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上海市普陀区第二学期高三年级质量调研考试数学试卷 (理科)

上海市普陀区 2008 学年度第二学期高三年级质量调研 数学试卷 (理科)
答题纸的相应位置,本卷上任何解答都不作评分依据 。 ....................... 一、填空题(本大题满分 55 分)本大题共有 11 小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的空 格中.每个空格填对得 5 分,填错或不填在正确的位置一律得零分. 1.若复数 z ? i ? i ( i 是虚数单位) ,则 | z |?
2

2009.04

说明:本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。本套试卷另附答题纸,每道题的解答必须写在 ....

.
?1

2. 已知函数 f ( x) ? 1 ? loga x  (a ? 0且a ? 1) , f 图像过点 (3, 4) ,则 a ? 若不计损耗,则需要原材料 .

( x) 是 f ( x) 的反函数,若 y ? f ?1 ( x) 的

3. 用金属薄板制作一个直径为 0.2 米,长为 3 米的圆柱形通风管. 平方米(保留 3 位小数).


开始 输入 x

4. 设 e1 、 e2 是平面内一组基向量,且 a ? e1 ? 2e2 、 b ? ?e1 ? e2 , 则向量 e1 ? e2 可以表示为另一组基向量 a 、 b 的线性组合,即

x?0

y ? ?1



y ?1

x?0


y ?0

e1 ? e2 ?

a?

b.

5. 右图是某算法的程序框图,该算法可表示分段函数,则其输出 结果所表示的分段函数为 f ? x ? ? .
输出 y 结束

?2 x ? m y ? 5 6. 关于 x、y 的二元线性方程组 ? 的增广矩阵经过变 ?nx ? 3 y ? 2
换,最后得到的矩阵为 ? ?

第 5 题图

?1 0 3 ? ? m? ? ? ,则 ? ?n? ?? 0 1 1 ? ? ? ?
.

7. 在极坐标系中, 设曲线 ? ? ?4sin ? 和 ? cos ? ? 1 相交于点 A 、B , 则 AB =

8. 设联结双曲线

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 ) 与 的 4 个顶点的四边形面积为 S1 , a 2 b2 b2 a 2

联结其 4 个焦点的四边形面积为 S2 ,则

S1 的最大值为 S2

.

9. 将函数 f ( x) =

3 sin x 的图像向左平移 a ( a > 0 )个单位,所得图像对应的函数为偶函 1 cos x

数,则 a 的最小值为 10. 园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛 的四块区域. 要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花,相邻区域须用不同 颜色的鲜花. 设花圃中布置红色鲜花的区域数量为 ? ,则随机变量 ? 的数 学期望 E? ? . 11. 已知数列 ?an ? 是首项为 a 、公差为 1 的等差数列,数列 ?bn ? 满足

bn ?


1 ? an * .若对任意的 n ? N ,都有 bn ? b8 成立,则实数 a 的取值范围 an
.

第 10 题图

二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个结论是正确的,必须把 正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得 4 分, 不选、 选错或选出的代号超过一 个(不论是否都写在空格内) ,或者没有填写在题号对应的空格内,一律得零分.

1 0 1
12. 以下向量中,能成为以行列式形式表示的直线方程 x

2 1 ? 0 的一个法向量的是 y 1 1



) A. n ? ?1, ?2? ; B. n ? ? ?2,1? ; C. n ? ? ?1, ?2? ; D. n ? ? 2,1? .

13. 设数列 ? an ? 的首项 a1 ? 1 且前 n 项和为 S n . 已知向量 a ? ?1, an ? , b ? ? an ?1 , ? 满足

? ?

1? 2?

a ? b ,则 lim S n ?
n? ?

( B. ?1 ; C.



A.

1 ; 2

2 ; 3

D.

3 . 2
( )

14. 在△ABC 中, “ cos A ? 2 sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的 A.必要非充分条件; B.充分非必要条件; C.充要条件; 15. 现有两个命题:

D.既非充分又非必要条件.

(1) 若 lg x ? lg y ? lg( x ? y) ,且不等式 y ? ?2 x ? t 恒成立,则 t 的取值范围是集合 P ; (2) 若函数 f ( x ) ?

x , x ? ?1, ?? ? 的图像与函数 g ( x) ? ?2 x ? t 的图像没有交点,则 t x ?1 的取值范围是集合 Q ;
( C. P ? Q ; D. ) B. Q ? P ;

则以下集合关系正确的是 A. P ? Q ;

P Q ??.

三、解答题(本大题满分 79 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内 写出必要的步骤. 16. (本题满分 12 分)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 且方向向量为 d ? ?1, 2 ? 的直线 l 交该抛物 线于 A 、 B 两点,求 OA ? OB 的值.

17. (本题满分 14 分) 已知复数 z1 ? cos x ? i , z2 ? 1 ? sin x ? i ( i 是虚数单位) ,且

z1 ? z2 ? 5 .当实数 x ? ? ?2? , 2? ? 时,试用列举法表示满足条件的 x 的取值集合 P .

18. (本题满分 15 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 9 分) 若 n ? N , 1? 2
*

?

?

n

? 2an ? bn ( an 、 bn ? Z ).

(1) 求 a5 ? b5 的值; (2)求证:数列 ?bn ? 各项均为奇数.

19. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的 下部 ABCD 是矩形,其中 AB ? 2 米, BC ? 0.5 米.上部 CmD 是个半圆,固定点 E 为 CD 的 中点. △EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) , MN 是可以沿 设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆( MN 和 AB、DC 不重合). (1)当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时,求此时三角通风窗 EMN 的通风面积; (2)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S (平方米)表示 成关于 x 的函数 S ? f ? x ? ; (3)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大?并求出这个 最大面积.
m
M

m

N

D M A

E

C N

D A

E
图(2)

C

B

B

第 19 题图

20. (本题满分 22 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 12 分)

如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是直角梯形,其中

DA ? AB , AD // BC . PA ? 2 AD ? BC ? 2 , AB ? 2 2
(1) 求异面直线 PC 与 AD 所成角的大小; (2) 若平面 ABCD 内有一经过点 C 的曲线 E ,该曲线上的任一动点 Q 都满足 PQ 与 AD 所 成角的大小恰等于 PC 与 AD 所成角. 试判断曲线 E 的形状并说明理由; (3)在平面 ABCD 内,设点 Q 是(2)题中的曲线 E 在直角梯形 ABCD 内部(包括边界) 的一段曲线 CG 上的动点,其中 G 为曲线 E 和 DC 的交点. 以 B 为圆心, BQ 为半径的圆分 别与梯形的边 AB 、 BC 交于 M 、 N 两点. 当 Q 点在曲线段 GC 上运动时,试提出一个研究 有关四面体 P ? BMN 的问题(如体积、线面、面面关系等)并尝试解决. 【说明: 本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分; 本小题的计算结果可以使用 近似值,保留 3 位小数】
P

C D A B

第 20 题图

上海市普陀区 2008 学年度第二学期高三年级质量调研
数学试卷参考答案及评分标准(文理科)
一、填空题(每题 5 分,理科总分 55 分、文科总分 60 分) : 1. 2009.04

2;

2. 理:2;文: ? ??,1?

?2, ?? ? ;

3. 理:1.885;文:2;

2 1 4. 理: , ? ;文:1.885; 3 3

?1, x ? 0 ? 5. 理: ?0, x ? 0 ;文:4; ? ?1, x ? 0 ?
1 ;文:6; 2

? ? 1? 2 1 ? ? 6. 理:? 5 ? ;文: , ? ; 3 3 ? ? ?3 ?

?1, x ? 0 ? 7. 理: 2 3 ;文: ?0, x ? 0 ; ? ?1, x ? 0 ?

8. 理:

9. 理:

5 p ;文: 1 ; 6 12

10. 理:1; 文:

1 ; 2

11. 理: ? ?8, ?7 ? ;文:

5 p; 6

12. 文: ? ?8, ?7 ? ;

二、选择题(每题 4 分,总分 16 分) : 题号 答案 三、解答题: 16.(理,满分 12 分) 解:因为抛物线的焦点 F 的坐标为 (1, 0) ,设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? , 由条件,则直线 l 的方程为 …2 理 12;文 13 A 理 13;文 14 C 理:14;文:15 B 理 15;文:16 C

x ?1 y y ? ? x ? ? 1, 1 2 2

…4 …8

代入抛物线方程 y 2 ? 4 x ,可得 y 2 ? 4 ?

? y?2? 2 ? ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 y1 y2 ? ?4 . ? 2 ?

于是, OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 17.(文,满分 12 分)

?y y ? ? 1 2
16

2

? y1 y2 ? 1 ? 4 ? ?3 .

…12

解:因为 a ? b ? a ? b ? 0 ,所以由条件可得 an ?1 ? ? 即数列 ? an ?是公比 q ? ? 又 a1 ?

an * ,n?N . 2

…4 …6

1 的等比数列. 2

a3 ? 1, q2

…8 …12

所以, lim Sn ?
n??

a1 1 2 ? ? . 1? q 1? 1 3 2

(理)17.(文)18. (满分 14 分) 解:因为 z1 ? z2 ? ? cos x ? 1? ? ?1 ? sin x ? i

?

? cos x ? 1? ? ?1 ? sin x ?
2

2

? 5

…3

所以, sin x ? cos x ? ?1 ? 即x?

?? ?? 2 ? ? 2 sin ? x ? ? ? ?1 ? sin ? x ? ? ? ? 4? 4? 2 ? ?

…7

?
4

? 2 k? ?

3? ? ? 或 x ? ? 2 k? ? , k ? Z 4 4 4

? x ? 2 k? ? ? 或 x ? 2 k ? ?
又由 x ? ? ?2? , 2? ? ,即 当 k ? 0 时, x ? ?? 或 x ? ? 所以,集合 P ? ??? , ?

?
2

,k ?Z

…11

?
2

;当 k ? 1 时, x ? ? 或 x ?

3? . 2
…14

? ?

?
2

,? ,

3? ? ?. 2?

18.(理,满分 15 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 9 分) 解: (1)当 n ? 5 时, 1 ? 2

?

? ?C50 ? C52 ? ?

? 2?

2

? C54

? ? C ?C 2 ?C ? 2? ? ?C ? 2? ? ?C 2 ? C ? 2 ? ? C ? 2 ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ?
5 0 5 1 5 2 5 2 5 5
4 1 5 3 5 3 5 5 5

5

…3

? 41 ? 29 2
故 a5 ? 29 , b5 ? 41,所以 a5 ? b5 ? 70 . (2)证:由数学归纳法 (i)当 n ? 1 时,易知 b1 ? 1 ,为奇数; (ii)假设当 n ? k 时, 1 ? 2 则当 n ? k ? 1 时, …6

?

?

k

? 2ak ? bk ,其中 bk 为奇数;
…8

?1? 2 ?

k ?1

? 1? 2 ? 1? 2 ?

?

? ?
k

? ?

2ak ? bk ? 1 ? 2

??

?
…10

? 2 ? ak ? bk ? ? ? bk ? 2ak ?
所以 bk ?1 ? bk ? 2ak ,又 ak 、 bk ? Z ,所以 2ak 是偶数,

而由归纳假设知 bk 是奇数,故 bk ?1 也是奇数. 综上(i) 、 (ii)可知, bn 的值一定是奇数. 证法二:因为 1 ? 2

…14 …15

?

?

n

0 1 2 ? Cn ? Cn 2 ? Cn

? 2?
4

2

?

n ? Cn n ?1 ? Cn

? 2? ? 2?

n

0 2 当 n 为奇数时, bn ? Cn ? Cn

? 2? ? 2?
2

2

4 ? Cn

? 2?

?

n ?1

则当 n ? 1 时, b1 ? 1 是奇数;当 n ? 3 时,
2 因为其中 Cn

? 2?

2

4 ? Cn

4

?
4 n

n ?1 ? Cn 4

? 2?
4

n ?1

中必能被 2 整除,所以为偶数,
n ?1

…10

0 2 于是, bn ? Cn ? Cn

当 n 为偶数时, bn ? Cn
2 其中 Cn

0

? 2 ? ? C ? 2 ? ? ? C ? 2 ? 必为奇数; ?C ? 2? ?C ? 2? ? ?C ? 2?
n ?1 n 2 n 2 4 n n n n

? 2?

2

4 ? Cn

? 2?

4

?

n ? Cn

? 2 ? 均能被 2 整除,于是 b 必为奇数.
n

…14 …15

n

综上可知, ?bn ? 各项均为奇数. 19. (文,满分 14 分) 解:如图,设 BC 中点为 D ,联结 AD 、 OD . 由题意, OB ? OC ? 2 , ?BOC ? 60? ,所以 △OBC 为等边三角形, 故 BC ? 2 ,且 OD ? 3 . 又 S△ ABC ? 所以 AO ?

…3
A

1 BC ? AD ? 3 ? AD ? 3 , 2

AD2 ? OD2 ? 6 .
2

…8 …10
O 第 19 题图 B D C

而圆锥体的底面圆面积为 S ? ? ? OC ? 4? , 所以圆锥体体积 V ?

1 4 6 ? S△ ABC ? AO ? ?. 3 3

…14

(理)19. (文)20. (满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 解: (1)由题意,当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时, MN 应位于 DC 上方,

且此时 △EMN 中 MN 边上的高为 0.5 米. 又因为 EM ? EN ?

1 DC ? 1 米, 可得 MN ? 3 米. 2

…2
m

所以, S

EMN

?

1 3 平方米, MN ? h ? 2 4 3 平方米. 4 ? ?
D M A

E

即三角通风窗 EMN 的通风面积为

C N

…4

图(1)

B

(2)1 如图(1)所示,当 MN 在矩形区域滑动,即 x ? ? 0, ? 时,

1? 2?

1 ?1 ? 1 ?EMN 的面积 S ? f ( x) ? ? | MN | ? ? ? x ? ? ? x ; 2 ?2 ? 2
2 如图(2)所示,当 MN 在半圆形区域滑动,即 x ? ?

…6

?1 3? , ? 时, ?2 2?
m
M
N

1 | MN | ? 2 1 ? ( x ? ) 2 ,故可得 ?EMN 的面积 2
1 1? ? S ? f ( x) ? ? | MN | ? ? x ? ? 2 2? ?
D A

E
图(2)

C

B

1 1 1 ? ? 2 1 ? ( x ? )2 ? ( x ? ) 2 2 2
1? 1? ? ? ? ? x ? ? ? 1? ? x ? ? ; 2? 2? ? ?
综合可得:
2

…9

? 1 ? 1? x ? ? 0, ? , ?? x ? 2 , ? 2? ? S ? f ( x) ? ? ?? x ? 1 ? 1 ? ( x ? 1 ) 2 , x ? ? 1 , 3 ? . ? ? ? ? ? 2? 2 ?2 2? ??

…10

(3)1 当 MN 在矩形区域滑动时, f ( x ) 在区间 ? 0, ? 上单调递减, 则有 f ( x) ? f (0) ?

? ?

1? 2?

1 ; 2

…12

2 当 MN 在半圆形区域滑动时,

1 1 1 1 f ( x) ? ( x ? ) 1 ? ( x ? )2 ? ( x ? )2 [1 ? ( x ? )2 ] ? 2 2 2 2
等号成立 ? ( x ? ) ? 1 ? ( x ? ) , x ? ?
2 2

1 1 ( x ? )2 ? [1 ? ( x ? )2 ] 2 2 ?1, 2 2
…15

1 2

1 2

1 ?1 3? ?1 3? , ? ? x ? ( 2 ? 1) ? ? , ? . 2 ?2 2? ?2 2?

因而当 x ? 积为 S max

1 ( 2 ? 1) (米)时,每个三角通风窗 EMN 得到最大通风面积,最大面 2

1 ? (平方米). 2

…16

21(文,满分 18 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 7 分) 解: (1)设右焦点坐标为 F (c, 0) ( c ? 0 ). 因为双曲线 C 为等轴双曲线,所以其渐近线必为 y ? ? x , 由对称性可知,右焦点 F 到两条渐近线距离相等,且 ?POF ? 于是可知, △OPF 为等腰直角三角形,则由 OP ? 又由等轴双曲线中, c ? 2a ? a ? 2 .
2 2
2

?
4

.

2 ? OF ? c ? 2 ,

…3

即,等轴双曲线 C 的方程为 x ? y ? 2 .
2 2

(2)设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? 为双曲线 C 直线 l 的两个交点. 因为 F (2, 0) ,直线 l 的方向向量为 d ? ?1, 2 ? ,直线 l 的方程为

…5

x?2 y ? ? y ? 2( x ? 2) . 1 2
2 2 2 2 代入双曲线 C 的方程 x ? y ? 2 ,可得 x ? 4 ? x ? 2 ? ? 2 ? 3 x ? 16 x ? 18 ? 0 , 2

…7

16 ? ? x1 ? x2 ? , 于是有 ? 3 ? ? x1 x2 ? 6.
而 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 4 ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?

…9

? 5 x1 x2 ? 8 ? x1 ? x2 ? ? 16 ?

10 . 3

…11

(3)假设存在定点 P ? m,0? ,使 PM ? PN 为常数,其中 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) 为直线

l 与双曲线 C 的两个交点的坐标. ①当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2)
代入 x2 ? y 2 ? 2 ,可得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 2) ? 0 . 由题意可知, k ? ?1 ,则有 x1 ? x 2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 x ? x ? , . 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1

…13

于是, PM ? PN ? ? x1 ? m ?? x2 ? m ? ? k 2 ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)(x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2
(k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? 4k 2 ? m 2 2 2 k ?1 k ?1 2 2(1 ? 2m)k ? 2 4(1 ? m) ? ? m2 ? 2 ? m 2 ? 2(1 ? 2m) 2 k ?1 k ?1 ?
要使 PM ? PN 是与 k 无关的常数,当且仅当 m ? 1 ,此时 PM ? PN ? ?1 . ②当直线 l 与 x 轴垂直时,可得点 M (2 , 2 ) , N (2 ,? 2 ) , 若 m ? 1 , PM ? PN ? ?1 亦为常数. 综上可知,在 x 轴上存在定点 P(1, 0) ,使 PM ? PN ? ?1 为常数. …16

…17 …18

20(理,满分 22 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 12 分) 解: (1)解法一:由题意,四边形 ABCD 是直角梯形,且 AD ∥ BC , 则 PC 与 AD 所成的角即为 ?PCB . 因为 DA ? AB ? BC ? AB ,又 PA ? 平面 ABCD , 所以 BC ? 平面 PAB ,则有 ?PBC ? 90 . 因为 PB ? …2

PA2 ? AB2 ? 2 3 , BC ? 2 ,

所以 tan ?PCB ?

? PB 2 3 ? ? 3 ,则 ?PCB ? , 3 BC 2

? . 3 解法二:如图,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴、直线 AD 为 y 轴、直线 AP 为 z 轴,
即异面直线 PC 与 AD 所成角的大小为 建立空间直角坐标系. 于是有 P ? 0,0,2? 、 C 2 2, 2, 0 ,则有 PC ? 2 2, 2, ?2 ,又 AD ? ? 0,1,0 ? 则异面直线 PC 与 AD 所成角 ? 满足 cos ? ?

…4

?

?

?

?

PC ? AD PC ? AD

?

2 1 ? , 4 2

…2

所以,异面直线 PC 与 AD 所成角的大小为

? . 3
…4

(2)解法一:由条件,过 Q 作 QF ? AB ,垂足为 F ,联结 PF . 于是有 AD // QF ,故 PQ 与 AD 所成角即为 ?PQF ? 60? . 在平面 ABCD 中,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,建立平面直角坐标 系. 设动点 Q( x, y) , 则有 PF ?

PA2 ? AF 2 ? 4 ? x 2
P

z

又 QF ? 平面 PAB ,所以 QF ? PF .

4 ? x2 所以, QF ? y ? ? tan 60? 3 PF
4? x 2 2 ?y ? ,即 3 y ? x ? 4 . 3
2 2

y C D Q B x
…6

A

所以,可判定曲线 E 是双曲线. (2)解法二:如图,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴、直线 AD 为 y 轴、直线 AP 为 z 轴,

建立空间直角坐标系.设点 Q( x, y,0) ,点 P(0, 0, 2) 、点 D(0,1, 0) 、点 A(0, 0, 0) , 则 PQ ? ( x, y, ?2) , AD ? (0,1,0) , 由 PQ ? AD ? ? PQ ? AD ? cos

…8

?
3

, …10

? y??

1 2 x ? y2 ? 4 , 2

化简整理得到 3 y 2 ? x2 ? 4 ,则曲线 E 是平面 ABCD 内的双曲线. (3)解:在如图所示的 xOy 的坐标系中,因为 D ? 0,1? 、 C 2 2, 2 、 B 2 2, 0 , 设

?

?

?

?

…6

G ? x1, y1 ? .则有 DC ? 2 2,1 ,故 DC 的方程为

?

?

x 2 2

?

y ?1 , 1
…8 …10

代入双曲线 E:3 y 2 ? x2 ? 4 的方程可得,3 y 2 ? 8( y ?1)2 ? 4 ? 5 y 2 ?16 y ? 12 ? 0 ,其 中 y1 y2 ?

12 . 5

因为直线 DC 与双曲线 E 交于点 C ,故 y1 ?

?2 2 6? 6 2 2 . 进而可得 x1 ? ,即 G ? ? 5 ,5? ?. 5 5 ? ?

故双曲线 E 在直角梯形 ABCD 内部(包括边界)的区域满足 x ? ?

?2 2 ? ,2 2? , ? 5 ?

?2 2 ? ?6 ? ,2 2? . y ? ? , 2 ? . 又设 Q ? x, y ? 为双曲线段 CG 上的动点, x ? ? ?5 ? ? 5 ?
所以, BQ ?

?x ? 2 2?

2

? y2 ?
2

4 2 28 x ? 4 2x ? 3 3

4? 3 2 ? 10 ? x ? ? ? ? 3? 2 ? 3 ? ?
? 3 2 ?2 2 30 3 2 ?? , 2 2 ? ,所以当 x ? 因为 时, BQ min ? ; 2 5 3 2 ? ?
…12

当x?

2 2 2 41 时, BQ max ? . 5 5

而要使圆 B 与 AB 、 BC 都有交点,则 BQ ? 2 . 故满足题意的圆的半径的取值范围是 BQ ? ? 【说明】 1. 若提出的问题在解决过程中不需用到以上结论的, 则完整提出问题并解决最高得 6 分. 2. 若提出的问题在解决过程中需用到以上结论的,则上述分析过程满分 6 分;继续深入 的研究过程和结论则可参考以下典型问题和解答,最高再得 6 分. ? 问题一:求四面体 P ? BMN 体积的取值范围. 因为 PA ? DMN , 所以 P ? BMN 体积为 VP ? BMN ? 为研究 △BMN 的面积. 又因为 ?MBN 为直角,所以 △BMN 必为等腰直角三角形. 由前述,设 BQ ? r ? ? …16

? 30 ? , 2? . ? 3 ?

1 ? PA ? S 3

BMN

. 故问题可以转化

? 30 ? , 2? ,则 BM ? BN ? r , ? 3 ?

…18

故其面积为 S△ BMN ?

1 2 ?5 ? r ,所以 S△BMN ? ? , 2? . 2 ?3 ?

于是, VP ? BMN ?

1 ? PA ? S 3

BMN

?

2 S 3

BMN

?10 4 ? ?? , ?. ? 9 3?

(当 Q 点运动到与点 C 重合时,体积取得最大值;当 Q 点运动到横坐标 x ?

3 2 时,即 2

BQ 长度最小时,体积取得最小值)
? 问题二:求侧棱 PM 与底面 BMN 所成角大小的取值范围. …22 解:因为 PA ? BMN ,所以 ? PMA 即为侧棱 PM 与底面 BMN 所成角. 而 tan ?PMA ?

? 30 ? PA 2 , 2? ? ,r?? 3 AM 2 2 ? r ? ?

由于

? 30 ? 2 , 2 ? 内递增, 在区间 ? 2 2 ?r ? 3 ?

…18

所以 tan ?PMA ??1.995,2.414? ,即 ?PMA ??arctan1.995,arctan 2.414? . ? 问题三:求侧棱 PN 与底面 BMN 所成角大小的取值范围. 解:因为 PA ? BMN ,所以 ?PNA 即为侧棱 PN 与底面 BMN 所成角. 因为 N 2 2, r ,所以 AN ? 8 ? r ,
2

?

?

故 tan ?PNA ?

? 30 ? PA 2 , 2? . ,r?? ? 3 AN 8 ? r2 ? ?

…22 …18

? 30 ? , 2 ? 内递减, 由于 在区间 ? 8 ? r2 ? 3 ?

2

所以 tan ?PNA ? ?

? 3 ? ?? ? , 0.594 ? ,即 ?PNA ? ? , arctan 0.594? . ?6 ? ? 3 ?

? 问题四:求侧面 PMN 和底面 BMN 所成的二面角 P ? MN ? B 大小的取值范围. 解:以 A 为原点, AB 为 x 轴正方向, AD 为 y 轴正方向, AP 为 z 轴正方向建立空间直 角坐标系,则有 P ? 0,0,2? , M 2 2 ? r , 0, 0 , N 2 2, r , 0 , 设平面 PMN 的法向量为 n ? ? x0 , y0 , z0 ? . 由 n ? PM , n ? MN ,可得平面 PMN 的一个法向量坐标为 n ? ?1, ?1, 2 ?

?

?

?

?

…22

? ?

r? ?. 2?

…18

可知,向量 PA ? ? 0,0, ?2? 是平面 BMN 的一个法向量,于是向量 PA 和 n 的夹角 ? 的大 小即为二面角 P ? MN ? B 平面角的大小. 而 cos ? ?

r ?2 2 (2 2 ? r ) 2 2 2? 4

?

r ?2 2 8? 2 2 ?r

?

?

2



经分析可得, cos ? 在区间 r ? ?

? 30 ? , 2 ? 内递增. 3 ? ?

所以, cos? ???0.334, ?0.281? , 即二面角大小的取值范围是 ?? ? arccos0.281, ? ? arccos0.334?

…22