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2018年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理科数学)


2018 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

理科数学
本试卷共 5 页,23 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。

2018.3

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设复数 z 满足 z ? 1 ? i ? ? 4 i ,则复数 z 的共轭复数 z ? A. ? 2 2.设集合 A ? ? x
? ?
2

B. 2
x?3 ? ? 0? ,B ? x ?1 ?

C. ? 2 i

D. 2 i

?x

x ≤ ? 3 ? ,则集合 ? x x ≥ 1? ?

A. A I B C. ? 痧 A? U ? R
R

B. A U B
B?

开始

D. ? 痧 A? I R

?

R

B?

n ? 2, S ? 0

3.若 A , B , C , D , E 五位同学站成一排照相,则 A , B 两位 同学不相邻的概率为 A.
4 5

y ? lo g 2 x
S ? S+ 1 n ?n ? 2?

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

4.执行如图所示的程序框图,则输出的 S ? A.
9 20

B.

4 9

C.

2 9

D.

9 40

n ? n? 2



? ? 3 ? ? ? ? 5.已知 s in ? x ? ? ? ,则 c o s ? x ? ? ? 4 ? 5 4 ? ? ?

n≥ 1 9 ?


4 5

A.

4 5

B.
n

3 5

C. ?

D. ?

3 5

输出 S 结束

1 1 ? ? 6.已知二项式 ? 2 x 2 ? ? 的所有二项式系数之和等于 128,那么其展开式中含 项的系数是 x x ? ?

A. ? 8 4

B. ? 1 4

C. 1 4

D. 8 4

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表 面 积为 A. 4 ? 4 2 ? 2 3 C. 1 0 ? 4 2 ? 2 3 B. 1 4 ? 4 2 D. 4

? x ? y ? 2≥ 0 , ? 2 2 8.若 x , y 满足约束条件 ? 2 y ? 1≥ 0 , 则 z ? x ? 2 x ? y 的最小值为 ? x ? 1≤ 0 , ?

A.

1 2

B.
? ?

1 4
? ? ? 6 ? 1? ? 2?
2

C. ?

1 2
?

D. ?

3 4

9.已知函数 f ? x ? ? s in ? ? x ?
? ?

??

? 0 ? 在区间 ? ?
?

?

?? ? , 上单调递增,则 ? 的取值范围为 4 3 ? ? ?3 ? ? ?

A. ? 0 , ? 3
? ?

?

8?

B. ? 0 ,
3 2

C. ?

?1

8? ? ?2 3? ,

D. ? , 2 ? 8

10.已知函数 f ? x ? ? x ? a x ? b x ? a 在 x ? 1 处的极值为 1 0 ,则数对 ? a , b ? 为 A. ? ? 3, 3 ? B. ? ? 1 1, 4 ? C. ? 4 , ? 1 1 ?
uuu r

D. ? ? 3, 3 ? 或 ? 4 , ? 1 1 ?
r 2 uuu A C ,双曲线 5

11.如图,在梯形 A B C D 中,已知 A B ? 2 C D , A E ?

过 C , D , E 三点,且以 A , B 为焦点,则双曲线的离心率为 A. 7 C. 3 B. 2 2 D. 1 0 A

D

E

C B

2 12. 设函数 f ? x ? 在 R 上存在导函数 f ? ? x ? , 对于任意的实数 x , 都有 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 x , 当x ? 0

时, f ? ? x ? ? 1 ? 2 x ,若 f ? a ? 1 ? ≤ f ? ? a ? ? 2 a ? 1 ,则实数 a 的最小值为 A. ?
1 2

B. ? 1

C. ?

3 2

D. ? 2

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 a ? ? m , 2 ? , b ? ? 1,1 ? ,若 a ? b ? a ? b ,则实数 m ? .

14. 已知三棱锥 P ? A B C 的底面 A B C 是等腰三角形,A B ⊥ A C ,P A⊥ 底面 A B C ,PA ? AB ? 1 , 则这个三棱锥内切球的半径为 .

15.△ A B C 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 2 a c o s ? ? ? B ? ? 2 b c o s ? ? ? A ? ? c ? 0 , 则 c o s ? 的值为 .

16.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中,用图①的三角形形象地表示了二项式系数规 律,俗称“杨辉三角形” .现将杨辉三角形中的奇数换成 1 ,偶数换成 0 ,得到图②所示的由数
S2 ? 2 , S3 ? 2 , 字 0 和 1 组成的三角形数表, 由上往下数, 记第 n 行各数字的和为 S n , 如 S1 ? 1 , S 4 ? 4 ,……,则 S 1 2 6 ?



三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题, 每 个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共 60 分. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,数列 ? (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)设数列 ? b n ? 满足
a1 b1 ? a2 b2 ? ? an bn ?1 ? ? 5 ? ? 4 n ? 5 ? ? ? ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n . ?2?
n

? Sn ? ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. ? n ?

18. (本小题满分 12 分) 某地 1~10 岁男童年龄 x i (岁)与身高的中位数 y i ? c m ? ? i ? 1, 2 , L ,1 0 ? 如下表:
x
y

(岁)

1 76.5

2 88.5

3 96.8

4 104.1

5 111.3

6 117.7

7 124.0

8 130.0

9 135.4

10 140.2

?cm ?

对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

x

y

10 2 ? x ? x i i ?1

?

?

10 ? i ?1

? yi

? y

?

2

10 ? x ? x i i ?1

?

? ? yi

? y

?

5.5

112.45

82.50

3947.71

566.85

(1)求 y 关于 x 的线性回归方程(回归方程系数精确到 0.01) ; (2)某同学认为, y ? p x ? q x ? r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型,他求得的回归方程 是 y ? ? 0 .3 0 x 2 ? 1 0 .1 7 x ? 6 8 .0 7 .经调查,该地 11 岁男童身高的中位数为 1 4 5 .3c m .与(1)中 的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好?
i ?1 $ 附:回归方程 $ y ?$ a ?$ b x 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: b? n ?
2

? xi ? x ?? yi ? y ?
n 2 ? x ?x i i ?1



$ a ? y ?$ bx .

?

?

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S ? A B C D 中,△ A B D 为正三角形, ? BCD ? 120 ? ,
C B ? C D ? C S ? 2 , ? BSD ? 90 ? .

S

(1)求证: A C ? 平面 S B D ; (2)若 SC ? BD ,求二面角 A ? SB ? C 的余弦值.
A

D

C

B

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 ? x ?
3

?

2

? y

2

? 1 6 的圆心为 M ,点 P 是圆 M 上的动点,点 N

?

3 , 0 ,点 G 在线段

?

uuu r uuu r MP 上,且满足 G N ? G P

?

? ?

uuu r uuu r ? GN ? GP

?.

(1)求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T ? 4 , 0 ? 作斜率不为 0 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于 A , B 两点,点 A 关于
x 轴的对称点为 D ,连接 BD 交 x 轴于点 Q ,求△ A B Q 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a x ? ln x ? 1 . (1)讨论函数 f ? x ? 零点的个数; (2)对任意的 x ? 0 , f ? x ? ≤ x e
2x

恒成立,求实数 a 的取值范围.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 3 t, ?x ? m ? ? 2 已知过点 P ? m , 0 ? 的直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) , 以平面直角坐标系的原点 ? y ? 1 t, ? ? 2

为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 c o s ? . (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 和曲线 C 交于 A , B 两点,且 P A ? P B ? 2 ,求实数 m 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? a ? 3 x ? b . (1)当 a ? 1 , b ? 0 时,求不等式 f ? x ? ≥ 3 x ? 1 的解集; (2)若 a ? 0 , b ? 0 ,且函数 f ? x ? 的最小值为 2 ,求 3 a ? b 的值.

参考答案
1-5:ADBDD 13、2 17、 14、
3? 6

6-10:ACDBC
3

11-12:AA
1 2

15、-

16、64

18、

(2)


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