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2018-2019年高中学业水平测试·数学课件:专题8第29讲平面向量的概念及线性运算


专题 8 平面向量 第 29 讲 平面向量的概念 及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 既有大小又有方向的 备注 平面向量是自由 向量 向量 量;向量的大小叫做 向量的长度(或称模) 零向 长度为 0 的向量;其 量 方向是任意的 记作 0 单位 向量 平行 向量 非零向量 a 的单 长度等于 1 个单位的向量 a 位向量为± |a| 方向相同或相反的非零向量 0 与任一向量平 行或共线 共线 方向相同或相反的非零向量 向量 又叫做共线向量 相等 长度相等且方向 两向量只有相等或 向量 相同的向量 相反 长度相等且方向 向量 相反的向量 不等, 不能比较大小 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 求两个向 加法 量和的运 算 平行四边形 三角形 (1)交换律:a+b =b+a. (2)结合律:(a+ b)+c=a+(b+c) 求 a 与 b 的相 减法 反向量-b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形 a-b=a+(-b) 求实 (1)| λa|=|λ||a|; 数 λ 与 (2)当 λ>0 时, λa 的方 数 向量 a 向与 a 的方向相同; 乘 的积 当 λ<0 时, λa 的方向 的运 与 a 的方向相反;当 算 λ=0 时,λa=0 (1) λ(μa)= (λμ)a; (2)( λ+μ)a= λa+μa; (3) λ(a +b)=λa+λb 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ, 使 b=λa. 1.平面向量的概念 【例 1】 设 a0 为单位向量, ①若 a 为平面内的某个 向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数 是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模 相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平 行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向, 反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命 题的个数是 3. 答案:D 剖析:(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也 具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向 量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈. a a (4)非零向量 a 与 的关系: 是与 a 同方向的单位向 |a| |a| 量. 2.平面向量的线性运算 【例 2】 如图,一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的 两边 AB, AD 分别交于 E, F 两点, 且交对角线 AC 于 K, → 2→ → 1→ → → 其中, AE= AB, AF= AD, AK=λAC, 则 λ 的值为( 5 2 2 A. 9 2 2 2 B. C. D. 7 5 3 ) → 2→ → 1→ → 5→ 解析:∵AE= AB,AF= AD,∴AB= AE, 5 2 2 → =2AF →. AD → =AB → +AD →, 由向量加法的平行四边形法则可知, AC ?5 → ? 5 → → → → → → ∴ AK = λ AC = λ( AB + AD ) = λ ?2AE+2AF? = λ AE + 2 ? ? → 2λAF, 2 由 E,F,K 三点共线,可得 λ=

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