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娄底市2010年初中毕业学业考试试题卷解析(大号版)


娄底市 2010 年初中毕业学业考试试题卷解析
温馨提示:
1.亲爱的同学,祝贺你完成了初中阶段数学课程的学习生活,现在是展示你 的学习成果之时,希望你充满自信,尽情发挥,仔细,仔细,再仔细!祝你成功! 2.本学科试卷共六道大题,满分 120 分,考试时量 120 分钟; 3.解答请书写在答题卡上,书写在本试卷上无效. 精心选一选,旗开得胜( 一、精心选一选,旗开得胜(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1 1. (2010 湖南娄底,1,3 分)- 的倒数是( ) 3 1 1 A. -3 B. 3 C. - D. 3 3 1 【分析】 求倒数是要抓住定义互为倒数的两个数的乘积为 1, 可以 1÷ ? ) ( 3 =-3 得到本题的答案. 【答案】A 【涉及知识点】求倒数 【点评】本题属于基础题,主要考查学生对概念的掌握是否全面,考查知识 点单一,有利于提高本题的信度. 【推荐指数】★ 2. (2010 湖南娄底,2,3 分)2010 年 3 月,温家宝总理在 2010 年政府工作 报告中指出和 2009 年在国际金融危机的强烈冲击下,我国国内生产总值仍达到 33.5 万亿元,比上一年增长 8.7﹪,33.5 万亿元这个数据用科学记数法表示为 ( ) A.33.5× 109 元 B. 33.5× 1012 元 C.3.35× 1012 元 D.3.35× 1013 元

【分析】1 万=×105,1 亿=×108,因此 33.5 万亿元可表示为 3.35×1013. 【答案】D 【涉及知识点】科学记数法 【点评】 科学记数法是每年中考试卷中的必考问题, 把一个数写成 a×10 n 的 ,其方法是(1) 形式(其中 1≤ a <10,n 为整数,这种计数法称为科学记数法) 确定 a,a 是只有一位整数的数; 2)确定 n;当原数的绝对值≥10 时,n 为正 ( 整数,n 等于原数的整数位数减 1;当原数的绝对值<1 时,n 为负整数,n 的绝 对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零) . 【推荐指数】★★★ ?x +1 ≤ 2 3. (2010 湖南娄底,3,3 分)不等式组 ? 的解集在数轴上表示正确 ?x +1 > 0

的是(



, ? x + 1 ≤ 2, ? x ≤ 1 【分析】由 ? 知? 所以在数轴上表示为 . ? x + 1 > 0. ? x > ?1. 注意不等式可以取等号时在数轴上表示时要用实心圆点, 不等式不能取等号时用 空心小圆点. 【答案】B 【涉及知识点】不等式组的解法和不等式组用数轴表示 【点评】解不等式组是考查学生的基本计算能力,求不等式组解集的时候, 可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集, 然后借助数轴或口诀求出所有 解集的公共部分. 【推荐指数】★★
k 4. (2010 湖南娄底,4,3 分)一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 在同一直角 x 坐标系中的大致图像 2 所示,则下列判断正确的是( ) A. k>0, b>0 B. k>0, b<0 C. k<0, b>0 D. k<0, b<0

【分析】根据反比例函数的图像可以判断 k>0, 一次函数的图像和 y 轴交 点在 y 轴负半轴可以知道 b<0,所以选 B. 【答案】B 【涉及知识点】一次函数、反比例函数的图像特点和参数 k、b 的关系 【点评】本题关键是要对一次函数、反比例函数的图像特点和参数 k、b 的 k 关系.对于反比例函数 y = ( k ≠ 0 ) ,其图像在第一、三象限时,k>0,图像在第 x 二、四象限时,k<0;对于一次函数 y=kx+b(k≠0) ,其图像经过第一、二、三 象限时,k>0,b>0;其图像经过第一、三、四象限时,k>0,b<0;其图像经 过第一、二、四象限时,k<0,b>0;其图像经过第二、三、四象限时,k<0, b<0. 【推荐指数】★★★

5. (2010 湖南娄底, 3 分) 5, 在如图 3 所示的图形中, 三角形的个数共有 ( A .1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个



【分析】三角形有△ABC,△ABD,△ACD.

【答案】3 C 【涉及知识点】三角形的个数 【点评】本题考查三角形的个数,一定要注意要有顺序的去数,不要漏掉也 不要多数三角形的个数. 【推荐指数】★★ 6. (2010 湖南娄底,6,3 分)下列说法中错误的是( ) A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 等腰梯形的对角线相等 【分析】平行四边形的对角线互相平分,A 正确;矩形的对角线互相垂直错 误,B 错误;菱形的对角线互相垂直平分 ,所以 C 正确;等腰梯形的对角线相 等,所以 D 正确. 【答案】B 【涉及知识点】特殊四边形 【点评】本题主要考查特殊的四边形,等腰梯形、矩形、菱形和平行四边形 的性质, 一定要对这些图形的性质熟悉, 本题难度中等, 只要细心, 很容易拿分. 【推荐指数】★★★ 7. (2010 湖南娄底,7,3 分)在平面直角坐标系中,以点(3,2)为圆心、3 为半径的圆,一定( ) A.与 x 轴相切,与 y 轴相切 B.与 x 轴相切,与 y 轴相 C.与 x 轴相交,与 y 轴相切 D.与 x 轴相交,与 y 轴相 【分析】圆心是(3,2) ,半径是 3, 则圆心到 y 轴的距离 d=r=3,圆心到 x 轴的距离 d<r,所以圆和 y 轴相切,与 x 轴相交. 【答案】C 【涉及知识点】圆和直线的位置关系 【点评】判断直线和圆的位置关系关键是求出圆心打直线的距离 d,然后根 据圆心到直线的距离 d 和圆的半径的关系来判断.若 d>r,则直线和圆相离;若 d<r,则直线和圆相交;d=r,则直线和圆相切.

【推荐指数】★★★★ 8. (2010 湖南娄底,8,3 分)如图 4 是每个面上都有一个汉字的正方体的一 种展开图,那么在原正方体和 “着”相对的面上的汉字是( ) A.冷 B.静 C.应 D.考

【分析】根据立方体的展开图可以想象到“静”和“着”是在相对的面上, “沉”和“应”在对应的面上. 【答案】B 【涉及知识点】正方体的展开图 【点评】解决本题要有空间立体感和培养观察分析解决问题的能力是关键. 【推荐指数】★★★★ 9. (2010 湖南娄底,9,3 分)如图 5,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点, 点 A、B 的坐标分别为 A(0,4),B (-2,0), 连结 AB 得到△AOB.现将△AOB 绕原 点 O 顺时针旋转 90°得到△A′OB′ ,则点 A 旋转后对应点 A′A 的坐标为 ( ) A.(4,0) B.(0,4) C. (-4,0) D. (0, -4) 【分析】点 A 在 y 轴上,绕原点 O 顺时针旋转 90°刚好落在 x 轴的正半轴 上.又因为 A(0,4),所以 OA=4,所以词旋转相当于以 O 为圆心,4 为半径的旋 转,所以 OA′=4.综上知 A′(4,0). 【答案】A 【涉及知识点】旋转 【点评】解决本题要有动态的观点来分析,抓住旋转前后的变化特点. 【推荐指数】★★★ 10. (2010 湖南娄底,10,3 分)某中学的学生篮球队 12 名队员的年龄情况如 下表: 14 15 16 17 18 年龄 (岁) 1 4 3 2 2 人数 (个) 则这支篮球队队员年龄的众数和中位数分别是( ) A.15,15 B.15,15.5 C.15,16 D.15.5,16 【分析】15 岁出现 4 次,其他的次数都少于 4 次,所以年龄的众数是 4.12 名队员的年龄按照从小到大的顺序排列是 14,15,15,15,15,16,16,16,17,17,18,18, 因此中间两个数是 16,16 所以中位数是(16+16 )÷2=16.

【答案】C 【涉及知识点】众数和中位数 【点评】一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数.把一组数据 按从小到大的数序排列,在中间的一个数字(或两个数字的平均值)叫做这组数 据的中位数. 【推荐指数】★★★

第二部分( 第二部分(非选择题 共 90 分)
二、细心填一填,一锤定音(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.) 细心填一填,一锤定音 11. (2010 湖南娄底,11,4 分)计算:(-2010)0 +|-1|=_________ 【分析】任何非零的数的零次方等于 1.所以(-2010)0 +︱-1︱=1+1=2. 【答案】2 【涉及知识点】0 次方和绝对值 【点评】任何非零的数的零次方等于 1.一个正数的绝对值等于它本身,负数 的绝对值等于它的相反数,0 的绝对值等于 0.一定要熟悉基本的数学运算和特殊 情况. 【推荐指数】★★★★★ 12. (2010 湖南娄底,12,4 分)如果点 P(m-1,2-m)在第四象限,则 m 的取值范围是_________ ?m ? 1 > 0 ?m > 1 【分析】点 P(m-1,2-m) 在第四象限,所以 ? ,所以 ? , ?2 ? m < 0 f ?m > 2 f 所以 m>2. 【答案】m>2 【涉及知识点】点所在的象限和解不等式组 【点评】本题主要考查点在坐标系中的位置,关键是熟悉点的坐标在各个象 限中的特点.各个象限中的点的坐标的特点如下: 第一象限 (+, , +) 第二象限 (-, +) ,第三象限(-,-) ,第四象限(+,-). 【推荐指数】★★★★ 13. (2010 湖南娄底,13,4 分)阅读材料: 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为 x1、x2,则两根与方程系数之间有 如下关系: b c x1+x2= -a ,x1x2= a 根据上述材料填空: 1 1 已知 x1、x2 是方程 x2+4x+2=0 的两个实数根,则 x +x =_________. 1 2 【分析】根据材料可以知道 x1+x2=-4, x1x2=2, 【答案】-2 【涉及知识点】信息理解和新公式的运用
1 1 x1 + x2 ?4 + = = = ?2 . x1 x2 x1 x2 2

【点评】关键是分析材料理解两根和 a、b、c 的关系,进而求解. 【推荐指数】★★★★ 14. (2010 湖南娄底,14,4 分)二次函数 y=(x-1)2-2 的图像的对称轴是直 线_____________. 【分析】一元二次函数 y=a(x-k)2+h 的对称轴是直线 x=k.所以 y= x-1) ( 2 -2 的对称轴是 x=1. 【答案】x=1 【涉及知识点】一元二次函数的对称轴 【点评】本题考查一元二次函数的对称轴的知识,平时一定要熟悉一元二次 函数的相关知识点并能熟练应用. 【推荐指数】★★★ 15. (2010 湖南娄底,15,4 分)如图 6,直线 AB、CD 相交于点 O,OE 平分 ∠AOD,若∠BOD=100°,则∠AOE=_____.
C A E O B 图6 D

【分析】因为直线 AB、CD 相交于 O,所以∠AOD=A180°-∠BOD=80°,因为 1 OE 平分∠AOD,所以∠AOE= ∠AOD=40°. 2 【答案】40° 【涉及知识点】平角和角平分线 【点评】关键是分析已知角和所要求的角之间的关系,进而转化求解. 【推荐指数】★★★ 16. (2010 湖南娄底,16,4 分)如图 7 在半径为 R 的⊙O 中,弦 AB 的长与半 径 R 相等,C 是优弧上一点,则∠ACB 的度数是_______.
C

·
A 图7 B

O

【分析】连接 OA 和 OB,因为 AB 等于半径,所以 OA=AB=BO,所以∠ AOB=60° ,由于弧 AB 对应的圆心角和圆周角分别是∠AOB 和∠ACB,所以∠ 1 ACB= ∠AOB =30°. 2 【答案】30°

【涉及知识点】同弧所对应的圆心角和圆周角之间的关系 【点评】本题关键是知道同弧所对应的圆心角等于圆周角的一半,同时要构 造圆心角. 【推荐指数】★★★ 17. (2010 湖南娄底,17,4 分)如果圆锥的底面周长是 20πcm,侧面展开后 所得的扇形有圆心角是 120°,则该圆锥的侧面积是_________cm2(结果保 留 π). 【分析】圆锥的底面周长即展开后扇形的弧长 l=20π,设扇形的半径是 r,则 120π r 1 1 ,所以 r=30,所以扇形的面积是 S= lr= ×20π×30=300π. 20π = 180 2 2 【答案】300π 【点评】本题要理解圆锥的底面周长和展开后扇形的弧长相等,进而根据条 件探索所需的条件进而得到思路求解. 【推荐指数】★★★ 18. (2010 湖南娄底,18,4 分)一只布袋内有 1 个白球、3 个红球、6 个黑球 (这些球除颜色外,其余没有区别) ,从中任意取出一球,则取得红球的概 率是________. 【分析】袋子中一共有 10 个球,其中红球有 3 个,所以从中任意取出一个 3 球是红球的概率是 . 10 3 【答案】 10 【涉及知识点】概率 【点评】本题是一道求概率的基础题,关键是掌握概率的求法. 【推荐指数】★★ 三、用心做一做,慧眼识金(本大题共 3 道小题,满分 23 分) 用心做一做,慧眼识金 19. 2010 湖南娄底,19,7 分)(本小题 7 分) ( 已知. y = x2 + 6 x + 9 x + 3 ÷ 2 -x+3.试说明不论 x 为任何有意义的值,y x2 ? 9 x ? 3x

的值均不变. 【分析】先化简分式,再看结果来分析. 【答案】解: y = x2 + 6 x + 9 x + 3 ÷ 2 -x+3 x2 ? 9 x ? 3x



(x + 3) 2 x(x ? 3) × -x+3 (x + 3)(x ? 3) x+3

=x-x+3 =3. 不论 x 为任何有意义的值, 的值均不变. y 根据化简结果与 x 无关可以知道,

【涉及知识点】分式的化简 【点评】本题是一个考查分式化简的基础题,但是有创新点.因此一定要分析 试题,根据化简的结果来判断. 【推荐指数】★★★ 20. (2010 湖南娄底,20,8 分)(本小题 8 分) 如图 8,在一个坡角为 20°的斜坡上方有一棵树, 高为 AB,当太阳光线与水平线成 52°角时,测得该树 在斜坡上的树影 BC 的长为 10cm,求树高AB(精确 到0.1m). ( 已 知 : sin20°≈0.342, cos20°≈0.940, tan20°≈0.364, sin52°≈0.788, cos52°≈0.616, tan52°≈1.280.供选用) 【分析】在 Rt△BCD 中,利用 cos20° = 利用 tan52° =
CD ,求出 CD 和 BD.在 Rt△ACD 中, BC

AD ,求得 AD,进而根据 AB=AD-BD 得到答案. CD

CD BD ,sin20° = ,所以 BC BC CD=BCcos20°=10×0.940=9.4,BD=BCsin20°=10×0.342=3.42.在 Rt△ACD 中, AD tan52° = , 所 以 AD=CDtan52° =9.4 × 1.280=12.032. 所 以 AB=AD - CD BD=12.032-3.42=8.612≈8.6. 【涉及知识点】 解直角三角形、三角函数 【点评】本题是一个考查三角函数的解答题,属于综合题. 【推荐指数】★★★

【答案】解:如图,在 Rt△BCD 中,cos20° =

21. (2010 湖南娄底,21,8 分) (本小题 8 分)为了了解九年级学生参加体育活 动的情况,学校对学生进行随机抽样调查,其中一个问题是“你平均每天参加体 育活动的时间是多少?共有 4 个选项: A.1.5 小时以上(含 1.5 小时) B.1~1.5 小时(含 1 小时,不含 1.5 小时) C.0.5~1 小时(含 0.5 小时,不含 1 小时) D.0.5 小时以下(不含 0.5 小时) 图 9 是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.

请根据以上条形统计图、扇形统计图提供的信息,解答下列问题: (1)学校一共调查了 名学生; ; (2)扇形统计图中 B 选项所占的百分比为 (3)请补全条形统计图; (4)若该校九年级共有 400 名学生,请估价该校九年级平均每天参加体育 活动时间在 1 小时以上(含 1 小时)的学生约有 名. 【分析】根据条形统计图的数据 A 项的人数为 20 人,占总人数的 25﹪,可 以求出总人数为 20÷25﹪=80; 2) ( 根据 B 项人数 32, 知道所占百分数为 40﹪;(3) 根据 C 项占 30﹪,知道人数为 80×30﹪=24 人; (4)根据图形可以知道参加体 育活动时间在 1 小时以上的人数是AB项,占 25﹪+40﹪=65﹪,所以九年级共 有 400 人的时候,参加体育活动时间在 1 小时以上的人数有 400×65﹪=260 人. 【答案】 (1)根据 A 项的人数为 20 人,占总人数的 25﹪,所以总人数为 20÷25﹪=80;(2)根据 B 项人数 32,知道所占百分数为 32÷80=40﹪;(3)根据 C 项占 30﹪,知道人数为 80×30﹪=24 人,所以补全图形如下图; (4)参加体育 活动时间在 1 小时以上的是 A、B 项,占 25﹪+40﹪=65﹪,所以九年级共有 400 人的时候,参加体育活动时间在 1 小时以上的人数有 400×65﹪=260 人. 【涉及知识点】 条形统计图、扇形统计图 【点评】本题是考查条形统计图和扇形统计图的综合题目,一定要注意它们 之间的关系. 【推荐指数】★★★ 四、综合用一用,马到成功(本大题共 1 道小题,满分 8 分) 综合用一用,马到成功 22. (2010 湖南娄底,22,8 分) (本小题 7 分) 近年来,政府大力投资改善学校的办学条件,并切实加强对学生的安全管理 和安全教育.某中学新建了一栋教学大楼,进出这栋教学大楼共有 2 道正门和 2 道侧门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同.安全检查中,对 4 道门 进行了测试: 当同时开启一道正门和一道侧门时, 分钟内可以通过 800 名学生; 4 当同时开启一道正门和两道侧门时,3 分钟内可以通过 840 名学生. (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生? (2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低 20%.安全检查 规定:在紧急情况下,全大楼的学生应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离.假设 这栋教学大楼的教室里最多有 1500 名学生,试问建造的这 4 道门是否符合安全 规定?请说明理由.

【分析】 (1)根据“同时开启一个正门和侧门时,4 分钟内可以通过 800 名 学生;当同时开启一道正门和二道侧门时 3 分钟内可以通过 840 名学生.”可以 设平均每分钟一道正门可以通过 x 名学生, 平均每分钟一道侧门可以通过 y 名学 生,则可以得到方程组,进而求解.(2)当紧急情况时,出门效率降低,计算出 此时每分钟出门的人数,再计算 5 分钟内能出多少学生,然后和最多的人数对比 就可以得到答案. 【答案】解: (1)设平均每分钟一道正门可以通过 x 名学生,平均每分钟一 ?4 x + 4 y = 800, ? x = 120, 道侧门可以通过 y 名学生,则 ? 解得 ? 所以平均每分钟一 ?3 x + 3 ? 2 y = 840. ? y = 80. 道正门可以通过 120 名学生,平均每分钟一道侧门可以通过 80 名学生; (2)紧 急情况时,出门的效率降低 20﹪,即出门效率为 80﹪,则此时平均每分钟一道 正门可以通过学生为 120×80﹪=96 名学生,平均每分钟一道侧门可以通过 80× 80﹪=64 名学生.此时,5 分钟内通过 2 个正门和 2 个侧门的学生数分别为 96×2 ×5=960 名,64 ×2 ×5=640 名,此 时 5 分钟内一共可以 通过 的学生数为 960+640=1600 名,由于学校最多有 1500 名学生,所以建造的四个门符合规定. 【涉及知识点】二元二次方程组 【点评】本题是一个考查二元二次方程组的解答题,属于应用题型.一定要 理解清楚题意,然后构建数学模型来解. 【推荐指数】★★★★ 五、耐心想一想,再接再厉(本大题共 1 道小题,满分 7 分) 耐心想一想,再接再厉 (2010 湖南娄底,23,7 分) (本小题 7 分) 23. 如图 10,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,E 为 CD 的中点,连结 AE、BE,BE ⊥AE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证: (1)FC=AD; (2)AB=BC+AD

【分析】要证明 FC=AD,考虑△ADE≌△FCE 来得到.另外,AB=FB,由 FC=AD 根据 FB=BC+FC 进而转化得到 AB=FB=BC+AD. 【答案】解: (1)因为 E 是 CD 的中点,所以 DE=CE.因为 AB//CD,所以 ∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.所以△ADE≌△FCE.所以 FC=AD.(2)因为△ADE≌ △FCE, 所以 AE=FE.又因为 BE⊥AE, 所以 BE 是线段 AF 的垂直平分线, 所以 AB=FB. 因为 FB=BC+FC=BC+AD.所以 AB==BC+AD. 【涉及知识点】三角形全等、垂直平分线 【点评】 本题考查三角形全等和垂直平分线的解答题,属于基础题.

【推荐指数】★★★ 六、探究试一试,超越自我(本大题共 2 小题,满分 20 分) 探究试一试,超越自我 24. (2010 湖南娄底,24,8 分)已知:二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴交 于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 A 的坐标是(-2,0) ,点 B 在 x 轴的正半 轴上, C 在 y 轴的正半轴上, 点 线段 OB、 的长 OC (OC<OB) 是方程 x 2 ? 10 x + 24 = 0 的两个根. (1) 求 B、C 两点的坐标; (2) 求这个二次函数的解析式. 【分析】根据线段 OB、OC 的长是方程 x2-10x+24=0 的根,且 OC<OB,求得 OB、OC,进而得到点 B、C 的坐标.然后根据点 B、C 的坐标,设出二次函数的坐 ( ,再根据点 A 的坐标求得 a,进而求得解析式. 标式解析式 y=a(x+2) x-6) 求得解析式. 【答案】解:方程 x2-10x+24=0 的根是 4 和 6.由于线段 OB、OC 的长是方程 x2-10x+24=0 的根,且 OC<OB,所以 OB=6,OC=4. 由于点 B 在 x 轴的正半轴上, 点 C 在 y 轴的正半轴上,所以点 B(6,0) ,C(0,4).由于抛物线和坐标轴交于点 ( , A(-2,0).所以可以设抛物线的解析式为 y=a(x+2) x-6) 由于点 A 在抛物 1 线上,把点 A 的坐标代入抛物线的解析式可以得到 a= ? .所以抛物线的解析式 3 1 2 4 为 y =? x + x+4. 3 3 【涉及知识点】解一元二次方程、一元二次函数解析式 【点评】本题是考查解一元二次方程和求一元二次函数解析式,属于简单的 综合题目.一定要注意坐标和线段长度的数量关系. 【推荐指数】★★★★ 25. (2010 湖南娄底,25,12 分)如图 11,在梯形 ABCD 中, AB // CD ,AB=2, DC=10, AD=BC=5, M、 分别在边 AD、 上运动, 点 N BC 并保持 MN // AB , ⊥ DC , ME NF ⊥ DC ,垂足分别为 E、F (1) 求梯形 ABCD 的面积 (2) 探究一:四边形 MNFE 的面积有无最大值?若有,请求出这个最大值; 若无,请说明理由; 探究二:四边形 MNFE 能否为正方形?若能,请求出正方形的面积;若不能, 请说明理由.

【分析】 (1)关键是作出垂线求出梯形的高,得到四边形 AGHB 是矩形,进 而求出 DG,在 Rt△ADG 中求出 AG,然后根据梯形的面积公式求面积.(2)由于 四边形 MEFN 是矩形并且长和宽都是变化的, 所以要求矩形 MEFN 的面积的最大值, 必须设出长或者宽,进而求出宽或者长,用参数表示面积,根据式子看是否有最 ME DE 大值. (3) 假设存在正方形, 设出边长为 x, 根据△DEM∽△DGA, 得到 = , AG DG 然后求的 x,看 x 是否符合题意.

【答案】解:做 AG⊥DC,BH⊥DC.(1)因为 AB//DC,所以四边形 AGHB 是 矩形,所以 GH=AB=2,AG=BH.又因为 AD=BC=5,所以 Rt△ADG≌Rt△BCH, 所以 DG=CF.所以 DG=(DC-GH)÷2=4.在 Rt△ADG 中,AG= AD 2 ? DG 2 =3.所以 梯形 ABCD 的面积是 DE=
( AB + CD ) ? AG =18.(2) 设 MN=x ,则 EF=MN=x ,所以 2

DC ? EF 10 ? x = .因为 ME⊥DC, NF⊥DC, 所以 ME//AG, ∠MED=∠AGD=90°, 2 2 10 ? x ME DE ME 3(10 ? x ) 所以△DEM∽△DGA,所以 = ,所以 = 2 ,所以 ME= ,所 AG DG 3 4 8 3(10 ? x ) 3 30 3 75 = ? x 2 + = ? ( x ? 5) 2 + .所 以四边形 MEFN 的面积是 S=MN·ME=x· 8 8 8 8 8 75 以当 x=5 时,四边形 MEFN 的面积的最大值是 .(3)四边形 MEFN 能为正方形, 8 10 ? x ME DE x 30 且边长为 x,则由(2)知道, = ,所以 = 2 ,所以 x= .此时四 AG DG 3 4 11 30 2 900 边形的面积是 x 2 = ( ) = . 11 121 【涉及知识点】三角形相似、梯形的面积、三角形全等 【点评】 本题是一个综合考查梯形和三角形相似知识的综合题.对于最值问题 要设出参数,然后用参数表示出来所求的对象,根据函数的最值来求解;对于是 否存在的问题首先要假设存在,根据题目条件列出等式求边长,如果能得到结果 就存在,否则就不存在,或者得到的结果不符合题意就不存在. 【推荐指数】★★★★★


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