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浙江省2012届高三六校联考数学(文科)试卷


浙江省 2012 届六校联考高三数学(文科)试题
考生须知:1.本试题卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.本卷不得使用计算器,答案用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上,做在试题 卷上无效。 一、 选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题给出的四个选项, 只有一项符合题目要求) 1.若全集为实数集 R,集合 A= {x | x 2 ? 4} ,B= {x | 2 x ? 1} ,则(? R A) ? B ? ( A. {x | x ? 1或x ? 2} 2. 若f ( x) ? ? A. e B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} D. ? )

?1 ? ln x (0 ? x ? 2) ?x
2

( x ? 2)
B. 2

,若 f (m) ? 2 ,则 m 的值为(

)
开始
i ? 1, sum ? 0, S ? 0

a?i ? b ? i ( a, b ? R) ,则 a, b 的值为( ) 3.设 i 为虚数单位,若 1? i
A. a ? 0, b ? 1 C. a ? 1, b ? 1 B. a ? 1, b ? 0 D. a ?

1 C. e

1 D. 2 或 e

否 是 输出S 结束

1 , b ? ?1 2 4 ,则判断框中 5
D. i ? 8

i ? i ?1

4.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 应填入的条件是( ) A. i ? 5 B. i ? 6 C. i ? 7

sum ? sum ? 1
S ? S ?1/ ? sum ? i ?

5.若 {an } 为首项为 1 的等比数列, S n 为其前 n 项和,已知 2a2 , S 3 , a4 ? 2 三个数成等差数 列,则 数列 {a n } 的前 5 项和为( ) A.341 B.
2

1000 3

C.1023

D.1024

6.一个袋中装有大小相同的 5 个球,现将这 5 个球分别编号为 1,2,3,4,5,从袋中取出两个 球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回.求取出的两个球上编号之积为奇数的概 率为( ) A.

1 2

B.

3 10

C.

7 20

D.

7 10

7.若 a ? 0且a ? 1,则“ loga b ? 0 ”是“ (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

1

?x ? y ? 1 ? 8.已知点 ( x, y ) 满足 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 ?2 x ? y ? 2 ?

a 的范围为( )
A. (?1,2)
2

B. (?4,2)

C. (?2,1)

D. (?2,4)

9. 若f ( x ) ? x ? cos x, x ? [ ? ( ) A.4 10.已知点 P 为双曲线 焦点, 且 | F1 F2 |? 值为( ) A.

? ?

1 , ] ,设 g ( x) ?| f ( x) | ? ,则函数 g (x) 的零点个数为 2 2 2
B.3 C.2 D.1

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1 , F2 分别为双曲线的左右 a2 b2

b2 ,I 为三角形 PF1 F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? ?S?IF1F2 成立,则 ? 的 a

1? 2 2 2

B. 2 3 ? 1

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图) ,为 了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要 从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 200 人作进一步 调查,其中低于 1500 元的称为低收入者,高于 3000 元的 称为高收入者,则应在低收入者和高收入者中抽取的人数 一共是____________. 12.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的表 面积是 . 第 11 题

13.已知函数 f ( x) ?

x2 , 1? x2
1 2 1 3 1 4 1 5

第 12 题

则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =_____. 14.不共线的两个向量 a, b ,且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直, a ? b 与 a 垂直, a 与 b 的夹角的 余弦值为____.
2
? ?
? ? ?

15. 函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,设 x ? [ ? 围为_______.

? ?

, ] ,若 f 2 ( x) ? a 恒成立,则实数 a 的取值范 6 3 A

16.如图正四面体 ABCD,E 为棱 BC 上的动点,则 异面直线 BD 和 AE 所成角的余弦值的范围为 _______. .... 17.设集合 A= [0, ), B ? [ ,1] , 函

1 2

1 2

B E C
第 16 题

D

1 ? ?x ? , x ? A 数 f ( x) ? ? , 2 ?log2 (2 ? x), x ? B ?
若 x0 ? A , 且 f [ f ( x0 )] ? A ,则 x0 的取值范围是_________.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) 等比数列 {an } 为递增数列,且 a 4 ? (1)求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; (2) Tn ? b1 ? b2 ? b22 ? ? ? b2n ?1 ,求使 Tn ? 0 成立的最小值 n .

a 2 20 ※ , a3 ? a5 ? ,数列 bn ? log3 n (n∈N ) 3 9 2

3

19. (本题满分 14 分) 在锐角三角形 ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, b, c , 角 B, 且 (1)求角 A; (2)若 a ?

b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? ac sin A cos A

2 ,求 bc 的取值范围.

4

20. (本题满分 14 分) 如下图(图 1)等腰梯形 PBCD,A 为 PD 上一点,且 AB⊥PD,AB=BC,AD=2BC,沿着 AB 折叠使得二面角 P-AB-D 为 60 的二面角, 连结 PC、 在 AD 上取一点 E 使得 3AE=ED, PD, 连结 PE 得到如下图(图 2)的一个几何体. (1)求证:平面 PAB ? 平面 PCD; (2)求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
?

P

P

A

D
图1

A E
图2

D

B

C

B

C

5

21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x (a ? R) 2

(1)求 f (x) 的单调区间; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,若 g (x) 在 [1, e] 上不单调且仅在 x ? e 处取得最大值,求 a 的 取值范围.

6

22. (本题满分 15 分) 设抛物线 M 方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,其焦点为 F,P( a,b) ( a ? 0) 为直线 y ? x 与 抛物线 M 的 一个交点, | PF |? 5 (1)求抛物线的方程; (2)过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,试问在抛物线 M 的准线上是否存在一点 Q,使得 ? QAB 为等边三角形,若存在求出 Q 点的坐标,若不存在请说明理由.

y
Q B

O

F

x

7

六校联考高三数学(文科)试题参考答案和评分标准
一、选择题(每小题 5 分,每题只有一个正确的选项) 1 2 3 4 5 6 B C B A A B 7 A 8 B 9 A 10 D

二、填空题(每小题 4 分) 11.60 人 12. 12cm2 13.

9 2 3 2

14.

10 5

15. a ? 1 ? 三、解答题

3 2

16. [ 0, )

1 2

17. ( ? 2 , )

1 2

? 3 2 ?a1 q ? 3 q 3 ? 18.解: (1)?{an } 是等比数列,? ? ,两式相除得: ? 2 10 1? q ?a q 2 ? a q 4 ? 20 1 1 ? 9 ?
q ? 3或者 q ? ? a n ? a1 q n ?1 1 2 ,?{an } 为增数列,?q ? 3 , a1 ? -------4 分 3 81 2 ? ? 3 n ?1 ? 2 ? 3 n ?5 --------6 分 81

? bn ? l o g 3

an n(?4 ? n ? 5) 1 2 ? (n ? 9n) ---8 分 ? n ? 5 ,数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? 2 2 2
2 n ?1

(2) n ? b1 ? b2 ? b2 2 ? ?b2 n?1 = (1 ? 5) ? (2 ? 5) ? (2 ? 5) ? ?(2 T 即: 2 ? 5n ? 1 -------12 分
n

? 5) =

1 ? 2n ? 5n ? 0 1? 2

? 24 ? 5 ? 4 ? 1,25 ? 5 ? 4 ? 1?nmin ? 5 --------14 分
(只要给出正确结果,不要求严格证明) 19 . 解 :( 1 ) ?

b 2 ? a 2 ? c 2 cos(A ? C ) ? 2ac cos B ? cos B ? ? , ? , ac sin A cos A ac sin A cos A

? ?ABC为锐角三角形
? c o s ? 0 ? 2 s i n c o sA ? 1, 即sin 2 A ? 1 ,? 2 A ? B A
(2)正根据弦定理可得:

?
2

,A?

?
4

-----------------6 分

C?
8

3? ?B 4

a b c ? ? ,? bc ? 4 sin B sin C -----------8 分 sin A sin B sin C


? bc ? 4 sin B sin(

3? 2 2 ? B) = 4 sin B( cos B ? sin B) ? 2 sin 2B ? 2 (1 ? cos2B) 4 2 2

? bc ? 2 sin( 2 B ?

?
4

) ? 2 ---------------------------------12 分

? ? ?0 ? B ? 2 ? ? ? 又 ?ABC为锐角三角形,? ? ,得到 B 的范围: ( , ) ----13 分 4 2 ?0 ? 3? ? B ? ? ? 4 2 ?
? 2B ?

?

? 3? ? ( , ) ,则 bc 范围: (2 2 ,2 ? 2 ] ----14 分 4 4 4

20.解: (1)证明:? AB ? PA, AB ? AD ,又二面角 P-AB-D 为 60

?

? ?PAD ? 60? ,又 AD=2PA ? AP ? PD
有平面图形易知:AB ? 平面 APD,又 PD ? 平面APD ,? AB ? PD ,

? AP, AB ? 平面ABP,且 AP ? AB ? A
? PD ? 平面PAB,又 PD ? 平面PCD ,? 平面 PAB ? 平面 PCD---------7 分
(2)设 E 到平面 PBC 的距离为 h ,? AE//平面 PBC 所以 A 到平面 PBC 的距离亦为 h 连结 AC,则 VP ? ABC ? VA? PBC ,设 PA=2

P A E B C
图2

1 1 1 1 ? ? ? 2? 2? 3 = ? ? 2? 7 ? h 3 2 3 2

2 21 ,设 PE 与平面 PBC 所成角为 ? ?h ? 7

D

2 3 h 2 7 ---------------14 分 ? 7 ? ? sin ? ? PE 7 3
21.解: (1) f ( x) ? x ?
'

a x2 ? a ? ( x ? 0) ---------2 分 x x

' 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,所以此时只有递增区间( 0,??) ---------4 分

若 a ? 0 ,当 f ' ( x) ? 0时,得x ? a
9

当f ' ( x) ? 0时,得0 ? x ? a
所以此时递增区间为: a ,??) ,递减区间为: ( (0, a ) -------------6 分 (2) g ( x) ? x ?
'

a x2 ? 2x ? a ?2? ( x ? 0) ,设 h( x) ? x2 ? 2x ? a ( x ? 0) x x

若 g (x) 在 [1, e] 上不单调,则 h(1)h(e) ? 0 ,? (3 ? a)(e2 ? 2e ? a) ? 0

? 3 ? a ? e2 ? 2e -------------10 分
同时 g (x) 仅在 x ? e 处取得最大值,?只要g (e) ? g (1) 即可 得出:a ? 分 22.解: (1) ?

e2 5 ? 2e ? ----------14 分 2 2

? a 的范围:(3,

e2 5 ? 2e ? ) ---15 2 2

?y ? x

?x ? 2 p ?x ? 0 (舍去) ?? 或? y 2 ? 2 px ? y ? 2 p ? x ? 0 ?
?| PF |? 5
?2 p ? p ?5 2

? P(2 p,2 p)

?p?2

?抛 物 线 的 方 程2为 4x --5 分 y ?
(2)若直线 l 的斜率不存在,则 Q 只可能为 (?1,0) ,此时 ?QAB 不是等边三角 形,舍去,--7 分 若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ( k ? 0 ) ,设直线 l 与 抛物线的交点坐标为 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 1) 4 ? k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , x1 ? x2 ? 2 ? 2 ? 2 k ? y ? 4x
设存在 Q(?1, m) , AB 的中点为 M (1 ? 有题意可知:

2 2 , ) ,设 Q 到直线 l 的距离为 d k2 k

?2 ? k ?m 1 ? ? ??① ?2 k ? ?2 ---10 分 ? k2 ? ?d ? 3 | AB |? | 2k ? m | ? 3 | 4 ? 4 | ??② ? 2 2 k2 k2 ?1 ?
10

由①可得: m ? ③代入②得: (2k ?

2 ? 4 / k ------③ k3

2 4 2 3 16(k 2 ? 1)2 ? ) ? (k 2 ? 1) ? ? , k3 k 4 k4

化简得:

1 4(k 2 ? 1) 4 (k 2 ? 1)3 ? k 2 ? ----14 分,?m ? ?8 2 ? 12 6 4 2 k k

?Q(?1,?8 2 ) 为所求点-----15 分

A

11


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