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2015-2016学年高中数学 3.2.1用向量方法解决平行问题课后习题 新人教A版选修2-1


第一课时
课时演练·促提升

用向量方法解决平行问题

A组 1.若直线 l 上有两点 A(1,-3,5),B(-1,-1,4),那么直线 l 的一个方向向量是( ) A.(1,1,0) B.(4,-4,2) C.(-3,-3,0) D.(4,4,2) 解析:由已知=(-2,2,-1),所有与共线的向量均为 l 的法向量,选项中与共线的只有(4,-4,2),故选 B. 答案:B 2.若=λ +μ ,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 解析:∵=λ +μ ,∴共面,则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内. 答案:D 3.若平面 α 内有不共线的两向量 a=(3,1,-2),b=(2,-2,0),则下列向量中是平面 α 法向量的是 ( ) A.(2,2,-2) B.(-1,-1,2) C. D.(3,3,-6) 解析:设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z), 依题意有令 x=1,则 y=1,z=2, 于是 n=(1,1, 2),而与 n 共线,故为平面 α 的法向量. 答案:C 4.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 u,则可能使 l∥α 的是( ) A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),u=(1,0,1) C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1) D.a=(1,-1,3),u=(0,3,1) 解析:∵l∥α ,∴a⊥u,即 a·u=0.故选 D. 答案:D 5.已知平面 α ∥平面 β ,n=(1,-1,1)是平面 α 的一个法向量,则下列向量是平面 β 的法向量的是 ( ) A.(1,1,1) B.(-1,1,-1) C.(-1,-1,-1) D.(1,1,-1) 解析:因为 α ∥β ,所以两个平面的法向量应共线,只有 B 选项 符合. 答案:B 6.在正方体 ABCD-A1 B1C1D1 中,各棱对应的向量可作为面 A1B1C1D1 的法向量的个数为 . 解析:可以作面 A1B1C1D1 的法向量的有共 8 个. 答案:8 7.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求平面 ACD1 的一个法向量 n. 解:如图 ,建立空间直角坐标系,则 A (1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).

设平面 ACD1 的法向量 n=(x,y,z). ∵= (-1,1,0),=(-1,0,1), 又∵n 为平面 ACD1 的一个法向量,


化简,得

1

令 x=1,得 y=z=1. ∴平面 ACD1 的一个法向量 n=(1,1,1). 8.已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线 BD,AE 上,且 BM=BD,AN=AE, 求证:MN∥平面 CDE. 证明:取 AB,AD,AF 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图 所示的空间直角坐标系,

设 B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c), 则 E(0,3b,3c),M(2a,b,0),N(0,b,c). 故=(-2a,0,c). 又平面 CDE 的一个法向量是=(0,3b,0), 故=(-2a,0,c)·(0,3b,0)=0, 即. 又 MN?平面 CDE,故 MN∥平面 CDE. 9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H,M,N 分别是正方体六个表面的中心,证明:平面 EFG∥平面 HMN. 证明:如图,建立空间直角坐标系.

不妨设正方体的棱长为 2,则 E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,1,2),M(1,2,1),N(0,1,1), 所以=(0,-1,1),=(1,0,1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1). 设 m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别是平面 EFG 和平面 HMN 的一个法向量. 由 令 x1=1,得 m=(1,-1,-1). 由 令 x2=1,得 n=(1,-1,-1). 于是有 m=n,所以 m∥n. 故平面 EFG∥平面 HMN. B组 1.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,P,Q 分别为棱 AB,CD,BC 的中点,若平行六面体的各棱长 均相等,则

①A1M∥D 1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面 DCC1D1; ④A1M∥平面 D1PQB1.
以上正确的个数为( A.1 B.2 解析:, ) C.3 D.4

2

,

∴,从而 A1M∥D1P. ∴①③④正确.
答案:C 2.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面 ABC 的一个单位法向量为( ) A. B. C. D. 解析:设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),则有 取 x=1,则 y=-2,z=2. 所以 n=(1,-2,2).因为|n|=3, 所以平面 ABC 的一个单位法向量可以是. 答案:B 3.已知 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,x),若 AD? 平面 ABC,则实数 x 的值是 . 解析:易求得平面 ABC 的法向量 u=(0,0,1),而=(1,1,x),故当 AD? 平面 ABC 时,·u=0. 故 1×0+1×0+x=0,即 x=0. 答案:0 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 AA1 上靠近点 A 的三等分点,在线段 DD1 上是 否存在一点 G,使 CG∥EF?若存在,求出点 G 的位置,若不存在,说明理由. 解:存在.如图,建立空间直角坐标系,

设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 则 E,F,C(0,1,0), 假设在 DD1 上存在一点 G,使 CG∥EF, 则,由于点 G 在 z 轴上, 设 G(0,0,z),则=(0,-1,z). ∵,∴=λ , 即(0,-1,z)=λ . ∴解得 ∵z=∈[0,1],∴点 G 在线段 DD1 上,其坐标为. 故在线段 DD1 上存在一点 G,使 CG∥EF,点 G 是 DD1 上靠近点 D1 的三等分点. 5.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2,BB1=3,D 是 A1C1 的 中点.证明:A1B∥平面 B1DC.

证明:如图,以 B 为坐标原点,分别以 BA,BC,BB1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 则 B1(0,0,3),C(0,, 0),D,A1(,0,3).

3

=(-,0,-3),,
, 方法一:因为, 所以是共面向量,且不共线.又因为 A1B?平面 B1DC,所以 A1B∥平面 B1DC. 方法二:设平面 B1DC 的法向量为 n=(x,y,z),则 取 n=. 因为·n=0,且 A1B?平面 B1DC, 所以 A1B∥平面 B1DC. 6.在如图所示的多面体中,EF⊥ 平面 AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2, G 是 BC 的中点,求证:AB∥平面 DEG.

证明:∵EF⊥平面 AEB,AE? 平面 AEB,BE? 平面 AEB,

∴EF⊥AE,EF⊥BE. 又∵AE⊥EB, ∴EB,EF,EA 两两垂直. 以点 E 为坐标原点,EB,EF,EA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0), ∴=(0,2,2),=(2,2,0),=(2,0,-2). 设平面 DEG 的法向量为 n=(x,y,z),
则 令 y=1,得 z=-1,x=-1,则 n=(-1,1,-1), ∴·n=-2+0+2=0,即⊥n. ∵AB?平面 DEG, ∴AB∥平面 DEG.

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