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湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考数学理试题 Word版含答案


荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟

2017 届高三 2 月联考

数 学 (理 科) 试 题
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.已知复数 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 A. 1 ? 3i D. ?1 ? 3i A. (??,3) D. (?1, 2) 3.已知 ? 为第四象限角, sin ? ? cos ? ? A. ?

2 2 ? z 的共轭 复数是 .. z
B. 1 ? 3i C. ?1 ? 3i

x 2.设集合 A ? x x ? 2 , B ? y | y ? 2 ? 1, x ? A ,则 A ? B ?

?

?

?

?

B. 2,3?

?

C. (??, 2)

1 ? ,则 tan 的值为 5 2
C. ?

1 2

B.

1 2

1 3

D.

1 3

4.有一长、宽分别为 50m 、 30m 的矩形游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在 池边任一位置可能性相同,一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员,其声音可传出

15 2m ,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是 3 3 A. B. 4 8 12 ? 3? D. 32 y2 2 2 ? 1的渐近线的距离是 5.抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ? 3 1 A. 1 B. 2 3 D. 2 2 6.函数 y ? ln x ? x 的图像为

C.

3? 16

C.

3

1

A B C D 7.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 4 的正方形,两条虚线互相垂直, 则该几何体的体积是

176 3 128 C. 3
A.

B.

160 3

D. 32

第 7 题图 第 8 题图 8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺, 松日自半,竹 日自倍,松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a 、b 分别为 5 、 2 ,则输出 的n ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2 9. 设 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N (1,? ) , 若 P(? ? ?1) ? 0.2 , 则 函 数

1 f ( x) ? x3 ? x 2 ? ? 2 x 没有极值点的概率是 3 A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 2 2 10.已知圆 C : x ? y ? 4 ,点 P 为直线 x ? 2 y ? 9 ? 0 上一动点,过点 P 向圆 C 引两条切 线 PA 、 PB , A 、 B 为切点,则直线 AB 经过定点 4 8 2 4 A. ( , ) B. ( , ) C. (2, 0) 9 9 9 9 D. (9, 0) 11.如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上,边 B3C3 上有 10 个不同的点

P 1, P 2 ,?, P 10 , ???? ? ??? ? 记 mi ? AB2 ?AP 1 ? m2 ? ? ? m 10 的值为 i (i ? 1,2?,10) ,则 m
2

A. 15 3 C. 60 3

B. 45

12.已知函数 f ( x) ? ?

则A?B;

,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数.设 第 11 题图 , ( x ? 2) n ? N * ,定义函数 f n ( x) : f1 ( x) ? f ( x) , f2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,? , fn ( x) ? f ( fn?1 ( x))(n ? 2) ,则下列说法正确的有 ?2 ? ① y ? x ? f ( x) 的定义域为 ? , 2 ? ; ②设 A ? ?0,1,2? ,B ? ? x f 3 ( x) ? x, x ? A? , ?3 ?

?(2 ? ? x ?)?x ? 1 ,(0 ? x ? 2) ? 1

D. 180

③ f 2016 ( ) ? f 2017 ( ) ? 含有 8 个元素. A. 1 个

8 9

8 9

13 ;④若集合 M ? x f12 ( x) ? x, x ? ? 0, 2? ,则 M 中至少 9
B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

?

?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题至第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22 题至第 23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上, 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 13. ( x ?
3

1 8 ) 的展开式中, x 4 的系数为__________. x

?2 x ? y ? 5 ? 14.某校今年计划招聘女教师 x 人,男教师 y 人,若 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ,则该学校今年 ? x?6 ?
计划招聘教师最多__________人.
2 15. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 2 x sin(

?

2

x ) ? 1 的 两 个 零 点 分 别 为 m 、 n( m ? n) , 则

?

n

m

1 ? x2 d x ? _________.

16.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人 们称之为神奇数.具体数列为: 1,1, 2,3,5,8? ,即从该数列的第三项数字开始,每个数 字等于前两个相邻数字之和.已知数列 ?an ? 为“斐波那契”数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则 (Ⅰ) S7 ? __________; (Ⅱ)若 a2017 ? m ,则 S2015 ? __________. (用 m 表示)

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 , x ? [ (Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ) 已知锐角 ?ABC 的两边长分别为函数 f ( x) 的最大值与最小值, 且 ?ABC 的外接 圆半径为

? 11?

, ]. 3 24

3 2 ,求 ?ABC 的面积. 4
3

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损, 其中,频率分布直方图的分组区间分别为 ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? , 据此解答如下 问题.

(Ⅰ)求全班人数及分数在 ?80,100? 之间的频率;

(Ⅱ)现从分数在 ?80,100? 之间的试卷中任取 3 份分析学生情况,设抽取的试卷分数 在 ?90,100? 的份数为 X ,求 X 的分布列和数学望期. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,?BCD ? 135? ,侧面 PAB ? 底面 ABCD ,?BAP ? 90? ,AB ? AC ? PA ? 2 , E , F 分别为 BC, AD 的中点, 点 M 在线段 PD 上. (Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAC ; (Ⅱ) 如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 PM ABCD 所成的角相等,求 的值. PD

20. (本小题满分 12 分) 如图,曲线 ? 由曲线 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和曲线 a 2 b2
F3 F1

y

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, y ? 0) 组成,其中点 F1 , F2 为曲线 C1 所 a 2 b2 在圆锥曲线的焦点,点 F3 , F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点, (Ⅰ)若 F2 (2,0), F3 (?6,0) ,求曲线 ? 的方程; C2 :
求证:弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上;

F2 O B

F4

x

(Ⅱ)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,

A

(Ⅲ)对于(Ⅰ)中的曲线 ? ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D,求△ CDF1 面积 的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ?

(4 x ? a) ln x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂 3x ? 1

直. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求 m 的取值范围;

4

(Ⅲ)求证: ln(4n ? 1) ? 16

? ?4i ? 1??4i ? 3?
i ?1

n

i

(n ? N * ) .

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4 - 4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P ? ?1,0? ,其倾斜角为 ? ,在以原点 O 为极点, x

轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位) ,曲线 C 的极坐标方程为

? 2 ? 6? cos? ? 1 ? 0 .
(Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 ? 的取值范围; (Ⅱ)设 M ? x, y ? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ( x) ?| 2 x ? 3 | ?2 . (Ⅰ)解不等式 | g ?x ? |? 5 ; (Ⅱ)若对任意 x1 ? R ,都存在 x2 ? R ,使得 f ? x1 ? = g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取值范围.

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2017 届高三二月联考试题理科数学参考答案
一、选择题 题号 1 答案 13. ?56 三、解答题
2 17.(Ⅰ) f ( x) ? 2 3 sin x ? 2sin x cos x ? 3 ? 2sin(2 x ?

2 D

3 C 14. 10

4 B

5 D

6 A

7 B

8 C

9 C

10 A

11 D

12 C

A

二、填空题 15.

? 2

16.(Ⅰ) 33 (Ⅱ) m ? 1

?
3

) ……….3 分

11? ? ? 7? 3 ? ,? ? 2 x ? ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 24 3 3 12 2 3 ? ……………………………………6 分 ? 函数 f ( x) 的值域为 ? ? 3, 2?


?

?x?

(Ⅱ)依题意不妨设 a ? 3, b ? 2, ?ABC 的外接圆半径 r ?

3 2 , 4

sin A ?

a 3 6 b 2 2 2 ? ? ,sin B ? ? ? ……………………8 分 2r 3 2 3 2r 3 2 3 2 2 3 1 cos A ? , cos B ? 3 3 6 …………………..10 分 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 3
5

1 1 6 ab sin C ? ? 2 ? 3 ? ? 2 ……………………………12 分 2 2 3 18.(Ⅰ)由茎叶图知分数在 [50,60) 的人数为 4 人; [60,70) 的人数为 8 人; [70,80) 的人 ? S?ABC ?
数为 10 人.

4 ? 32 ………………………………….3 分 0.0125 ?10 10 5 ? 分数在 [80,100) 人数为 32 ? 4 ? 8 ? 10 ? 10 人? 频率为 ? …….5 分 32 16 (Ⅱ) [80,90) 的人数为 6 人;分数在 [90,100) 的人数为 4 人 X 的取值可能为 0,1,2,3 3 C6 C 2C1 60 1 20 1 P( X ? 0) ? 3 ? ? P( X ? 1) ? 6 3 4 ? ? C10 120 6 C10 120 2

? 总人数为

1 2 3 C6 C4 C4 36 3 4 1 ……………………… P( X ? 2) ? 3 ? ? P( X ? 3) ? 3 ? ? C10 120 10 C10 120 30

…………10 分 ? 分布列为 X P

0

1

2

3

1 6

1 2

3 10

1 30
P

z

E ?x ? ?

19.(Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,因为 AB ? AC , ?BCD ? 135? , 所以 AB ? AC .由 E , F 分别为 BC, AD 的中点,得 EF //AB , A 所以 EF ? AC . …………2分 因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,且 ?BAP ? 90? ,所以 PA ? 底面 ABCD . 又因为 EF ? 底面 ABCD ,所以 PA ? EF . …………4分 B E 又因为 PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , x 所以 EF ? 平面 PAC . ………………6分 ( Ⅱ ) 解:因为 PA ? 底面 ABCD , AB ? AC ,所以 AP, AB, AC 两两垂直, 以

6 ………………………………….12 分 5

M D

F C y

y x 分 别 为 、 建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D(?2,2,0), E(1,1,0) ,
AB, AC, AP



z



??? ? ??? ? ??? ? PM ? ? (? ? [0,1]) ,则 所以 PB ? (2,0, ?2) , PD ? (?2, 2, ?2) , BC ? (?2,2,0) ,设 PD ???? ? PM ? (?2?, 2?, ?2?) , ???? 所以 M (?2? , 2? , 2 ? 2? ) , ME ? (1 ? 2?,1 ? 2?,2? ? 2) ,易得平面 ABCD 的法向量
m ? (0,0,1) .

??? ? ??? ? ??2 x ? 2 y ? 0, 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 n ? BC ? 0 , n ? PB ? 0 ,得 ? ?2 x ? 2 z ? 0, 令 x ? 1 , 得 n ? (1,1,1) . 因为直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等,

6


| 2? ? 2 |?|



|

? ? ? ? c? M o m E s ? ? ,

???? ???? ? ? ? |? ME ? m | | ME ? n | nM | ? |E,即 c ? o ???? s ,? ????| | ME | ? | m | | ME | ? | n |

,所以

2? |, 3
3? 3 3? 3 ,或 ? ? (舍). 2 2

解得 ? ?

综上所得:

PM 3 ? 3 ……12分 ? PD 2

2 2 2 ? ?a ? b ? 36 ? ?a ? 20 ? 20.(Ⅰ) ? 2 ? 2 2 ? ? ?a ? b ? 4 ?b ? 16





线

?









x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? 20 16



x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? …………………….3 分 20 16 b b (Ⅱ)曲线 C2 的渐近线为 y ? ? x ,如图,设直线 l : y ? ? x ? m ? a a b ? y ? ? x ? m? ? ? a ? 2 x 2 ? 2mx ? ? m2 ? a 2 ? ? 0 则? 2 2 ? x ? y ?1 ? ? a 2 b2
2

? ? ? 2 m ? ? 4 ? 2 ? ? m 2 ? a 2 ? ? 4 ? 2 a 2 ? m 2 ? ? 0 ? ? 2 a ? m ? 2a

又由数形结合知 m ? a ,? a ? m ?

2a

? x1 ? x2 ? m ? 设点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ? ,则 ? m2 ? a 2 , ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 m b b m ? x0 ? ? , y0 ? ? x0 ? m ? ? ? ? 2 2 a a 2 b b ? y0 ? ? x0 ,即点 M 在直线 y ? ? x 上。 ………………7 分 a a 2 2 x y (Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲线 C1 : ? ? 1? y ? 0 ? ,点 F4 ? 6,0? 20 16 设直线 l1 的方程为 x ? ny ? 6 ? n ? 0?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? ? 4n2 ? 5? y 2 ? 48ny ? 64 ? 0 ? 20 16 ? x ? ny ? 6 ? 2 ? ? ? 48n ? ? 4 ? 64 ? ? 4n 2 ? 5 ? ? 0 ? n 2 ? 1
?48n ? y3 ? y4 ? 2 ? ? 4n ? 5 设 C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? 由韦达定理: ? ? y ? y ? 64 3 4 ? 4n 2 ? 5 ?

? y3 ? y4 ?

? y3 ? y4 ? ? 4 y3 ? y4 ? 16 5 ?
2

n2 ? 1 4n2 ? 5

7

1 1 n2 ? 1 n2 ? 1 F1F4 ? y3 ? y4 ? ? 8 ?16 5 ? 2 ? 64 5 ? 2 2 2 4n ? 5 4n ? 5 t 1 ? S?CDF1 ? 64 5 ? 2 ? 64 5 ? 令 t ? n2 ?1 ? 0 ,? n2 ? t 2 ? 1 , 9 4t ? 9 4t ? t 3 9 13 ? t ? 0 ,? 4t ? ? 12 ,当且仅当 t ? 即 n ? 时等号成立 2 t 2 13 1 16 5 ? n? ………………………………….12 分 时,? S?CDF ? 64 5 ? ? 1max 2 12 3 4x ? a ( ? 4 ln x)(3x ? 1) ? 3(4 x ? a) ln x x 21.(Ⅰ) f ?( x) ? --------------1 分 (3x ? 1) 2 4?a ? 1 ? a ? 0 . -------------2 分 由题设 f ?(1) ? 1 ,∴ 4 4 x ln x 1 ? ? (Ⅱ) f ( x) ? , ?x ? ?1 ? ?? , f ( x) ? m( x ? 1) ,即 4 ln x ? m? 3x ? ? 2 ? 3x ? 1 x ? ? 1 ? ? 1 ? ??, g ( x) ? 0 . 设 g ?x ? ? 4 ln x ? m? 3x ? ? 2 ? ,即 ?x ? ? x ? ? 4 1 ? ? 3m x2 ? 4 x ? m ? g ??1? ? 4 - 4m g ??x ? ? ? m? 3 ? 2 ? ? x x ? x2 ? S?CDF1 ? S?CF1F4 ? S?DF1F4 ?
----------------------------3 分 ①若 m ? 0, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 g ( x) ? 0 矛盾

2 ? 4 ? 3m 2 ), g ?( x) ? 0 , g ( x) 单 调 递 增 , ② 若 m ? ?0,1? 当 x ? (1, 3m g ( x) ? g (1) ? 0 ,与题设矛盾. ③若 m ? 1, 当 x ? (1,??), g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即不等式
成立 综上所述, m ? 1 .------------------------------------------------------------------------7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, m ? 1 时, ln x ?

1? 1 ? ? 3x ? ? 2 ? 成立. ---------------9 分 4? x ? 4i ? 1 4i ? 1 16i , i ? N * 所以 ln 不妨令 x ? , ? 4i ? 3 4i ? 3 ?4i ? 1??4i ? 3? 4 ?1 16 4? 2 ?1 16 ? 2 ln ? ln ? 4 ? 3 ?4 ? 1??4 ? 3? 4 ? 2 ? 3 ?4 ? 2 ? 1??4 ? 2 ? 3? 4? 3 ?1 16 ? 3 ln ? 4 ? 3 ? 3 ?4 ? 3 ? 1??4 ? 3 ? 3? 4n ? 1 16n ………… ln ? 4n ? 3 ?4n ? 1??4n ? 3?
累加可得 ∴ ln(4n ? 1) ? 16

? ?4i ? 1??4i ? 3?
i ?1

n

i

(n ? N * )

---------------12 分

8

22.(Ⅰ)∵曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ? 1 ? 0 ,∴曲线 C 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 6 x ? 1 ? 0
∵直线 l 经过点 P ? ?1,0? ,其倾斜角为 ? ,∴直线 l 的参数方程为

? x ? ?1 ? t cos ? ( t 为参数) ? ? y ? t sin ?
将?

? x ? ?1 ? t cos ? 2 ,代入 x2 ? y 2 ? 6 x ? 1 ? 0 整理得 t ? 8t cos ? ? 8 ? 0 ? y ? t sin ?
2

∵直线 l 与曲线 C 有公共点,∴ ? ? 64cos ? ? 32 ? 0 即 cos ? ?

2 或 2

cos ? ? ?

2 2
∴ ? 的取值范围是 ?0,

∵ ? ??0, ? ?

? ? ? ? 3? ? ? ,? ? ? 4? ? ? ? 4 ?

???5 分

(Ⅱ)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 1 ? 0 可化为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 8

其参数方程为 ?

? ? x ? 3 ? 2 2 cos ? ? ? y ? 2 2 sin ?

( ? 为参数) ???7 分

∵ M ? x, y ? 为曲线 C 上任意一点, ∴ x ? y ? 3 ? 2 2 cos ? ? 2 2 sin ? ? 3 ? 4sin(? ?

?
4

)

∴ x ? y 的取值范围是 ? ?1,7? .???10 分 23.(Ⅰ)由 2x ? 3 ? 2 ? 5 ,得

0 ? x ? 3 ………4 分

(Ⅱ)由题意知 y y ? f ( x) ? y y ? g ( x ) 又

?

? ?

?

f ?x? ? 2x ? a ? 2x ? 3 ? (2x ? a) ? (2x ? 3) ? a ? 3

g?x? ? 2x ? 3 ? 2 ? 2
所以 a ? 3 ? 2 ? a ? ?1或 a ? ?5 ………10 分

9


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