? ? ? 1? ≥1 恒成立.综上可知,所求 k 的取值范围为 (??, 2) ?[ 2, ) . 2(k ? 2) 2 k ?2

3.设函数 f ( x) ? p ( x ? ) ? 2 ln x , g ( x ) ?

1 x

2e .( p 是实数, e 为自然对数的底数) x

(Ⅰ)若 f (x) 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围; (Ⅱ)若直线 l 与函数 f (x) , g (x) 的图象都相切,且与函数 f (x) 的图象相切于点 (1,0) ,求 p 的值; (Ⅲ)若在 [1, e] 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 p 的取值范围. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?
'

px2 ? 2 x ? p , 要使 f (x) 为单调增函数,须 f ' ( x) ? 0 恒成立, x2
2x ? x ?1
2

2 即 px ? 2 x ? p ? 0 恒成立,即 p ?

2 1 x? x

恒成立,又

2 1 x? x

?1,

所以当 p ? 1 时, f (x) 在 (0, ??) 为单调增函数.要使 f (x) 为单调减函数,须 f ' ( x) ? 0 恒成立, 即 px2 ? 2 x ? p ? 0 恒成立, p ? 即
2x ? x ?1
2

2 1 x? x

恒成立, 又

2 1 x? x

? 0 , 所以当 p ? 0 时,f (x) 在 (0, ??)

为单调减函数. 综上所述, f (x) 在 (0, ??) 为单调函数, p 的取值范围为 p ? 1 或 p ? 0 .

p 2 ? ,∴ f ' (1) ? 2( p ?1) .设直线 l : y ? 2( p ?1)( x ?1) , 2 x x e ? y ? 2( p ? 1)( x ? 1) ∵ l 与 g (x) 图象相切, ∴ ? 得 ( p ? 1)( x ? 1) ? , 2e ? x y?
' (Ⅱ)∵ f ( x) ? p ?

? ?

x

即 ( p ?1) x ? ( p ?1) x ? e ? 0 , 当 p ? 1 时,方程无解;
2

当 p ? 1 时由 ? ? ( p ?1) ? 4( p ?1)(?e) ? 0 , 得 p ? 1 ? 4e .综上, p ? 1 ? 4e
2

(Ⅲ)因 g ( x ) ?

2e 在 [1, e] 上为减函数 ,所以 g ( x) ? [2,2e] x

① 当 p ? 0 时,由(Ⅰ)知 f (x) 在 [1, e] 上递减 ? f ( x) max ? f (1) ? 0 ? 2 ,不合题意. ②当 p ? 1 时,由(Ⅰ)知 f (x) 在 [1, e] 上递增, f (1) ? 2 ,又 g (x) 在 [1, e] 上为减函数, 故只需 f ( x) max ? g ( x) min , x ? [1, e] ,即: f (e) ? p (e ? ) ? 2 ln e ? 2 ? p ? ③当 0 ? p ? 1时,因 x ?

1 e

4e . e ?1
2

1 ? 0 , x ?[1, e ] x 1 1 1 4e ,?? ) . 所以 f ( x) ? p( x ? ) ? 2 ln x ? ( x ? ) ? 2 ln x ? e ? ? 2 ln e ? 2 不合题意.综上, p 的取值范围为 ( 2 x x e e ?1

4.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax, 其中a ? 0, g ( x) ? f ( x) ? f ?( x). (I)若当 1 ? x ? e时,函数f ( x)的最大值为? 4, 求函数f ( x) 的表达式; (II)求 a的取值范围 使函数g ( x)在区间 0,??) 上是单调函数。 , ( 解: (I) f ?( x ) ?

1 1 f ( x)在(0, )单调递增 , f ( x)在( ,?? ) 单调递减, a a 1 1 所以 x ? 时f ( x) 取最大值(1) 0 ? ? 1即a ? 1时, f ( x) max ? f (1) ? ?4, a a 1 1 1 3 (2) 1 ? ? e即 ? a ? 1时, f ( x) max ? f ( ) ? ?4 解得 a ? e ? 1 舍去 a e a 5 1 1 1 (3) ? e即0 ? a ? 时, f ( x) max ? f (e) ? ?4. 解得 a ? ? 舍去 e e a e
综上 f ( x) ? ln x ? 4 x (II) g ( x) ? ln x ? ax ? (1) a ?

1 ?a x

解得 a ? 4 符合题意

1 ?a x

g ?( x) ?

1 1 1 1 1 ? a ? 2 ? ?( ? ) 2 ? ? a x x 2 4 x
所以 f (x)在( , ?) 上单调递减 0?

1 时, g ?( x) ? 0, 且只有 x ? 2时g ?( x) ? 0 4

(2) 0 ? a ?

1 1 1 1 时, 在 ? (0, ? ? a ), g ?( x) ? 0, 4 x 2 4 1 1 1 ?( ? ? a, ? ?), g ?( x) ? 0, x 2 4
1 4

1 1 1 1 1 ?( ? ? a, ? ? a ), g ?( x) ? 0 x 2 4 2 4
f ( x)在(0,??) 上不单调,

综上 a的取值范围为 { ,?? )

5.已知函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A s, f ? s ? , B t , f ?t ? . (Ⅰ)若 a ? 0,b ? 3 ,函数 f ( x ) 在 (t , t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,求 t 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 0 时,

?

? ?

?

f ( x) ?1 ? ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立,求 b 的取值范围; x ?2 ?

(Ⅲ) 0 ? a ? b , 若 函数 f ( x ) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值, a ? b ? 2 3 ,O 是坐标原点, 且 证明: 直线 OA 与直线 OB 不可能垂直. 解: (Ⅰ)当 a ? 0, b ? 3 时 f (x) ? x -3x ,?f ?(x) ? 3x - 6x ,? f (x) 在 (2, ??)和(??,0) 上递增,在 (0, 2) 上
3 2 2

递减,所以 f (x) 在 0 和 2 处分别达到极大和极小,由已知有 t ? 0 且 t ? 3 ? 2 ,因而 t 的取值范围是 (?1, 0) .

f ( x) ? ln x ? 1 ? 0 即 x 2 ? bx ? ln x ? 1 ? 0 x ln x 1 1 ln x 1 ? ? b ,记 g ( x) ? x ? ? ( x ? ), 可化为 x ? x x x x 2
(Ⅱ)当 a ? 0 时, 则 g ?( x) ? 1 ?

1 1 ? ln x 1 x 2 ? ln x ? 2 ? ,记 m( x) ? x 2 ? ln x,则 m?( x) ? 2 x ? , 2 2 x x x x

2 2 1 2 1 2 ? m(x) 在 ( , ) 上递减,在 ( ,? ?) 上递增.? m( x) ? m( ) ? ? ln ?0 2 2 2 2 2 2
从而 g ?( x ) ? 0,? g ( x )在[ ,?? ) 上递增,因此 g ( x ) min ? g ( ) ?

1 2

1 2

5 5 ? 2 ln 2 ? b,故 b ? ? 2 ln 2. 2 2

(Ⅲ)假设 OA ⊥ OB ,即 OA ? OB = (s, f (s)) ? (t , f (t )) ? st ? f (s) f (t ) ? 0 故 ( s ? a)(s ? b)(t ? a)(t ? b) ? ?1, [st ? (s ? t )a ? a 2 ][st ? (s ? t )b ? b 2 ] ? ?1 由 s , t 为 f ? (x)=0 的两根可得, s ? t ?

2 ab (a ? b),st ? , (0 ? a ? b) 从而有 ab(a ? b) 2 ? 9 3 3

(a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab ?

9 ? 4ab ? 2 36 ? 12 即 a ? b ≥2 3 ,这与 a ? b <2 3 矛盾. ab
2

故直线 OA 与直线 OB 不可能垂直. 6.已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a, b, c ?R ? 的图象过点 P ? ?1, 2? , 且在点 P 处的切线与直线 x ? 3 y ? 0 垂直.
3

(Ⅰ)若 c ? 0 ,试求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ? x ? 在 ? ??, m? , ? n, ??? 上单调 递增,试求 n ? m 的范围. 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? 的图象过点 P ? ?1, 2? ,所以 ? a ? b ? c ? 2. 又f
'

? x? ? 3ax2 ? 2bx ,且在点 P 处的切线与直线 x ? 3 y ? 0 垂直.
2

所以 3a ? 2b ? ?3 ,且 c ? 0 ,所以 a ? 1, b ? 3. 所以 f ? x ? ? 3x ? 6x. 令f
'

? x? ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? ?2. 显然当 x ? ?2 或 x ? 0 时, f ' ? x? ? 0 ;
'

当 ?2 ? x ? 0 时, f (Ⅱ)令 f
'

? x? ? 0 .则函数 f ? x ? 的单调增区间是 ? ??, ?2? , ?0, ??? ,函数 f ? x ? 的单调减区间是 ? ?2,0 ? .
2b

? x? ? 3ax2 ? 2bx ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? ? 3a .
2b ' 时, f ? x ? ? 0 , 3a

因为 a ? 0, b ? 0 ,所以当 x ? 0 或 x ? ? 即函数 f ? x ? 的单调增区间是 ? ??, ?

? ?

2b ? ? 2b ? 2b ? , ? 0, ?? ? .所以 n ? m ? 0 ? ? ? ? ? . 3a ? ? 3a ? 3a
2b 3a ? 3 1 ? ? 1 ? ? 1. 3a 3a a
所以 n ? m ? 1.

又由(Ⅰ)知: 3a ? 2b ? ?3 ,所以 n ? m ? 7.已知函数 f ( x) ? ln x ? a x ? ax ( x ? R).
2 2

(1)当 a ? 1 时,证明:函数 f ( x ) 只有一个零点; (2)若函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,求实数 a 的取值范围; 解: (Ⅰ)当 a=1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x ,其定义域是 (0, ??) ,? f ?( x) ?
2

1 2x2 ? x ?1 ? 2x ?1 ? ? x x

令 f ?( x) ? 0 ,即 ?

1 1 2 x2 ? x ?1 ? 0 ,解得 x ? ? 或 x ? 1 .? x ? 0 ,? x ? ? 舍去. 2 2 x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .∴函数 f ( x ) 在区间(0,1)上单调递增,在区间 (1,??) 上单调递减 ∴当 x=1 时,函数 f ( x ) 取得最大值,其值为 f (1) ? ln1 ?12 ? 1 ? 0 . 当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ,即 f ( x) ? 0 . ∴函数 f ( x ) 只有一个零点.

(Ⅱ)法一:因为 f ( x) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax 其定义域为 (0, ??) , 所以 f ?( x) ? ①当 a=0 时, f ?( x) ?

1 ?2a 2 x 2 ? ax ? 1 ?(2ax ? 1)(ax ? 1) ? 2a 2 x ? a ? ? x x x

1 ? 0,? f ( x) 在区间 (0, ??) 上为增函数,不合题意(8 分) x 1 ②当 a>0 时, f ?( x) ? 0( x ? 0) 等价于 (2ax ? 1)(ax ? 1) ? 0( x ? 0) ,即 x ? . a

?1 1 ? ? 1, 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ??) .依题意,得 ? a 解之得 a ? 1 . a ? a ? 0. ?
③当 a<0 时, f ?( x) ? 0( x ? 0) 等价于 (2ax ? 1)(ax ? 1) ? 0( x ? 0) ,即 x ? ?

1 · 2a
2

1 1 ? 1 ? 1 得 a ? ? 综上,实数 a 的取值范围是 ( ??, ? ] U[1, ??) 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 (? 1 , ??) , ?? ? 2a
2a

?a ? 0 ?

2

法二: f ( x) ? ln x ? a 2 x 2 ? ax, x ? (0,??) ? f ?( x) ?

?2a 2 x 2 ? ax ? 1 x
2 2

由 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,可得 g (x) ? ?2a x ? ax ? 1 ? 0 在区间 (1, ??) 上恒成立. ① 当 a ? 0 时, 1 ? 0 不合题意 ② 当 a ? 0 时,可得

1 ? 1, 即 4a g (1) ? 0

1 a ? 或a ? 0, 4 ? 2a 2 ? a ? 1 ? 0

1 a ? 或a ? 0, 1 4 ? a ? (??, ? ] U[1, ??) ∴ 1 2 a ? 1或a ? ? 2 1 3 (k ? 1) 2 1 x , g ( x) ? ? kx ,且 f (x) 在区间 (2,??) 上为增函数. 8.已知函数 f ( x) ? x ? 3 2 3
(1)求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f (x) 与 g (x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. 解: (1)由题意 f ?( x) ? x ? (k ? 1) x
2 2

∵ f (x) 在区间 (2,??) 上为增函数,

∴ f ?( x) ? x ? (k ? 1) x ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立 即 k ? 1 ? x 恒成立,又 x ? 2 ,∴ k ? 1 ? 2 ,故 k ? 1 ∴ k 的取值范围为 k ? 1

(2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

x 3 (k ? 1) 2 1 ? x ? kx ? , 3 2 3

h?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )(x ? 1) 令 h ?( x) ? 0 得 x ? k 或 x ? 1
由(1)知 k ? 1 , ①当 k ? 1 时, h?( x) ? ( x ? 1) 2 ? 0 , h(x) 在 R 上递增,显然不合题意 ②当 k ? 1 时, h(x) , h ?(x ) 随 x 的变化情况如下表:

x

(??, k )

k

(k ,1)


1

(1,??)

h ?(x )

?

0

0

?

h(x)


?
3

极大值
k k 1 ? ? 6 2 3
2

↘ 极小值
k ?1 2



由于

k ?1 ? 0 ,欲使 f (x) 与 g (x) 的图象有三个不同的交点,即方程 h( x) ? 0 有三个不同的实根, 2

故需 ?

?k ? 1 k3 k2 1 ? ? ? 0 ,即 (k ? 1)(k 2 ? 2k ? 2) ? 0 ∴ ? 2 , 6 2 3 k ? 2k ? 2 ? 0 ?
综上,所求 k 的取值范围为 k ? 1 ? 3

解得 k ? 1 ? 3 9.已知函数 f ( x) ?

x3 3bx2 2 10 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ,函数 g ( x) ? f ( x) ? ? 3. 5 a2 a2

(1)若函数 g (x) 在 x ? 1 处有极值,求 g (x) 的解析式; (2)若函数 g (x) 在区间 [?1,1] 上为增函数,且

b 2 ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [?1,1] 上都成立,求实数 m 的取值范围.
解:∵ f ?( x) ?

3 3 ? x 2 ,∴由 2 ? x 2 ? 3 有 x ? ? a ,即切点坐标为 ( a, a ) , (?a,?a) 2 a a
整理得 3x ? y ? 2a ? 0 或 3x ? y ? 2a ? 0

∴切线方程为 y ? a ? 3( x ? a) ,或 y ? a ? 3( x ? a)



| ?2 a ? 2 a | 3 2 ? (?1) 2

?

2 10 3 3 ,解得 a ? ?1 ,∴ f ( x) ? x , ∴ g ( x) ? x ? 3bx ? 3 5
2

(1)∵ g ?( x) ? 3x ? 3b , g (x) 在 x ? 1 处有极值,∴ g ?(1) ? 0 ,
3 2 即 3 ? 1 ? 3b ? 0 ,解得 b ? 1 ,∴ g ( x) ? x ? 3x ? 3

(2)∵函数 g (x) 在区间 [?1,1] 上为增函数,∴ g ?( x) ? 3x ? 3b ? 0 在区间 [?1,1] 上恒成立,
2

∴ b ? 0 ,又∵ b ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [?1,1] 上恒成立,∴ b ? mb ? 4 ? g (1) ,
2 2

即 b 2 ? mb ? 4 ? 4 ? 3b ,∴ m ? b ? 3 在 b ? (??,0] 上恒成立,∴ m ? 3 10.设函数 f ( x) ? p ( x ? ) ? 2 ln x, g ( x) ? x .
2

∴ m 的取值范围是 ?3,???

1 x

(I)若直线 l 与函数 f ( x), g ( x) 的图象都相切,且与函数 f (x) 的图象相切于点(1,0) ,求实数 p 的值; (II)若 f (x) 在其定义域内为单调函数,求实数 p 的取值范围;

p 2 ? ,∴ f'()? (p 1. 1 2 ?) 2 x x 2 设直线 ly2? ? 并设 l 与 g(x)=x 相切于点 M( x0 , y0 ) :? 1 1 ( ) ) p( , x
解: (Ⅰ)方法一:∵ f ( )?p x ?
'



g ?( x) ? 2 x
'

∴2 x0 ? 2( p ? 1)

∴ x0 ? p ?1, y0 ? ( p ?1)2

代入直线 l 方程解得 p=1 或 p=3.

2 px 2 ? ?x p , 2 x ' ①要使 f (x) 为单调增函数,须 f (x ?0在 (0, ??) 恒成立, ) 2x 2 2 ? 即 px 2? ? 在 (0, ??) 恒成立,即 p? 2 在 (0, ??) 恒成立, ?x p 0 1 x ?1 x? x 2 ? 1 ,所以当 p ?1时, f (x) 在 (0, ??) 为单调增函数; 又 1 x? x ' ②要使 f (x) 为单调减函数,须 f (x ?0在 (0, ??) 恒成立, ) 2x 2 2 ? 即 px 2? ? 在 (0, ??) 恒成立,即 p? 2 在 (0, ??) 恒成立, ?x p 0 1 x ?1 x? x 2 ? 0 ,所以当 p ? 0时, f (x) 在 (0, ??) 为单调减函数. 又 1 x? x 综上,若 f (x) 在 (0, ??) 为单调函数,则 p的取值范围为 p ?1或 p ? 0. 3 2 3 11.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b为实数 , 且a ? 1) 在区间[-1,1]上最大值为 1,最小值为-2。 2

(Ⅱ)∵ f ( )? x

(1)求 f (x) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? mx在区间[-2,2]上为减函数,求实数 m 的取值范围。 解: (1) f ' ( x) ? 3x ? 3ax,
2

令f ' ( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? a, ? a ? 1, ? f ( x)在?? 1,0?上为增函数, 在?0,1?上为减函数 ? ???? (2分) . ? f (0) ? b ? 1, ????? (4分) 3 3 ? f (?1) ? ? a, f (1) ? 2 ? a,? f (?1) ? f (1), 2 2 3 4 ? f (?1) ? ? a ? ?2, a ? . 2 3 3 2 ? f ( x) ? x ? 2 x ? 1.?????? (6分)
(2) g ( x) ? x ? 2x ? mx ? 1,
3 2

g ' ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? m.

由 g ( x)在?? 2,2?上为减函数,知 g ' ( x) ? 0在x ? ?? 2,2?上恒成立 .

? g ' (?2) ? 0 ?20 ? m ? 0 , 即? ?? ? g ' (2) ? 0 ?4 ? m ? 0
2 2

? m ? 20.

? 实数m的取值范围是 ? 20. m

12.设函数 f(x)=x -mlnx,h(x)=x -x+a. (1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围; (3)是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出 m 的值,若 不存在,说明理由。 解: (1)由 a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即 m ? 记? ?

x ln x ? 1 , 则 f(x) ≥ h(x) 在 (1,+ ∞ ) 上 恒 成 立 等 价 于 m ? ? ( x)min . 求 得 ? '(x )? 当 x ? (1, e) ln x ln 2 x

x ln x

时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值,即 ? ( x)min ? ? (e) ? e ,故 m ? e . (2)函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a,在[1,3]上恰有两个相异 实根。令 g(x)=x-2lnx,则 g '( x ) ? 1 ?

2 x

当 x ? [1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0 g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数。 故 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2ln 2 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3 ∵g(1)>g(3),∴只需 g(2)<a≤g(3),故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) (3)存在 m=

1 ,使得函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性 2

f '( x) min ? 2 x ?

m 2x2 ? m ? ,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) 。 x x

若 m ? 0 ,则 f ( x) ' ? 0 ,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意; 若 m ? 0 ,由 f ( x) ' ? 0 可得 2x -m>0,解得 x>
2

m m 或 x<(舍去) 2 2
单调递减区间为(0,

故 m ? 0 时,函数的单调递增区间为(

m ,+∞) 2

m ) 2

而 h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,

1 1 ),单调递增区间是( ,+∞) 2 2

故只需

1 m 1 = ,解之得 m= 2 2 2

即当 m=

1 时,函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。 2


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