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江苏省南京师大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷


江苏省南京师大附中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上. 1. (5 分)在复平面内,复数﹣3+i 和 1﹣i 对应的点间的距离为. 2. (5 分)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴 影部分)中的概率是.

3. (5 分)对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如表: 花期(天) 11~13 14~16 17~19 20~22 个数 20 40 30 10 则这种卉的平均花期为天. 4. (5 分)已知 sinα= ,α∈(﹣



) ,则 cos(α

π)=.

5. (5 分)直线 xcosα+

y+2=0 的倾斜角范围为.

6. (5 分)设函数 f(x)是奇函数且周期为 3,f(﹣1)=﹣1,则 f=. 7. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出的值为.

8. (5 分)若等边△ ABC 的边长为

,平面内一点 M 满足

,则

=.

9. (5 分)有下面四个判断: ①命题“设 a、b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个假命题; ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题; 2 2 2 2 ③命题“?a、b∈R,a +b ≥2(a﹣b﹣1)”的否定是“?a、b∈R,a +b ≤2(a﹣b﹣1)”; ④若函数 其中正确的有(只填序号) 的图象关于原点对称,则 a=﹣1.

10. (5 分)若双曲线 双曲线的实轴长为.

=1 的一条渐近线被圆(x﹣2) +y =4 所截得的弦长为 2,则该

2

2

11. (5 分) 设 n 为正整数,

, 计算得

, ( f 4) >2,



f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为. 12. (5 分)已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角 形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2;则此棱锥的体积为. 13. (5 分)设函数 f(x)=ax ﹣3x+1(x∈R) ,若对于任意的 x∈[﹣1,1]都有 f(x)≥0 成立, 则实数 a 的值为. 14. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(x?y) =xf(y)+yf(x)成立. 数列{an}满足 an=f(2 ) (n∈N ) ,且 a1=2.则数列的通项公式 an=.
n * 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,且 (1)求证: ; .

(2)若 cos(A﹣C)+cosB=1,求角 B 的大小. 16. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知∠ACB=90°,BC=CC1,E、F 分别为 AB、AA1 的中点. (1)求证:直线 EF∥平面 BC1A1; (2)求证:EF⊥B1C.

17. (14 分)经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计) ,日旅游人数 f(t) (万 人)与时间 t(天)的函数关系近似满足 ,人均消费 g(t) (元)与时间 t(天)

的函数关系近似满足 g(t)=115﹣|t﹣15|. (Ⅰ)求该城市的旅游日收益 w(t) (万元)与时间 t(1≤t≤30,t∈N)的函数关系式; (Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元) .

18. (16 分)已知抛物线 D 的顶点是椭圆 C:

+

=1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.

(1)求抛物线 D 的方程; (2)过椭圆 C 右顶点 A 的直线 l 交抛物线 D 于 M、N 两点. ①若直线 l 的斜率为 1,求 MN 的长; ②是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长为定值?如果存在, 求 出 m 的方程;如果不存在,说明理由. 19. (16 分)设函数 f(x)=x﹣ ﹣alnx(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性. (Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,记过点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )的直线斜率 为 k.问:是否存在 a,使得 k=2﹣a?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 20. (16 分)记数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*) ,若存在实常数 A,B,C,对于任意正整数 2 n,都有 an+Sn=An +Bn+C 成立. (1)已知 A=B=0,a1≠0,求证:数列{an}(n∈N*)是等比数列; (2)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,求证:3A+C=B; (3)已知 a1=1,B>0 且 B≠1,B+C=2.设 λ 为实数,若?n∈N*, <λ,求 λ 的取值范围.

江苏省南京师大附中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试 卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上. 1. (5 分)在复平面内,复数﹣3+i 和 1﹣i 对应的点间的距离为 2 . 考点: 专题: 分析: 解答: 复数的代数表示法及其几何意义. 计算题. 求出两个复数的坐标,然后求出两点减的距离. 解:在复平面内,复数﹣3+i 和 1﹣i 对应的点为(﹣3,1) , (1,﹣1) ,它们之间的 ;

距离为:

故答案为: . 点评: 本题是基础题,考查复数与复平面之间的点的坐标的对应关系,两点减的距离公式 的应用,考查计算能力. 2. (5 分)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴 影部分)中的概率是 .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,所求概率符合几何概型的概率求法,由此只要求出正方形的面积以及半圆 的面积,求面积之比即可. 解答: 解:设正方形的边长为 2,则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率符合几何概型 的概率, 所以豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是 故答案为: .

点评: 本题考查了几何概型的概率求法;豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分) 中的概率是几何概型的概率,只要明确事件的集合对应的区域面积,求面积比即可. 3. (5 分)对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如表:

花期(天) 11~13 14~16 个数 20 40 则这种卉的平均花期为 16 天天.

17~19 30

20~22 10

考点: 众数、中位数、平均数. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,算出每一组花期的平均花期,根据每一组花期的花卉个数,做出所有花 的花期之和,用花期之和除以所用花的个数,得到答案. 解答: 解:由表格知,花期平均为 12 天的有 20 个, 花期平均为 15 天的有 40 个,花期平均为 18 天的有 30 个, 花期平均为 21 天的有 10 个, ∴这种花卉的评价花期是 =16,

故答案为:16 点评: 本题考查一组数据的平均数,这里考查的是这组数据的加权平均数,这种问题容易 出错的地方是忽略每一个数字的权重,本题好似一个基础题. 4. (5 分)已知 sinα= ,α∈(﹣



) ,则 cos(α

π)=﹣



考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 α 的范围,得到 cosα 大于 0,由 sinα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的值, 利用诱导公式化简所求式子中, 再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角 函数值化简后,把各自的值代入即可求出值. 解答: 解:∵sinα= ,α∈(﹣ ∴cosα= = , )]=﹣cos(α+ )=﹣cosαcos +sinαsin =﹣ × + × = , ) ,

则 cos(α+ π)=cos[π+(α+ ﹣ .

故答案为:﹣ 点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角 的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键.

5. (5 分)直线 xcosα+

y+2=0 的倾斜角范围为



考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆.

分析: 由于直线 xcosα+ 且﹣ ≤tanθ≤ ,

y+2=0 的斜率为﹣

,设此直线的倾斜角为 θ,则 0≤θ<π,

由此求出 θ 的围. 解答: 解:由于直线 xcosα+ ∴﹣ ≤﹣ ≤ . ≤tanθ≤ . y+2=0 的斜率为﹣ ,由于﹣1≤cosα≤1,

设此直线的倾斜角为 θ,则 0≤θ<π,故﹣ ∴θ∈ 故答案为: . .

点评: 本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数 值求角的大小,属于基础题. 6. (5 分)设函数 f(x)是奇函数且周期为 3,f(﹣1)=﹣1,则 f=1. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: f=f(671×3+1)=f(1)=﹣f(﹣1)=1. 解答: 解:∵f(x)是奇函数且周期为 3, f(﹣1)=﹣1, ∴f=f(671×3+1) =f(1) =﹣f(﹣1) =1. 故答案为:1 点评: 本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意函数的周期性和函数的奇偶性的 灵活运用. 7. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出的值为 4.

考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 利用循环体,计算每执行一次循环后 a 的值,即可得出结论. 解答: 解: 第一次循环, i=1, a=2; 第二次循环, i=2, a=2×2+1=5; 第三次循环, i=3, a=3×5+1=16; 第四次循环,i=4,a=4×16+1=65>50,退出循环,此时输出的值为 4 故答案为 4: 点评: 本题考查循环结构,考查学生的读图能力,解题的关键是读懂循环结构. 8. (5 分)若等边△ ABC 的边长为

,平面内一点 M 满足

,则

=﹣2.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由等边△ ABC 的边长为 = = , ,代入 = 即 ,可得 =6.再利用向量的三角形法则可得

可得出. 解答: 解:如图所示,由等边△ ABC 的边长为 ∴ ∵ ∴ = = = = = , , =

, =6.

= = =﹣2. 故答案为:﹣2. + 6

点评: 本题考查了向量的三角形法则、数量积运算法则,属于基础题. 9. (5 分)有下面四个判断: ①命题“设 a、b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个假命题; ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题; ③命题“?a、b∈R,a +b ≥2(a﹣b﹣1)”的否定是“?a、b∈R,a +b ≤2(a﹣b﹣1)”; ④若函数 其中正确的有④(只填序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 规律型. 分析: ①利用逆否命题与原命题的等价性进行判断.②利用复合命题与简单命题真假关系 判断.③利用含有量词的命题的否定进行判断.④利用函数奇偶性的定义进行判断. 解答: 解:①当 a=3 且 b=3 时,a+b=6,所以命题正确,根据逆否命题和原命题的等价性可 知,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”为真命题,∴①错误. ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 至少有一个为真命题,∴②错误. 2 2 ③根据全称命题的否定是特称命题, ∴命题“?a、 b∈R, a +b ≥2 (a﹣b﹣1) ”的否定是“?a、 b∈R, 2 2 a +b <2(a﹣b﹣1)”,∴③错误. ④若函数 的图象关于原点对称,则 f(0)=ln(a+2)=0,解得 a+2=1, 的图象关于原点对称,则 a=﹣1.
2 2 2 2

即 a=﹣1.∴④正确. 故答案为:④. 点评: 本题主要考查各种命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强.

10. (5 分)若双曲线 双曲线的实轴长为 2.

=1 的一条渐近线被圆(x﹣2) +y =4 所截得的弦长为 2,则该

2

2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 求出双曲线的渐近线方程,求得圆心到渐近线的距离,再由直线和圆相交的弦长公 式,解方程即可得到 a=1,进而得到实轴长. 解答: 解:双曲线 =1 的渐近线方程为 y=± ,

即 ±ay=0, 2 2 圆(x﹣2) +y =4 的圆心为 C(2,0) ,半径为 r=2, 由圆的弦长公式得弦心距|CD|= 另一方面,圆心 C 到双曲线的渐近线 d= = , = ,

﹣ay=0 的距离为

所以 d=
2

=



解得 a =1,即 a=1, 该双曲线的实轴长为 2a=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查直线和圆相交的弦长公式,考查点到直线的距 离公式,属于基础题.

11. (5 分) 设 n 为正整数,

, 计算得
n

, ( f 4) >2, (n∈N ) .
*



f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为 f(2 )≥

考点: 归纳推理. 专题: 探究型. 分析: 根据已知中的等式: ,f(4)>2, ,f(16)>3,…,我们

分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系,归纳推断后,即可得到答案. 解答: 解:观察已知中等式: 得 f(4)>2, , f(16)>3, …, 则 f(2 )≥
n



(n∈N )
n

*

故答案为:f(2 )≥

(n∈N ) .

*

点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) 12. (5 分)已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角 形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2;则此棱锥的体积为 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据题意作出图形, 利用截面圆的性质即可求出 OO1, 进而求出底面 ABC 上的高 SD, 即可计算出三棱锥的体积. 解答: 解:根据题意作出图形: 设球心为 O,过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1,则 OO1⊥平面 ABC, 延长 CO1 交球于点 D,则 SD⊥平面 ABC. ∵ ∴ ∴高 SD=2OO1= , , = ,

∵△ABC 是边长为 1 的正三角形, ∴ , = .

∴V 三棱锥 S﹣ABC= 故答案为 .

点评: 利用截面圆的性质求出 OO1 是解题的关键. 13. (5 分)设函数 f(x)=ax ﹣3x+1(x∈R) ,若对于任意的 x∈[﹣1,1]都有 f(x)≥0 成立, 则实数 a 的值为 4. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题.
3

分析: 先求出 f′(x)=0 时 x 的值,进而讨论函数的增减性得到 f(x)的最小值,对于任意 的 x∈[﹣1,1]都有 f(x)≥0 成立,可转化为最小值大于等于 0 即可求出 a 的范围. 解答: 解:由题意,f′(x)=3ax ﹣3, 2 当 a≤0 时 3ax ﹣3<0,函数是减函数,f(0)=1,只需 f(1)≥0 即可,解得 a≥2,与已知矛盾, 当 a>0 时,令 f′(x)=3ax ﹣3=0 解得 x=± ①当 x<﹣ ②当﹣ ③当 x> 所以 f(
2 2



时,f′(x)>0,f(x)为递增函数, 时,f′(x)<0,f(x)为递减函数,

<x<

时,f(x)为递增函数. )≥0,且 f(﹣1)≥0,且 f(1)≥0 即可

由 f(

)≥0,即 a?

﹣3?

+1≥0,解得 a≥4,

由 f(﹣1)≥0,可得 a≤4, 由 f(1)≥0 解得 2≤a≤4, 综上 a=4 为所求. 故答案为:4. 点评: 本题以函数为载体,考查学生解决函数恒成立的能力,考查学生分析解决问题的能 力,属于基础题. 14. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(x?y) =xf(y)+yf(x)成立. 数列{an}满足 an=f(2 ) (n∈N ) ,且 a1=2.则数列的通项公式 an=n2 . 考点: 数列的函数特性. 专题: 计算题. n 分析: 可根据 an=f(2 )再利用对于任意的 x,y∈R,都有 f(x?y)=xf(y)+yf(x)成立 令 x=2 , y=2 得到递推关系式 an+1=2an+2×2 然后两边同除以 2
n n n+1 n * n

可构造出数列{

}是以

为首项公差为 1 的等差数列后就可解决问题了. n n+1 解答: 解:由于 an=f(2 )则 an+1=f(2 )且 a1=2=f(2) ∵对于任意的 x,y∈R,都有 f(x?y)=xf(y)+yf(x) n n+1 n n ∴令 x=2 ,y=2 则 f(2 )=2 f(2)+2f(2 ) n ∴an+1=2an+2×2 ∴

∴数列{

}是以

为首项公差为 1 的等差数列

∴ ∴an=n2 点评: 此题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式,是函数与数列的综合题.解题 的关键是分别赋予 x=2 ,y=2 得到 an+1=2an+2×2 然后构造出数列{
n n n

}是以

为首项公差

为 1 的等差数列后就可求解. 同时要对递推关系式 an+1=pan+q 通过两边同除以 q 为等差数列进而求出 an 的通项公式.

n

n+1

构造出{

}

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,且 (1)求证: ; .

(2)若 cos(A﹣C)+cosB=1,求角 B 的大小. 考点: 解三角形. 专题: 解三角形. 分析: (1)由条件可得 cosB= ,再利用基本不等式证得
2

成立.

(2)由 cos(A﹣C)+cosB=1,可得 sinAsinC= .再由 求得 sinB= , 可得 B 的值. 解答: 解: (1) ∵由条件可得 cosB= 故 成立. =

可得 sin B= sinA?sinC= ,



= ,

(2)∵cos(A﹣C)+cosB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=2sinAsinC=1, ∴sinAsinC= . 再由 可得 sin B= sinA?sinC= , .
2

∴sinB= ,故 B=

点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,基本不等式,根据三角函数的值求角, 属于中档题. 16. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知∠ACB=90°,BC=CC1,E、F 分别为 AB、AA1 的中点. (1)求证:直线 EF∥平面 BC1A1; (2)求证:EF⊥B1C.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)欲证直线 EF∥平面 BC1A1,只需证明 EF 平行平面 BC1A1 中的一条直线即可, 由 E、F 分别为 AB、AA1 的中点,可知 EF∥A1B,EF∥A1B?平面 BC1A1,问题得证. (2)欲证 EF⊥B1C,只需证明 EF 的平行线 A1B 垂直于 B1C 即可,也即证明 B1C 垂直于 A1B 所在的平面 BA1C1,又须证明 B1C 垂直于平面 BA1C1 中的两条相交直线,由三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 为直三棱柱,以及∠ACB=90°,BC=CC1,极易证明 BC1⊥B1C,A1C1⊥B1C, 而 BC1,A1C1 为平面 BA1C1 中的两条相交直线,问题得证. 解答: 解: (1)∵E、F 分别为 AB、AA1 的中点,∴EF∥A1B ∵EF?平面 BC1A1,A1B?平面 BC1A1∴EF∥平面 BC1A1. (2)∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC, ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱,∴AC⊥CC1, ∴AC⊥平面 BB1C1C,∴AC⊥B1C, 又∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥B1C, ∵BC=CC1,BC⊥CC1,∴BC1⊥B1C ∴B1C⊥平面 BA1C1,∴B1C⊥A1B 由(1)知,EF∥A1B ∴EF⊥B1C. 点评: 本题主要考察了空间的线面平行,线线垂直的证明,充分考察了学生的逻辑推理能 力,空间想象力,以及识图能力. 17. (14 分)经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计) ,日旅游人数 f(t) (万 人)与时间 t(天)的函数关系近似满足 ,人均消费 g(t) (元)与时间 t(天)

的函数关系近似满足 g(t)=115﹣|t﹣15|. (Ⅰ)求该城市的旅游日收益 w(t) (万元)与时间 t(1≤t≤30,t∈N)的函数关系式;

(Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元) . 考点: 根据实际问题选择函数类型;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题;分类讨论. 分析: (Ⅰ)根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得 w(t)与 t 的解析 式; (Ⅱ)因为 w(t)中有一个绝对值,讨论 t 的取值,1≤t<15 和 15≤t≤30 两种情况化简得 w(t) 为分段函数, 第一段运用基本不等式求出最值, 第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即 可.

解答: 解: (Ⅰ) 由题意得,



(Ⅱ)因为



①当 1≤t<15 时, 当且仅当 ,即 t=5 时取等号 ,

②当 15≤t≤30 时, 可证 w(t)在 t∈[15,30]上单调递减, 所以当 t=30 时,w(t)取最小值为 由于 ,所以该城市旅游日收益的最小值为 万元.

点评: 考查学生根据实际情况选择函数类型的能力,以及基本不等式在求函数最值中的应 用能力.

18. (16 分)已知抛物线 D 的顶点是椭圆 C:

+

=1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.

(1)求抛物线 D 的方程; (2)过椭圆 C 右顶点 A 的直线 l 交抛物线 D 于 M、N 两点. ①若直线 l 的斜率为 1,求 MN 的长; ②是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长为定值?如果存在, 求 出 m 的方程;如果不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由题意,可设抛物线方程为 y =2px(p>0) .由椭圆 C:

2

+

=1 可得右焦点

(1,0) ,即可得出 p; (2)①把直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式即可得出; ②设存在直线 m:x=a 满足题意,则圆心
2 2

,过 E 作直线 x=a 的垂线,垂足
2

为 F,设直线 m 与圆 E 的一个交点为 G.可得:|FG| =|EG| ﹣|FE| = 当 a=3 时,|FG| =3,此时直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值. 2 解答: 解: (1)由题意,可设抛物线方程为 y =2px(p>0) . 2 2 由 a ﹣b =4﹣3=1,得 c=1. ∴抛物线的焦点为(1,0) , ∴P=2. 2 ∴抛物线 D 的方程为 y =4x. (2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) . ①直线 l 的方程为:y=x﹣4,联立 x1+x2=12,x1x2=16. ∴|MN|= = = . ,整理得:x ﹣12x+16=0,
2 2



②设存在直线 m:x=a 满足题意,则圆心 过 E 作直线 x=a 的垂线,垂足为 F,



设直线 m 与圆 E 的一个交点为 G.可得:|FG| =|EG| ﹣|FE| , 即|FG| =|EA| ﹣|FE| =
2 2 2

2

2

2

= =
2

=



当 a=3 时,|FG| =3,此时直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值 . 因此存在直线 m:x=3 满足题意. 点评: 本题主要考查圆锥曲线的标准方程的求解、与直线的位置关系等基础知识,同时考 查解析几何基本思想方法和综合解题能力,属于难题. 19. (16 分)设函数 f(x)=x﹣ ﹣alnx(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性.

(Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,记过点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )的直线斜率 为 k.问:是否存在 a,使得 k=2﹣a?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题;综合题;压轴题;分类讨论. 分析: (Ⅰ)求导,令导数等于零,解方程,跟据 f′(x)f(x)随 x 的变化情况即可求出 函数的单调区间; (Ⅱ)假设存在 a,使得 k=2﹣a,根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为 k,根据(I)函数 的单调性,推出矛盾,即可解决问题. 解答: 解: (I)f(x)定义域为(0,+∞) , f′(x)=1+
2 2



令 g(x)=x ﹣ax+1,△ =a ﹣4, ①当﹣2≤a≤2 时,△ ≤0,f′(x)≥0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ②当 a<﹣2 时,△ >0,g(x)=0 的两根都小于零,在(0,+∞)上,f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ③当 a>2 时,△ >0,g(x)=0 的两根为 x1= ,x2= ,

当 0<x<x1 时,f′(x)>0;当 x1<x<x2 时,f′(x)<0;当 x>x2 时,f′(x)>0; 故 f(x)分别在(0,x1) , (x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减. (Ⅱ)由(I)知,a>2. 因为 f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+ ﹣a(lnx1﹣lnx2) ,

所以 k= 又由(I)知,x1x2=1.于是 k=2﹣a ,

=1+

﹣a



若存在 a,使得 k=2﹣a,则 亦即 再由(I)知,函数 而 x2>1, 所以

=1,即 lnx1﹣lnx2=x1﹣x2, (*) 在(0,+∞)上单调递增,

>1﹣1﹣2ln1=0,这与(*)式矛盾,

故不存在 a,使得 k=2﹣a.

点评: 此题是个难题.考查利用导数研究函数的单调性和极值问题,对方程 f'(x)=0 有无 实根,有实根时,根是否在定义域内和根大小进行讨论,体现了分类讨论的思想方法,其中问 题(II)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能 力. 20. (16 分)记数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*) ,若存在实常数 A,B,C,对于任意正整数 2 n,都有 an+Sn=An +Bn+C 成立. (1)已知 A=B=0,a1≠0,求证:数列{an}(n∈N*)是等比数列; (2)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,求证:3A+C=B; (3)已知 a1=1,B>0 且 B≠1,B+C=2.设 λ 为实数,若?n∈N*, <λ,求 λ 的取值范围.

考点: 等比关系的确定;等差数列的性质;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)由 an+Sn=C(n∈N*) ,an+1+Sn+1=C.得 an+1=2an,故数列{an}(n∈N*)是等比 数列; (2)令公差为 d,根据等差数列的通项公式和前 n 项和公式,得到 .问题得以证明 (3)根据题意到数列的递推公式,再分类讨论,求出 λ 的范围 解答: 解: (1)由 A=B=0,得 an+Sn=C(n∈N*) ,① 从而 an+1+Sn+1=C. ②…2 分 ②﹣①式得 2an+1=an, 又 a1≠0,所以数列{an}为等比数列. (2)由数列{an}是等差数列,可令公差为 d,则 . 于是由 得 .

由正整数 n 的任意性得

从而得 (3)由 a1=1,B+C=2,及

. ,得 2a1=A+B+C,即 2=A+B+C,

则有 A=0. 于是 an+Sn=Bn+(2﹣B) ,从而 an+1+Sn+1=B(n+1)+(2﹣B) , 相减得 2an+1﹣an=B, ,

又 a1=1,B≠1,则 a1﹣B≠0, 所以 ,即 .

于是



由 B>0 且 B≠1,下面需分两种情形来讨论. (i)当 0<B<1 时,1﹣B>0,则式子 的值随 n 的增大而减小,

所以, 对?n∈N ,

*

的最大值在 n=1 时取得, 即



于是,对于?n∈N ,

*










n n

(ii)当 B>1 时,由(1﹣B)+2 B≥(1﹣B)+2B=1+B>0,2 B≥2B>2B﹣1, 得 .

所以,对于?n∈N ,

*

. ①

假设 λ<1,则有 λ>0,且





,即



这表明,当 n 取大于等于

的正整数时,

不成立,

与题设不符,矛盾.所以 λ≥1.又由①式知 λ≥1 符合题意. 故 B>1 时,λ≥1. 综上所述,当 0<B<1 时, ;当 B>1 时,λ≥1.

点评: 本题属于数列综合运用题,考查了由所给的递推关系证明数列的性质,对所给的递 推关系进行研究求数列的递推公式以及利用数列的求和公式求其和, 再由和的存在范围确定使

得不等式成立的参数的取值范围,难度较大,综合性很强,对答题者探究的意识与探究规律的 能力要求较高,是一道能力型题.


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