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数学竞赛思维对解题直觉培养

浅谈数学竞赛思维对解题直觉的培养 摘要:数学直觉思维是重要的数学思维形式,从解题的角度探讨 了培养数学直觉思维的方法,并在实际教学中进行了有益的探索。 关键词:解题教学;数学;直觉思维;培养 部分教育工作者认为数学竞赛是一种急功近利的行为,竞赛只是 培养少数尖子学生,甚至有人认为竞赛与高考相对立,并不能培养 学生的数学思维能力,做竞赛题花时间太多,影响高考成绩。本文 从解题的角度探讨了培养数学直觉思维的方法,并在实际教学中进 行了有益的探索。 从多年的教学经验中笔者发现常常会遇见这样的情况,经常在黑 板上刚把题目写完还没来得及解释题意,就立刻有学生说出了答 案。这样的学生有的基础并不好,但却能凭直觉判断出结果,你问 他为什么,他也回答不上个所以然,只是傻傻地摸摸脑袋说:“大 概是这样的。”人们之所以认为数学难学,其实是因为数学最本质 的特点是高度的抽象性,抽象和概括构成了数学的实质。因此,抽 象概括能力构成了数学思维能力的第一要素,除此之外,还有推理 能力、判断选择能力和探索能力。 一、在数学竞赛中培养和提高学生的思维能力 1.直觉思维能力的定义 “直觉思维”简单来说,就是你看到一个人,马上就能看出他的 基本特征:高矮、胖瘦、美丑、性格等等,这种“看”其实就是感 觉,也是人的思维特征之一;伊恩·斯图加特说:“直觉是真正的 数学家赖以生存的东西。”许多重大的发现都基于直觉。例如:欧 几里得几何学的五个公式都是基于直觉,从而建立起欧几里得几何 学这栋辉煌的大厦。利用直觉思维解决数学问题,直觉思维不受固 定的逻辑思维约束,对事物的敏锐洞察、本质理解和综合的判断, 是一种直接的思维或认知。直觉思维没有严格的步骤和规则,可以 突破常规定式,“跳跃”过某些思维阶段,直觉思维是创造性思维 的重要组成部分。1910 年魏格纳在查阅地图时发现格陵兰岛附近一 个小岛的位置 46 年间相差了四分之一英里,他马上意识到这不是 误差造成的,而是大陆漂移形成的,这就是大陆漂移说理论的最初 产生。 2.直觉思维能力的特点 笔者认为直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可 靠性等特点,从培养直觉思维的必要性来看,笔者总结了以下三个 主要特点: (1)创造性是一种发散性思维。在数学教学过程中,教师通常 按照教材固有的知识,按照单向思维方式从题目的条件和结论出发 联想到已知的公理、定理、公式,从某一方向思考问题,采用某一 方法解决问题,应该说这种方式是解决问题的基本方法,但长久以 来按这样的方式思考问题会形成思维定式,严重制约同学们的创造 性思维.因此同学们在数学学习中要逐步养成用发散性思维去思考 问题,经常运用一题多解、一题多变等方法去解题。 (2)简约性是思维对象从整体上思考调动自己的全部知识,做 出快速而大胆的假设和判断,它省去了繁琐的中间环节,利用跳跃 的方式使思维擦出火花,是思考者的灵感和顿悟。 (3)自信力:学生对数学产生兴趣的原因一般有两种,一种是 数学本身的魅力,一种是教师的人格魅力,但兴趣更多来自于数学 本身。成功可以培养一个人的自信,直觉发现伴随着很强的自信心。 相比物质的奖励或情感激励,这种自信更稳定、更持久。现在的中 学生极少具有直觉意识,对有限的直觉也半信半疑,不能从整体上 驾驭问题,所以也就无法形成自信。以下面两道竞赛题为例: 例 2.已知 a、b、c 是三个互不相等的实数,且关于 x 的两个方程 ax2+bx+c=0、bx2+cx+a=0 恰有一个公共根,那么抛物线 y=cx2-ax+b 必过定点 . 分析:这是 2007 年全国初中数学竞赛改编题。观察两个已知方 程,凭直觉思维 x =1 就是其公共根,所以抛物线必过定点(-1,0)。 其实当人们解一道数学题时,往往要对结果或解题方法先作大概 的估计(估量)或猜测,这就是一种直觉(思维)。在解决抽象的 数学问题时,要时刻注意利用直觉思维解题,以培养自己把抽象转 化为具体(形象)的能力。 3.培养学生的直觉思维能力 学习数学的关键是先学会审题和分析,在教学过程中将数学材料 中反映的数和形的关系从具体的材料中抽象出来,做好抽象概括的 示范工作,要特别注意重视“分析”和“综合”的教学。 在解题教学中要注意发掘隐藏在各种特殊细节后面的普遍性,找 出其内在本质,善于抓住主要的、基本的东西,教会学生善于运用 直觉抽象和上升型概括的方法。 培养学生学会总结概括的习惯,激发学生概括的欲望,当遇到一 类新题时,经常把这种类型的问题一般化,找出其本质。 培养学生的抽象概括能力是一项长期而艰苦的工作,要随时注意 培养,有意识地根据不同情况严格训练和要求,逐步深入,提高要 求。 二、在竞赛数学教学中培养和提高学生的探索能力 普通的数学教学一般都是讲数学中的典型范例,例如在“数列” 这一章,我们的教育者一般只讲两种典型的数列:等比数列、等差 数列,而在竞赛教学中我们要研究一些“非典型”问题,比如同样 在“数列”部分,我们就要研究递推数列、高阶等差求和等问题。 在研究“非典型”问题的过程中,我们培养、提高了学生的数学思 维能力。 数学探索能力是在抽象概括能力、推理能力、选择判断能力基础 上发展的创造性思维能力,探索的过程其实是一个不断提出设想、 验证设想、推翻设想、修正和发展设想的过程。在数学中,它表现 在提出数学问题、探求数学结论、探索解题途径、寻找解题规律等 一系列有意义的发现活动之中,而数学探索能力就集中地表现为提 出设想和进行转换的本领。从具体的探索方法上给予学生指导,在 探索过程中要应用各种思维方式方法,如分析、归纳、联想等,要 重点给学生介绍逻辑的探索方法,鼓励学生勇于探索,善于探索, 善于发现的精神,提出独立见解。 总之,数学竞赛教学与思维息息相关,数学能力具有和一般能力 不同的特性。因此,发展数学思维能力是竞赛数学教学的主要任务, 是我们在发展学生数学思维能力的努力中,不仅要考虑到能力的一 般要求,还要更深入研究数学科学、数学活动和数学思维的特点,