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高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 . 直线的倾斜角与斜率、直线的方程练习 理解析


第八章 平面解析几何 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程练习 理
[A 组·基础达标练] 1.[2016·朝阳模拟]直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角为( A. C. π 6 2π 3 B. π 3 )

5 D. π 6

答案 D 解析 直线斜率为- 3 3 5 ,即 tanα =- ,0≤α <π ,∴α = π ,故选 D. 3 3 6 )

? 2? 2.直线 3ax-y-1=0 与直线?a- ?x+y+1=0 垂直,则 a 的值是( ? 3?
1 A.-1 或 3 1 C.-1 或- 3 答案 D 1 ?2 ? 解析 由题意得 3a? -a?=-1,解得 a=1 或 a=- . 3 3 ? ? 1 B.1 或 3 1 D.1 或- 3

3.[2015·深圳模拟]已知点 A(1,2)、B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.4x+2y-5=0 C.x+2y-5=0 答案 B B.4x-2y-5=0 D.x-2y-5=0

)

2-1 1 ? 3? 解析 线段 AB 的中点为?2, ?,又因为线段 AB 的斜率为 =- ,所以 AB 的垂直平 1-3 2 ? 2? 3 分线的斜率为 k=2,所以线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- =2(x-2),即 4x-2y-5=0. 2 4.[2015·泰安模拟]直线 x+(a +1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是(
2

)

? π? A.?0, ? 4? ? ? π ? ?π ? C.?0, ?∪? ,π ? 4? ?2 ? ?
答案 B 解析 直线的斜截式方程为 y=- =-

B.? D.?

?3π ,π ? ? ? 4 ? ?π ,π ?∪?3π ,π ? ? ? ? ?4 2? ? 4 ?

1 1 1 x- 2 ,所以直线斜率 k=- 2 ,即 tanα a +1 a +1 a +1
2

1 3 ?3 ? ,所以-1≤tanα <0,解得 π ≤α <π ,即倾斜角的取值范围是? π ,π ?. a +1 4 ?4 ?
2

5.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方 程为( )
1

A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 答案 B 解析 解法一:设直线方程为 + =1, ∵直线过点 P(1,4), 1 4 b ∴ + =1,即 a= . a b b-4 ∵a>0,b>0, ∴

B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0

x y a b

b

b-4

>0,即 b>4.

∴a+b=b+

b 4 4 =b+ +1=(b-4)+ +5≥9. b-4 b-4 b- 4

(当且仅当 a=3,b=6 时,“=”成立) 故直线方程为 2x+y-6=0.故选 B. 解法二:设直线方程为 + =1(a>0,b>0), ∵直线过点 P(1,4), 1 4 ∴ + =1.

x y a b

a b

4a b ?1 4? ∴a+b=(a+b)×? + ?=1+ + +4

?a b?

b

a

?4a b? =5+? + ?≥5+2 ?b
a? b a

4a

b

× =9.

b a

4a b (当且仅当 = ,即 b=2a,也就是 a=3,b=6 时等号成立) ∴截距之和最小时直线方程为 + =1, 即 2x+y-6=0.故选 B. 3 6 6.[2015·济南三模]“m=3”是“直线 l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0 与直线 l2: (m-3)x+2y-5=0 垂直”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 l1⊥l2 得 2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得 m=3 或 m=-2,所以 m=3 是 l1 ⊥l2 的充分不必要条件. 7.[2015·泉州一模]若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m +n 的最小值是( A.2 C.4 答案 C
2
2 2

x y

)

)

B.2 2 D.2 3

解析 解法一:∵点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上, ∴4m+3n-10=0. 欲求 m +n 的最小值可先求 ?m-0? +?n-0? 的最小值, 而 ?m-0? +?n-0? 表示 4m+3n-10=0 上的点(m,n)到原点的距离,如图.
2 2 2 2 2 2

当过原点的直线与直线 4m+3n-10=0 垂直时,原点到点(m,n)的距离的最小值为 2. ∴m +n 的最小值为 4. 解法二:由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,
2 2

?5 ? ? 10? 直线与两坐标轴交于 A? ,0?,B?0, ?, 3? ?2 ? ?
5 10 直角三角形 OAB 中,OA= ,OB= , 2 3 斜边 AB=

?5?2+?10?2=25, ?2? ? 3 ? 6 ? ? ? ?
2 2

斜边上的高 h 即为所求 m +n 的算术平方根. 1 1 ∵S△OAB= OA·OB= AB·h, 2 2 5 10 × OA·OB 2 3 ∴h= = =2, AB 25 6 ∴m +n 的最小值为 h =4. 8.[2015·郑州一检]命题 p:“a=-2”是命题 q:“直线 ax+3y-1=0 与直线 6x+ 4y-3=0 垂直”成立的( )
3
2 2 2

A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 答案 A 解析 直线 ax+3y-1=0 与直线 6x+4y-3=0 垂直的充要条件是 6a+12=0, 即 a=- 2,故选 A. 9. [2015·广东六校一联]如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0 与直线(2-a)x+(a+3)y -1=0 互相垂直,则 a=( A.2 C.2,-2 答案 C 解析 由题意可知(2a+5)(2-a)+(a-2)·(a+3)=(2-a)·[(2a+5)-(a+3)]=- (a-2)(a+2)=0. 解得 a=±2,故选 C. 10.两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图象可以是( ) B.-2 D.2,0,-2

x y a b

x y b a

)

答案 A 解析 根据直线方程的截距式,分情况讨论: ①a>0,b>0;②a>0,b<0;③a<0,b>0;④a<0,b<0,可知选 A. [B 组·能力提升练] 3π 1.已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2)、B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直 4 线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于________. 答案 -2 解析 直线 l 的斜率为-1, 2-?-1? 则 l1 的斜率为 1,kAB= =1, 3-a 2 ∴a=0.由 l1∥l2,得- =1,b=-2,

b

∴a+b=-2. 2. 经过点(-2,2), 且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线 l 的方程为________. 答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0
4

解析 显然直线不平行于 x,y 轴,设直线方程为 y-2=k(x+2)(k≠0),与 x 轴交点为

?-2-2,0?,与 y 轴交点为(0,2k+2). ? k ? ? ?
1? 2 ? 1 ∴ ?- -2?·|2k+2|=1,解得 k=- 或 k=-2,所求直线方程为 x+2y-2=0 或 2x 2? k ? 2 +y+2=0. 3.[2016·菏泽期末]已知两直线 l1:x+ysinα -1=0 和 l2:2xsinα +y+1=0,若

l1⊥l2,则 α =________;若 l1∥l2,则 α =________.
答案 kπ ,(k∈Z) kπ ± π ,(k∈Z) 4

解析 因为 A1A2+B1B2=0 是 l1⊥l2 的充要条件,所以 2sinα +sinα =0,即 sinα =0, 所以 α =kπ ,k∈Z. 故当 α =kπ ,k∈Z 时,l1⊥l2. 因为 A1B2-A2B1=0 是 l1∥l2 的必要条件,所以 2sin α -1=0,所以 sinα =± 又 B1C2-B2C1≠0,所以 1+sinα ≠0, π 即 sinα ≠1,所以 α =kπ ± ,k∈Z, 4 π 故当 α =kπ ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 4.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围. 解 (1)证法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 证法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0+2)k -y0+1=0 恒成立, 所以 x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1, 故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1, 则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1, 要使直线 l 不经过第四象限,
?k≥0 ? 则? ?1+2k≥0, ?
2

2 . 2

解得 k≥0.

故 k 的取值范围为[0,+∞). 5.[2016·南昌质检]若点 P 是函数 f(x)=e -e -3x 图象上任意一点. (1)设在点 P 处切线的倾斜角为 α ,求 α 的取值范围; (2)求在点 P(ln 2,f(ln 2))处的切线方程. 解 (1)由导数的几何意义可知,函数 y=f(x)=e -e -3x 图象上任意一点 P 处切线
5
x
-x

x

-x

的斜率等于该点的导函数值,而 y′=e +e -3≥2-3=-1,当且仅当 x=0 时等号成立, 即 tanα ≥-1.因为 α ∈[0,π ),

x

-x

? π ? ?3 ? 所以倾斜角 α 的范围为?0, ?∪? π ,π ?. 2 ? ?4 ? ?
(2)由(1)知 y′=e +e -3, 所以在 点 P(ln 2,f(ln 2))处的切线斜率为 1 2
x
-x

k=eln 2+e-ln 2-3=- .
又 f(ln 2)=e
ln 2

-e

-ln 2

-3ln 2

3 3 = -3ln 2= (1-2ln 2), 2 2 由点斜式得在点 P 处的切线方程为 3 2 1 2

y- (1-2ln 2)=- (x-ln 2),
即 x+2y-3+5ln 2=0.

6


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