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江苏省南京市2012届高三二模考试(数学)含答案


江苏省南京市 2012 届高三 3 月第二次模拟考试数学试卷 数学试卷
一.填空题 1. 已 知 集 合 A ?, R |? A ? 则 实 数 a 取 值 范 围 是 的 ? 2x B a ?B { x ?x } B , x | x ? }, 0 ? { ,若 x
2

_______________ 2.已知

a?3 i ?b?i ,其中 ab R i为虚数单位,则 a b , ?, ? =_____________ i

3.某单位从 4 名应聘者 A,B,C,D 中招聘 2 人,如果这 4 名应聘者被录用的机会均等,则 A,B 两人中 至少有 1 人被录用的概率是________________ 4.某日用品按行业质量标准分为五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5,现从一批该日用品中随机 抽取 200 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率 f 的分布表如下:

则在所抽取的 200 件日用品中,等级系数 X=1 的件数为_______________

? x ? y ? 2, ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , 则目标函数 z ? ? 的取值 ?2 y x ? y ? 2. ?
范围是_________

x2 2 6.已知双曲线 2 ? y ? 1 的一条渐近线方程为 x 2? ,则该双曲线 ?y 0 a
的离心率 e=_______ 7.已知圆 C 经过直线 2 y 20 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线 x ?? ?

y2 ?8 的焦点,则圆 C 的方程为________________ x
8.设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,若

? sin( ? 0 ? 的部分图像如图所 ? A, , | 9.已知函数 yA x )(0? | )
示,则 的值为___ 10.在如果所示的流程图中,若输入 n 的值为 11.则输出 A 的值为______ 11.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角 形作侧面,以它们的公共顶点 P 为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥容器,当 x=6cm 时,该容 器的容积为__________________ cm .
3

?

? ? ? ? ?2

S3 1 S ? ,则 6 ? _____________ S6 3 S7

12.下列四个命题:

(1) ? R? 1 ”的否定; “ x ,2 x ? ? x ?0 (2)“若 x x ? x2 ”的否命题; ?6, ? ?0 则
2

(3)在 ? 中, ? ”是“ sin A ? ABC“ A 30
o

(4)“函数 fx tan( (? x ) ) ?为奇函数”的充要条件是“

?

1 ”的充分不必要条件; 2
”. ?kk Z ? (? ? )

其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上) 13.在面积为 2 的 ? 中,E,F 分别是 AB,AC 的中点,点 P 在直线 EF 上,则 PC ? ?PB 的 BC ABC 最小值是______________ 14.已知关于 x 的方程 x a(? ? 有唯一解,则实数 a 的值为________ ? 2 2 3 2 x) log ? ? a 0
2 2 2

2

二、解答题 15. (本题满分 14 分) 设向量 a=(2,sinθ),b=(1,cosθ),θ 为锐角 (1)若 a· b=

13 ,求 sinθ+cosθ 的值; 6

(2)若 a//b,求 sin(2θ+

? )的值. 3

16. (本题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ?平面 BCE,BE ?EC. (1) 求证:平面 AEC ? 平面 ABE; (2) 点 F 在 BE 上,若 DE//平面 ACF,求

BF BE

的值。

17. (本题满分 14 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 椭圆 C:

2 2 3 x y , 以原点为圆心, 椭 ? 2 ? (a?b?0 的离心率为 1 ) 2 2 a b

圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2),设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称 的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T。求证:点 T 在椭 圆 C 上。

18. (本小题满分 16 分) 某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一 个对角线在 l 上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用 现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成,边 BA,AD 用一根 9 米长的材料弯折而成,要求 ? 和 ? 互 A C 补,且 AB=BC, (1) 设 AB=x 米,cosA= f ( x ) ,求 f ( x ) 的解析式,并指 出 x 的取值范围. (2) 求四边形 ABCD 面积的最大值。



19. (本小题满分 16 分) 已知函数 fx | ? |, e 为自然对数的底. 其中 ( ) e bx ?
x

(1)当 b 1 ? 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)有且只有一个零点,求实数 b 的取值范围; (3)当 b>0 时,判断函数 y=f(x)在区间(0,2)上是否存在极大值,若存在,求出极大值及 相应实数 b 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}满足:a1?232.nn??n2(其中??0,?常N?)数 (1)求数列{an}的通项公式; (2)当 ? 时,是否存在互不相同的正整数 r,s,t,使得 ar ,as ,at 成等比数列?若存在,给出 r,s,t =4 满足的条件;若不存在,说明理由; (3)设 S n 为数列{an}的前 n 项和,若对任意 n N ,都有 ( ) ?n 2恒成立,求 ? 1 S a ? n ?
n
?

a ?

? ? ?

实数 ? 的取值范围。

数学附加题
1.设矩阵 M ? ?

?1 2? ? ?4 3?
?1

(1)求矩阵 M 的逆矩阵 M ; (2)求矩阵 M 的特征值.

2.在平面直角坐标系 xoy 中,判断曲线 C: ? 是否有公共点,并证明你的结论

? ?x ? 2cos ?x ? 1 ? 2t (?为参数) l : ? 与直线 (t 为参数) ? ? y ? sin ? y ? 1? t

3.甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛,每人回答一个问题,答对得 10 分,答错得 0 分,假 设甲班三名同学答对的概率都是

2 2 2 1 ,乙班三名同学答对的概率分别是 , , ,且这六名同学答题 3 3 3 2

正确与否相互之间没有影响. (1)用 X 表示甲班总得分,求随机变量 X 的概率分布和数学期望; (2)记“两班得分之和是 30 分”为事件 A, “甲班得分大于乙班得分”为事件 B,求事件 A,B 同时发

生的概率.

4.记 ( ? )( 2 ? ? 1 n 的展开式中, x 的系数为 a n , x 的系数为 b n ,其中 n N ? 1 1 )? ( ? ) ?
2

x 2

x 2

x 2

*

(1)求 a n (2)是否存在常数 p,q(p<q),使 b ? ( ? n)( n) ? 1 1 ? ,对 n N, n 2 ? 恒成立?证明你的结论. n
*

1 3

p 2

q 2


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