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2018-2019年高中学业水平测试·数学课件:专题8第29讲平面向量的概念及线性运算_图文

专题 8 平面向量 第 29 讲 平面向量的概念 及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 既有大小又有方向的 备注 平面向量是自由 向量 向量 量;向量的大小叫做 向量的长度(或称模) 零向 长度为 0 的向量;其 量 方向是任意的 记作 0 单位 向量 平行 向量 非零向量 a 的单 长度等于 1 个单位的向量 a 位向量为± |a| 方向相同或相反的非零向量 0 与任一向量平 行或共线 共线 方向相同或相反的非零向量 向量 又叫做共线向量 相等 长度相等且方向 两向量只有相等或 向量 相同的向量 相反 长度相等且方向 向量 相反的向量 不等, 不能比较大小 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 求两个向 加法 量和的运 算 平行四边形 三角形 (1)交换律:a+b =b+a. (2)结合律:(a+ b)+c=a+(b+c) 求 a 与 b 的相 减法 反向量-b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形 a-b=a+(-b) 求实 (1)| λa|=|λ||a|; 数 λ 与 (2)当 λ>0 时, λa 的方 数 向量 a 向与 a 的方向相同; 乘 的积 当 λ<0 时, λa 的方向 的运 与 a 的方向相反;当 算 λ=0 时,λa=0 (1) λ(μa)= (λμ)a; (2)( λ+μ)a= λa+μa; (3) λ(a +b)=λa+λb 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ, 使 b=λa. 1.平面向量的概念 【例 1】 设 a0 为单位向量, ①若 a 为平面内的某个 向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数 是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模 相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平 行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向, 反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命 题的个数是 3. 答案:D 剖析:(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也 具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向 量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈. a a (4)非零向量 a 与 的关系: 是与 a 同方向的单位向 |a| |a| 量. 2.平面向量的线性运算 【例 2】 如图,一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的 两边 AB, AD 分别交于 E, F 两点, 且交对角线 AC 于 K, → 2→ → 1→ → → 其中, AE= AB, AF= AD, AK=λAC, 则 λ 的值为( 5 2 2 A. 9 2 2 2 B. C. D. 7 5 3 ) → 2→ → 1→ → 5→ 解析:∵AE= AB,AF= AD,∴AB= AE, 5 2 2 → =2AF →. AD → =AB → +AD →, 由向量加法的平行四边形法则可知, AC ?5 → ? 5 → → → → → → ∴ AK = λ AC = λ( AB + AD ) = λ ?2AE+2AF? = λ AE + 2 ? ? → 2λAF, 2 由 E,F,K 三点共线,可得 λ= . 9 答案:A 剖析:平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略: (1)向量加法或减法的几何意义. 向量加法和减法均适合 三角形法则. (2)求已知向量的和. 一般共起点的向量求和用平行四边 形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形 法则. (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向 量的运算将向量表示出来,进行比较求参数的值. 3.共线定理的应用 → → → 【例 3】 (1)已知向量AB=a+3b, BC=5a+3b, CD =-3a+3b,则( ) B.A,B,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线 A.A,B,C 三点共线 C.A,C,D 三点共线 (2)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD 1 2 → → → = AB,BE= BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数), 2 3 则 λ1+λ2 的值为________. → = BC → + CD → = 2a + 6b = 2(a + 3b) = 解析: (1)∵ BD → ,∴BD → ,AB → 共线,又有公共点 B, 2AB ∴A,B,D 三点共线.故选 B. 1→ 2→ 1→ 2 → → → → → (2) DE = DB + BE = AB + BC = AB + ( AC - AB ) 2 3 2 3 1→ 2→ =- AB+ AC, 6 3 1 2 → → → ∵DE=λ1AB+λ2AC,∴λ1=- ,λ2= , 6 3 1 故 λ1+λ2= . 2 1 答案:(1)B (2) 2 剖析:(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决, 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系. 当两向量共 线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a,b 共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2, 使 λ1a+λ2b=0 成立,若 λ1a+λ2b=0,当且仅当 λ1=λ2= 0 时成立,则向量 a,b 不共线. → → 1.设 O 是正方形 ABCD 的中心,则向量AO,BO, → ,OD → 是( OC ) B.平行的向量 D.模相等的向量 A.相等的向量 C.有相同起点的向量 解析:这四个向量的模相等. 答案:D 2.设 a0,b0 分别是与 a,b 同向的单位向量,则下 列结论中正确的是( A.a0=b0

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