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2016版优化方案高考数学(江苏专用理科)二轮复习课件专题二第1讲 三角函数的图象与性质_图文

专题二 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质 专题二 三角函数与平面向量 2016高考导航 考点扫描 1.三角函数 图象与解析式 三年考情 2015 2014 第5题 2013 考向预测 2.三角函数 的图象与性质 第1题 江苏近几年高考三角函数 试题一般是一个小题一个 大题,大题一般都为基础 题,处在送分题的位置.从 高考命题内容来看,三角 函数的图象和性质,尤其 是三角函数的周期、最值、 单调性、图象变换、特征 分析(对称轴、对称中心) 等是命题热点. 1.必记的概念与定理 (1)同角关系: sin2α+ cos2α= 1, sin α = tan α. cos α kπ (2)诱导公式:在 + α, k∈ Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符 2 号看象限”. (3)三角函数的图象及常用性质 函数 y= sin x y= cos x y= tan x 图 象 函数 y=sin x y=cos x y=tan x π ? 在 - + 2kπ , ? 2 在 [ - π + 2k π ? + 2kπ (k∈ Z) 上 π , 2kπ ](k∈ Z) 2 ? 在 单 调 性 ?-π + kπ , ? 2 在 单 调 递 增 ; 在 上单调递增; π ? + k π [2 k π , π + 2 k 2 ? ?π + 2kπ ,3π π ](k∈ Z) 上 单 2 ?2 (k∈ Z) 上 单 调 + 2kπ 调递减 ] 调递减 (k∈ Z) 上 单 递增 函数 y=sin x y=cos x 对称中心: y=tan x 对 称 性 对称中心: (kπ ,0)(k∈ Z); 对称轴: π x= + kπ (k∈ Z) 2 ?π + kπ ,0 ? ?2 ? x=kπ (k∈ Z) 对称中心: ?kπ , 0 ?(k∈ Z) ? (k∈ Z); 对称轴: ? 2 2.记住几个常用的公式与结论 对于函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0)要记住下面几个常用结 论: (1)定义域: R. (2)值域: [- A, A]. π 2kπ+ - φ 2 当 x= (k∈ Z)时, y 取最大值 A; ω π 2kπ- - φ 2 当 x= (k∈ Z)时, y 取最小值- A. ω 2π (3)周期性:周期函数,最小正周期为 . ω (4)单调性: π π ? ? 2 k π - - φ 2 k π + - φ ?(k∈ Z); 2 2 单调递增区间是? ? , ? ω ω ? ? π 3π ? 2kπ+ - φ 2kπ+ - φ ? ? ?(k∈ Z). 2 2 单调递减区间是 ? , ? ω ω ? ? (5)对称性:函数图象与 x 轴的交点是对称中心,即对称中心 k π- φ ? 是 , 0?,对称轴与函数图象的交点纵坐标是函数的最 ? ω ? π k π+ - φ 2 值,即对称轴是直线 x= ,其中 k∈ Z. ω (6)函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0)中, A 影响函数图象的最 高点和最低点,即函数的最值;ω 影响函数图象每隔多少重 复出现,即函数的周期;φ 影响函数的初相. (7)对于函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0)的图象,相邻的两个 对称中心或两条对称轴相距半个周期;相邻的一个对称中心 和一条对称轴相距周期的四分之一. 3.需要关注的易错易混点 三角函数图象平移问题 (1)看平移要求: 看到这类问题, 首先要看题目要求由哪个函 数平移到哪个函数,这是判断移动方向的关键点. (2)看移动方向: 在学习中, 移动的方向一般我们会记为“正 向左,负向右”,其实,这样不理解的记忆是很危险的.上 述规则不是简单地看 y= Asin(ωx+ φ)中 φ 的正负,而是和它 的平移要求有关.正确地理解应该是:平移变换中,将 x 变 换为 x+ φ,这时才是“正向左,负向右”. (3)看移动单位: 在函数 y= Asin(ωx+ φ)中, 周期变换和相位变 换都是沿 x 轴方向的,所以 ω 和 φ 之间有一定的关系, φ 是初 φ 相位,再经过 ω 的压缩,最后移动的单位是| |. ω 考点一 三角函数的图象与解析式 (2015· 高考湖北卷 )某同学用“五点法”画函数 f(x)= π? ? Asin(ωx+φ) ω >0,|φ |< 在某一个周期内的图象时,列表并填 2? ? 入了部分数据,如下表: π 3π ωx+ φ 0 π 2π 2 2 π 5π x 3 6 Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y= f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度, 得到 y= g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为 ?5π , 0?,求 θ 的最小值. ? 12 ? π [解 ] (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω = 2,φ =- ,数据补 6 全如下表: ωx+ φ x Asin(ωx+ φ) 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13 π 12 0 π? ? 且函数解析式为 f(x)= 5sin 2x- . 6? ? π? ? (2)由 (1)知 f(x)=5sin 2x- 6 , ? ? π? π ? π? ? ? ? 因此 g(x)=5sin 2?x+6 ?- 6 = 5sin 2x+6 . ? ? ? ? 因为 y= sin x 的对称中心为(kπ, 0),k∈Z. π kπ π 令 2x+ = kπ, k∈ Z,解得 x= - , k∈ Z. 6 2 12 kπ π ? 即 y=g(x)图象的对称中心为? 2 - 12, 0? k∈ Z, 其中离原点 O ?, π ? 最近的