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2015年北京市石景山区高三一模数学(理)试题及答案


本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后上交答 题卡.

第一部分(选择题
1.若集合 A ? {x | x ? 0} ,且 A A. {1,2}

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

B ? B ,则集合 B 可能是(
C. {?1,0,1}
开始

) D. R

B. {x | x ? 1}

2.在极坐标系中,圆 ? ? 2 被直线 ? sin ? ? 1 截得的弦长为( A. 3 C. 2 3 ) B. 2 D. 3

输入k

n ? 1, s ? 1

3.执行如右图的程序框图,若输出的 S ? 48 , 则输入 k 的值可以为 ( A. 4 C. 8 B. 6 D. 10 )

n?k




n ? n?3 s ? 2s ? n

输出 s

结束 )

4.已知 m ? R , “函数 y ? 2 x ? m ? 1有零点”是“函数 y ? log m x 在 上为减函数”的( (0, +?) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.二项式 (2 x ? A. 240

1 6 ) 的展开式中,常数项的值是( x2
B. 60 C. 192 D. 180



1 1 (m ? k ) ,则该数列前 mk 项之和为( 6.等差数列 ?an ? 中, am ? , ak ? k m mk mk mk ? 1 mk ?1 ?1 A. B. C. D. 2 2 2 2



7.在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2, 2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

z

2



1









A.①和②

B.③和①

C.③和④

D.④和②

5 ?1 ,则称此双曲线为黄金双曲线.有以下几个命题: 2 x2 y2 2 x2 2 ①双曲线 是黄金双曲线; ②双曲线 ? ?1 y ? ? 1 是黄金双曲线; 2 5 ?1 5 ?1 x2 y2 ③在双曲线 2 ? 2 ? 1 中, F1 为左焦点, A2 为右顶点, B1(0,b) ,若∠F1 B1 A2 ? 90? ,则该双曲线是黄金双曲线; a b
8.如果双曲线的离心率 e ? ④在双曲线

x2 y2 ? ? 1 中,过焦点 F2 作实轴的垂线交双曲线于 M、N 两点,O 为坐标原点,若∠MON ? 120? ,则该 a 2 b2

双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为( A.①和② ) C.③和④ D.①和④ 共 110 分)

B.②和③

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. z ? 1 ? i , z 为复数 z 的共轭复数,则 z ? z ? z ?1 ? ___________. 10.如图,AB是半径等于3的圆O的直径, CD是圆O的弦,BA、DC 的延长线交于点P, 若PA =4,PC =5,则∠CBD= ___________. B D C O



A

P

? y ? 1, ? 2 2 11.设不等式组 ? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一点 M,则点 M 落在圆 x ? y ? 1 内的概 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
率为___________.

12.如图,在 6 ? 6 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量

b


a, b , c 满足 c ? xa ? yb ,( x, y ? R) ,则

x = y



c

a




13.若甲乙两人从 6 门课程中各选修 3 门,则甲乙所选的 课程中恰有 2 门相同的选法 有 .. 种(用数字作答) .

14.已知集合 M ? {( x, y )| y ? f ( x )} ,若对于任意 ( x1, y1 ) ? M ,都存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立, 则称集合 M 是“垂直对点集” .给出下列四个集合:
2

① M ? {( x , y )| y ?

1 }; x

② M ? {( x, y)| y ? log2 x} ; ④ M ? {( x, y )| y ? sin x ? 1} . .

③ M ? {( x, y)| y ? e x ? 2} ; 其中是“垂直对点集”的序号是

3

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点 P( x1 , y1 ) ,将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 (Ⅰ)求函数 f (? ) 的值域; (Ⅱ)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 若 f (C) ? 2 ,且 a ?
Q P O α x

? 后与单位圆交于点 Q( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? y1 ? y2 . 2
y

2 , c ? 1 ,求 b .

16. (本小题满分 13 分)

空气质量等 AQI 值范围 级

优 [0,50)



轻度污染

中度污染 [150,200)

重度污染 [200,300)

严重污染 300 及以上

[50,100) [100,150)

国家环境标准制定的空气质量指数(简称 AQI)与空气质量等级对应关系如下表: 下表是由天气网获得的全国东西部各 6 个城市 2015 年 3 月某时刻实时监测到的数据: 西部城市 西安 西宁 克拉玛依 鄂尔多斯 巴彦淖尔 库尔勒 AQI 数值 108 92 37 56 61 456 东部城市 北京 金门 上海 苏州 天津 石家庄 AQI 数值 104 42 x 114 105 93

AQI 平均值:135

AQI 平均值:90

(Ⅰ) 求 x 的值,并根据上表中的统计数据,判断东、西部城市 AQI 数值的方差的大小关系(只需写出结果) ; (Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取 3 个城市组织专家进行调研,记选到空气质量“轻 度污染”的城市个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 17. (本小题满分 14 分) 如图, 多面体 ABCDEF 中, 平面 ADEF⊥平面 ABCD, 正方形 ADEF 的边长为 2, 直角梯形 ABCD 中, AB∥CD, AD⊥DC, AB=2,CD=4. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 BDE; (Ⅱ)试在平面 CDE 上确定点 P,使点 P 到 直线 DC、DE 的距离相等,且 AP 与平面 BEF 所成的角等于 30°. A D B C F E

4

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

1? a (a ? 0) . x

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 离心率 e ? ,短轴长为 2 2 . 2 2 a b
y P M A O x

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 如图,椭圆左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标 于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别 点.试问以 MN 为直径的圆是否经过 无关)?请证明你的结论.
Q

轴不重合)与椭圆 C 交 与 y 轴交于 M,N 两 定点 (与直线 PQ 的斜率

N

20. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 满足: ① a1 ? 1 ; ②所有项 an ? N * ;
5

③ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ?. 设集合 Am ? ?n|an ? m, m ? N *?,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm ,即 bm 是数列 ?an ? 中满足不等式 an ? m 的 所有项的项数的最大值.我们称数列 ?bn ? 为数 ?an ? 的伴随数列.例如,数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3. (Ⅰ)若数列 ?an ? 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 ?an ? ; (Ⅱ)设 an ? 3
n ?1

,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 的前 30 项之和;
2

(Ⅲ)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? c (其中 c 常数) ,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bm ? 的前 m 项和 Tm .

6

2015 年石景山区高三统一测试

数 学(理)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 B

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 11 12 13 180 14 ③④

1+ 2

?
6

?
8

11 2

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分) (Ⅰ )由题意,得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ?

?
2

) ? cos ? ,

………………3 分

所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ? ) , 4

?

………………5 分

因为 ? ? (0,

?
2

) ,所以 ? ?

?

? 3? ? ( , ) ,故 f (? ) ? (1, 2] . 4 4 4

………7 分

(Ⅱ )因为 f (C ) ?

2 sin( ? C ) ? 2 , 4
………………9 分
2 2 2

?

? ? C ? (0, ) ,所以 C ? , 4 2
在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C , 即1 ? 2 ? b ? 2 2 ?
2

2 b ,解得 b ? 1 . 2

……………13 分

16. (本小题共 13 分) (Ⅰ)x ? 82 D 东部<D 西部 (Ⅱ )“优”类城市有 2 个,“轻度污染”类城市有 4 个. 根据题意 ? 的所有可能取值为: 1, 2, 3 . ………………5 分 ………………2 分 ………………4 分

1 2 2 1 3 0 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 C 1 P(? ? 1) ? 3 ? , P(? ? 2) ? 3 ? , P(? ? 3) ? 3 2 ? . C6 5 C6 5 C6 5

…11 分

?

1
7

2

3

? ? 的分布列为:

P

1 5

3 5

1 5

所以 E? ? 1?

1 3 1 ? 2 ? ? 3? ? 2 . 5 5 5

………………13 分

17. (本小题共 14 分) (Ⅰ)证明:因为平面 ABEF ? 平面 ABCD,ED ? AB. 所以 ED ? 平面 ABCD 又因为 BC ? 平面 ABCD,所以 ED ? BC. 在直角梯形 ABCD 中,由已知可得 BC2=8,BD2=8,CD2=16,所以,CD 2=BC2+BD2 ,所以,BD ? BC 又因为 ED BD=D,所以 BC ? 平面 BDE. ……………4 分 ……………5 分 ……6 分 z E …………7 分 F D x A B ………………1 分 ………………2 分

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz 则 D ? 0,0,0? A? 2,0,0? , E ?0,0,2? , B ? 2,2,0? , F ? 2,0,2?

EF ? ? 2,0,0? , EB ? ? 2,2, ?2 ?
设 P ? 0, y, z ? ,则 y ? z

令 n ? ? x?, y?, z?? 是平面 BEF 的一个法向量, 则?

C y

?n ? EF ? 0 ? ? ?n ? Eb ? 0
…………9 分

? x? ? 0 ? 2 x? ? 0 ? 所以 ? ,令 y ? ? 1 ,得 ? y ? ? 1 所以 n ? ? 0,1,1? ? 2 x? ? 2 y ? ? 2 z ? ? 0 ? z? ? 1 ?
因为 AP 与平面 BEF 所成的角等于 30 , 所以 AP 与 n ? (0,1,1) 所成的角为 60 或 120 所以 cos ? AP, n ? ?
2 2

AP ? n AP ? n

?

y?z 4 ? y2 ? z2 ? 2
(*)

?

1 2

………11 分

所以 y ? z ? 4 yz ? 4 ? 0 又因为 y ? z ,所以 y

? z 或 y ? ?z

………12 分

当 y ? ? z 时, (*)式无解 当y

? z 时,解得: y ? z ? ?

6 3
8

………13 分

所以, P(0,

6 6 6 6 , ) 或 P(0, ? ,? ). 3 3 3 3

………14 分

18.(本小题共 13 分) (Ⅰ) f ( x) ? x ? a ln x 的定义域为 (0, ?? ) . 当 a ? 1 时, f ?( x ) ? ………1 分 ………2 分

x ?1 . x

由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增; 所以当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得极小值,极小值为 f (1)=1 ? ln1 ? 1 ; (Ⅱ) h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? a ln x ? ……..4 分

1? a ,其定义域为 (0, ?? ) . x
…………..6 分

x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? 又 h?( x) ? . x2 x2

由 a ? 0 可得 1 ? a ? 0 ,在 x ? (0,1 ? a ) 上 h?( x ) ? 0 ,在 x ? (1 ? a, ??) 上 h?( x ) ? 0 , 所以 h( x ) 的递减区间为 (0,1 ? a ) ;递增区间为 (1 ? a, ??) . (III)若在 [1, e] 上存在一点 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 即在 [1, e] 上存在一点 x 0 ,使得 h( x0 ) ? 0 .即 h( x ) 在 [1, e] 上的最小值小于零. …8 分 ①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时,由(II)可知 h( x ) 在 [1, e] 上单调递减. 故 h( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 h(e) , 由 h ( e) ? e ? ……..……7 分

1? a e2 ? 1 ? a ? 0 ,可得 a ? . e e ?1

………9 分

因为

e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 .所以 a ? e ?1 e ?1

………10 分

②当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 由(II)可知 h( x ) 在 (1,1+a ) 上单调递减,在 (1 ? a, e) 上单调递增.

h( x ) 在 [1, e] 上最小值为 h(1 ? a ) ? 2+a ? a ln(1 ? a ) .
因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以 0 ? a ln(1 ? a ) ? a .

………11 分

? 2+a ? a ln(1 ? a) ? 2 ,即 h(1 ? a) ? 2 不满足题意,舍去.
综上所述: a ? (

…………12 分

e2 ? 1 , ??) . e ?1
9

………13 分

19. (本小题共 14 分) (Ⅰ)由短轴长为 2 2 ,得 b ? 由e ?

2,

………………1 分

c a 2 ? b2 2 2 2 ,得 a ? 4, b ? 2 . ? ? a a 2
x2 y 2 ? ? 1. 4 2
………………4 分

∴椭圆 C 的标准方程为

(Ⅱ)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 证明如下:设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且

………………5 分
2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 2 y0 ? 4, 4 2

∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ M (0, ) ……………6 分 x0 ? 2 x0 ? 2
………………7 分

直线 QA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ N (0, ), x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为 ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?

2 y0 2 y0 )( y ? )?0 x0 ? 2 x0 ? 2

………………10 分

【或通过求得圆心 O?(0,

2 x0 y0 4y ) , r ?| 2 0 | 得到圆的方程】 2 x0 ? 4 x0 ? 4

即x ?y ?
2 2

4 x0 y0 4 y02 y ? ?0, x02 ? 4 x02 ? 4
2 2

2 2 ∵ x0 ? 4 ? ?2 y0 ,∴ x ? y ?

2 x0 y?2? 0, y0

………………12 分

令 y ? 0 ,则 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 .
2

∴以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 20. (本小题共 13 分) (Ⅰ)1,4,7 (Ⅱ)由 an ? 3
n?1

…………14 分 ……………………3 分

? m ,得 n ? 1 ? log3 m (m ? N * )
……………………4 分 ……………………5 分 ……………………6 分 ……………………7 分

当 1 ? m ? 2, m ? N * 时, b1 ? b2 ? 1 当 3 ? m ? 8, m ? N * 时, b3 ? b4 ? ??? ? b8 ? 2 当 9 ? m ? 26, m ? N ? 时, b9 ? b10 ? ? ? ? ? b26 ? 3 当 27 ? m ? 30, m ? N ? 时, b27 ? b28 ? b29 ? b30 ? 4

10

∴ b1 ? b2 ? ? ? ? ? b30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? 18 ? 4 ? 4 ? 84 (III)∵ a1 ? S1 ? 1 ? c ? 1

……………………8 分

c?0 ∴

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ∴ an ? 2 n ? 1 (n ? N )
*

……………………9 分

由 an ? 2n ? 1 ? m 得: n ?

m ?1 (m ? N * ) 2

因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 b1 ? b2 ? 1, b3 ? b4 ? 2, ???, b2t ?1 ? b2t ? t (t ? N )
*

当 m ? 2t ? 1 (t ? N ) 时:
*

Tm ? 2 ?

1 ? (t ? 1) 1 ? (t ? 1) ? t ? t 2 ? (m ? 1) 2 2 4
*

……………………11 分

当 m ? 2t (t ? N ) 时:

Tm ? 2 ?

1? t 1 ? t ? t 2 ? t ? m(m ? 2) 2 4

……………………12 分

? (m ? 1)2 ( m ? 2t ? 1 , t ? N * ) ? ? 4 所以 Tm ? ? ? m(m ? 2) (m ? 2t , t ? N * ) ? ? 4
【注:若有其它解法,请酌情给分. 】

……………………13 分

11


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