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椭圆习题精选精讲[1]222


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椭 圆 (1)第一定义——把椭圆从圆中分离 椭圆从圆(压缩)变形而来,从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长,但 又产生了 2 个新的定点——焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义,是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线 理论的基础. 【例 1】 若点 M 到两定点 F1(0,-1) ,F2(0,1)的距离之和为 2,则点 M 的轨迹是 ( )
A .椭圆 B .直线 F1 F2

C .线段 F1 F2

D .线段 F1 F2 的中垂线.

【解析】注意到 F1F2 ? 2, 且 MF1 ? MF2 ? 2, 故点 M 只能在线段 F1 F2 上运动,即点 M 的轨迹就 是线段 F1 F2 ,选 C. 【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件,那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的 距离.忽视这一点,就会错误地选 A. (2)勾股数组——椭圆方程的几何特征 椭圆的长、短半轴 a、b 和半焦距 c,满足错误!未找到引用源。.在 a、b、c 三个参数中,只要 已知或求出其中的任意两个,便可以求出第 3 个,继而写出椭圆方程和它的一切特征数值. 椭圆方程的标准式有明显的几何特征, 这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到 底是解这个勾股数组. 【例 2】已知圆 A : ?x ? 3?2 ? y 2 ? 100,圆 A 内一定点 B (3,0) ,圆 P 过点 B 且与圆 A 内切,求 圆心 P 的轨迹方程. 【解析】如图,设两圆内切于 C,动点 P(x,y) , 则 A、P、C 共线. 连 AC、PB,∵ PA ? PB ? AC ? 10 为定长,而 A(-3,0) ,B(3,0)为定点,∴圆心 P 的 轨迹是椭圆.且 a ? 5, c ? 3,?b ? 4 .所求轨迹方程为:
x2 y 2 ? ?1. 25 16
C Y

P(x,y) A(-3,0) B(3,0) X

(3)第二定义——椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟 如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程,那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程 给出了深刻的解释.根据这个解释,我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.
2 2 【例 3】已知椭圆 x ? y ? 1 ,能否在此椭圆位于 y 轴左侧部分上找一点 P,使它到左准线的距

4

3

离是它到两焦点 F1,F2 距离的比例中项.
1 . 2 椭圆的左准线为: l : x ? ?4 .设存在椭圆上一点 P(x, (x<0)符合所设条件.作 PH⊥l 于 H.令

【解析】由椭圆方程知: a ? 2, b ? 3,? c ? 1, e ?

Y H

y)
r2
F2( 1,0) X

d

P(x,y) O F1(- 1,0)

PH ? d , PF1 ? r1, PF2 ? r2 ,则有:
PH ? PF1 ? PF2 ? d ? r1r2 .但是
2 2

r1

1 1 r1 ? ed ? d , r2 ? 2a ? r1 ? 4 ? d . 2 2

L:x=-4

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∴d2 ?

8 12 1 ? 1 ? 8 d ? ? 4 ? d ? ? d ? .又 d ? x ? 4,? x ? ? 4 ? ? . 5 5 2 ? 2 ? 5

这与 x ?? ?2, 2? 矛盾.故在椭圆左侧上不存在符合题设条件的点. ● 通法 特法 妙法 (1)解析法——解析几何存在的理由 解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下, 平面上任意一条曲线都唯 一对应着一个二元方程.反之,根据任意一个二元方程,都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线. 因此,可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式. y 【例 4】点 P(x,y)在椭圆 4( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 上,则 的最大值为 ( ) x 2 2 3 3 A.1 B.-1 C. ? D. 3 3 y 【解析】设 ? k ? y ? kx ?1? x
y2 ? 1 上一点 P(x,y) 方程(1)表示过椭圆 ? x ? 2 ? ? 4
2

Y

P(x,y) O X

和原点的直线.显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时, k ? 最大.将方程(1)代入椭圆方程得:
4? x ? 2 ? ? k2 x2 ? 4 ? ? 4 ?k?2
2 2 x ?1 6 x ? 1 2 ? 0 ?

y x

C(2,0)

?

2

由于直线与椭圆相切,故方程(2)应有相等二实根.由 4 2 ? ? 256 ? 48 ? 4 ? k 2 ? ? 0 ? k 2 ? .∵k>0,∴取 k ? 3 ,选 D. 3 3 【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根,因而可转化为其判 别式为零处理;同理,直线与曲线相交要求相应的判别式大于零,相离则要求这个判别式小于零. (2)导数法——把方程与函数链接 由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算,所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算,又能 达到解题目的的好方法,导数法就是最为明显的一种. 【例 5】求证:过椭圆
xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上一点 M ? x0 , y0 ? 的切线方程为: 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

【证明一】 (解析法)设所求切线方程为: y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ,代入椭圆方程:
b 2 x 2 ? a 2 ? kx ? kx0 ? y0 ? ? a 2b 2 .化简得:
2

?k a
2

2

? b2 ? x2 ? 2ka 2 ? kx0 ? y0 ? x ? a 2 ?? kx0 ? y0 ? ? b2 ? ? 0 ? ?
2 2 2

?1?

∵直线与椭圆相切,∴方程(1)有相等二实根.其判别式△=0,即:

4k 2 a 4 ? kx0 ? y0 ? ? 4a 2 ? k 2 a 2 ? b2 ? ?? kx0 ? y0 ? ? b2 ? ? 0 . ? ?
2 化简得: k 2 ? a 2 ? x0 ? ? 2kx0 y0 ? b2 ? y02 ? 0

? 2?

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2 2 ∵点 M ? x0 , y0 ? 在椭圆上,∴ b2 x0 ? a2 y0 ? a2b2 ,方程(2)之判别式
2 2 2 ?1 ? 4 x0 y0 ? 4 ? a 2 ? x0 ?? b2 ? y02 ? ? 4 x02 y02 ? 4 ? a 2b2 ? b2 x02 ? a 2 y02 ? x02 y02 ? ? 0 .

故方程(2)亦有相等二实根,且其根为:

k ??

x0 y0 b2 x0 y0 b2 x0 y0 b2 x0 .则切线方程为: ? ? ? ? ? ? 2 2 2 a 2 ? x0 a 2b2 ? b2 x0 a 2 y0 a 2 y0
xx y y b2 x0 y ? y0 ? ? 2 ? x ? x0 ? .再化简即得: 02 ? 02 ? 1 . a b a y0

x2 y 2 【证明二】 (导数法)对方程 2 ? 2 ? 1 两边取导数: a b

b2 x0 2 x 2 y ? y? b2 x ? .则切线方程为: ? ? 0 ? y ? ? ? k ? ? a2 b2 a2 y a 2 y0
xx y y b2 x0 y ? y0 ? ? 2 ? x ? x0 ? .再化简即得: 02 ? 02 ? 1 . a b a y0

【评注】 (1)两种证法的繁简相差多大,一看便知 (2)这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的. (3)几何法——为解析法寻根朔源 减少解析计算的又一个重要手段,是在解题中充分运用平面几何知识. 【例 6】 (07.湖南文科.9 题)设 F1,F2 分别是椭圆
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点, P 是 a 2 b2

其右准线上纵坐标为 3c ( c 为半焦距)的点,且 | F1F2 |?| F2 P | ,则椭圆的离心率是( A.
3 ?1 2



B.

1 2

C.

5 ?1 2

D.

2 2
a2 , 3c) c

? a2 ? 【解析】如图有 P ? , 3c ? ,设右准线交 x 轴于 H, ? c ?
∵ | F2 P |?| F1 F2 |? 2c, 且 PH ? 3c,故?PF2 H ? 60?
a2 1 2 ? F2 H ? c, OH ? ? 2c ? e2 ? ? e ? ,选 D. c 2 2
F1

Y 2c

P(

H O F

X

【例 7】已知椭圆 x ? y 2 ? 1 和圆 ?x ? a? ? y 2 ? 1
2

2

4

总有公共点,则实数 a 的取值范围是




Y 1

A.R

B.??4,4?

C.??3,3?

D.??2,2?

2 【解析】如右图椭圆 x ? y 2 ? 1 的中心在原点, 4

-2

O -1

2 C(a,0)

X

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且长、短半轴分别为 a=2,b=1;圆 ?x ? a? ? y 2 ? 1
2

的圆心为 C(a,0)且半径 R=1. 显然,当圆 C 从椭圆左边与之相切右移到椭圆 右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3 增加到 3,故 a∈ ? ?3,3? ,选 C. 在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面,一是恰当地运用平面几何知识及其推 理功能,二是利用图形变换去进行数量的分析与计算.

(4)转移法——将生疏向熟知化归 做数学题如果题题都从最原始的地方起步, 显然是劳神费力且违反数学原则的.不失时机地运用 前此运算成果就成为数学思想的本质特点.而转移法正是这一思想的具体体现. 【例 8】 (06.全国一卷.20 题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 有一个以 F1 (0,? 3) 和 F2 (0, 3) 为焦点, 离心率为
3 的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 x,y 轴 2
Y B M(x,y) P(x0, y0 )

的交点分别为 A,B 且向量 OM=OA+OB.试求点 M 的轨迹方程 【分析】点 P 在已知轨迹(椭圆在第一象限的部分)上, 是主动点;点 M 在未知轨迹上,且随着点 P 的运动而运动,是 被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹,适合用坐标 转移法解之.此外,过椭圆上一点 P 的切线方程,可以直接运用 例 5 的结论. 【解析】椭圆的半焦距 c ? 3 ,离心率 e ?
c 3 ? , a 2

O

A

X

?长半轴a ? 2,短半轴b=1.又椭圆的焦点在 y 轴上,故其

方程为:

y2 ? x 2 ? 1. 4
2 y0 2 ? x0 ?1 4

设点 P 的坐标为 ? x0,y0 ?? x0,y0 ? 0?, 那么 过点 P 的椭圆切线方程为:
y0 y ? x0 x ? 1 4

?1?

? 2?

在方程(2)中,令 y=0,得 x ?

?1 ? ? 4? 1 4 ,有A ? , 0 ?;再令x ? 0,得y ? ,有B ? 0, ? . x0 y0 ? x0 ? ? y0 ?

?1 ? ? 4? ?1 4? 设点 M 的坐标为 ? x,y ? .由 OM=OA+OB? ? x,y ? ? ? , 0 ? ? ? 0, ? ? ? , ? x ? 0 ? ? y0 ? ? x0 y0 ?
? ?x ? ? ?? ?y ? ? ? 1 x0 1 ? x0 ? ? 1 4 x ? ,代入(1) : 2 ? 2 ? 1. ?? x y 4 ? y0 ? 4 y ? y0 ?

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∵ x0 ? ? 01 ,, 2? ,∴所求点 M 的轨迹方程是: ? y0 ? ? 0,

1 4 ? 2 ? 1? x ? 1,y ? 2? . 2 x y

转移法求轨迹方程的基本步骤是: (1)在已知轨迹上任取一点 M(x0,y0) ,并写出其满足的已 知关系式; (2)设 P(x,y)为待求轨迹上一点,并根据题设条件求出两个坐标的关系式; (3)用 x, y 的代数式分别表示 x0,y0,代入(1)中的关系式化简即得. (5)三角法——与解析法珠联璧合 三角学的资源丰富,方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识,优点多多 .例如椭圆方程

? x ? a ? cos? 的三角形式是: ? ,既将点的坐标中的两个变量减少为一个,又可以利用三角的优势去解 ? y ? b ? sin ?
决解析几何中的疑难.

x2 y2 ? ? 1 上的点,F1 和 F2 是焦点,则 k ? PF 【例 9】若 P 是椭圆 的最大值和最小值 1 ? PF 2 4 3
分别是 【解析】椭圆的长、短半轴分别为 a=2,b= 3 ,∴半焦距 c=1.焦点坐标分别为:F1(-1,0) , F2(1,0).设椭圆上一点为 P 2 cos ? , 3 sin ? ,那么

?

?

PF1 ?

? 2cos? ? 1?

2

? 3sin 2 ? ? cos2 ? ? 4cos ? ? 4 ? 2 ? cos ? .

同理; PF2 ? 2 ? cos? .于是
2 k ? PF 1 ? PF 2 ? ? 2 ? cos? ?? 2 ? cos? ? ? 4 ? cos ?

故所求最大值为 4,最小值是 3. 【例 10】如图 1,中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F(3,0) ,右准线 l 的方程为:x = 12。 (1) 求椭圆的方程;
Y

(2)在椭圆上任取三个不同点 P 1, P 2,P 3, 使 ?P 1 FP 2 ? ?P 2 FP 3 ? ?P 3 FP 1 ,证明
1 1 1 为定值,并求此定值. ? ? | FP | FP | FP 1 | 2 | 3 |

l
P1

P 2 O F

X P3

【分析】本题选自 07.重庆卷.22 题,是压轴题. 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径, 否则将陷入繁杂的计算而不得自拔. 有关的 3 条线段都是焦半径,企图用椭圆的 第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确 的解题途径是: (1)利用椭圆的第二定义; (2) 题中有 3 个相等的角度,应不失时机地引入三角 知识. 【解析】椭圆的半焦距 c=3,右准线 x = 12
a2 ? ? 12,? a 2 ? 12 ? 3 ? 36, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 27 . c
图2
P2 ( x2 , y2 )

图1

Y
P 1 ( x1 , y1 )

l
H1 X

120° Θ O 120° F
P 3 ( x3 , y3 )
, ,

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1 x2 y 2 故椭圆方程为: ? ? 1 ,其离心率 e ? . 2 36 27

如图 2 设 P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? , P 3 ? x3 , y3 ? 为椭圆上符合条件的三点,令 FP 1 ?r 1 , FP 2 ?r 2 , FP 3 ?r 3. 作 P1H1⊥ l 于 H1,令 PH 1 1 ? d1 , 设 ∠ P1Fx= θ 则 ∠ P2Fx= θ +120 ° ∠ P3Fx= 120 ° - θ . 于 是 r1 ? ed1 ?
x1 ? 3 ? r1 c o ? s? , r ? 12 ? 9 9 r1 ? ? cos ? r1 . 2? c o ?s 1 ?12 ? x ? , 而 2

同理: r2 ?

9 9 .于是 , r3 ? 2 ? cos(120? ? ? ) 2 ? cos(120? ? ? )

1 1 1 1 ? ? ? ? ?? 2 ? cos ? ? ? ? 2 ? cos(120? ? ? ?) ? ? 2 ? cos(120? ? ? ?) ? ? | FP | FP | FP 9 1 | 2 | 3 |

1 2 ?6 ? cos ? ? 2 cos120? cos ? ? ? ,故为定值. 9 3 如果读者有极坐标的有关知识,则本题的解法将更为简洁 ep 圆锥曲线的极坐标方程是: ? ? .其中 e 是椭圆的离心率,p 是相应焦点到准线的距离, 1 ? e cos ? θ 是极径与极轴的夹角. 巧用定义求椭圆中四类最值问题 圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据,又是用来解决一些问题的重要方法,一般情况 下,当问题涉及焦点或准线,且用其它方法不易求解时,可考虑运用定义求解,下面以椭圆为例归 纳四类最值问题。 ?

一、 的最值 若 A 为椭圆内一定点(异于焦点),P 是 C 上的一个动点,F 是 C 的一个焦点,e 是 C 的离心率,求 的最小值。 例 1. 已知椭圆 的最小值。 分析:注意到式中的数值“ ”恰为 ,则可由椭圆的第二定义知 等于椭圆上的点 P 到左准线 的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过,这里不再重复,答 案为 二、 。 的最值 的最 内有一点 A(2,1),F 是椭圆 C 的左焦点,P 为椭圆 C 上的动点,求

若 A 为椭圆 C 内一定点(异于焦点),P 为 C 上的一个动点,F 是 C 的一个焦点,求 值。 例 2. 已知椭圆 的最大值与最小值。 内有一点 A(2,1),F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求

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解:如图 1,设椭圆的右焦点为

,可知其坐标为(3,0)

图1 由椭圆的第一定义得:

可知,当 P 为

的延长线与椭圆的交点时, 最小,最小值为 ,最小值为 。

最大,最大值为 。

,当 P 为



延长线与椭圆的交点时, 故 三、 的最大值为 的最值

若 A 为椭圆 C 外一定点, 为 C 的一条准线,P 为 C 上的一个动点,P 到 的距离为 d,求 最小值。 例 3. 已知椭圆 为 d,求



外一点 A(5,6), 为椭圆的左准线,P 为椭圆上动点,点 P 到 的距离 的最小值。

解:如图 2,设 F 为椭圆的左焦点,可知其坐标为

图2 根据椭圆的第二定义有: ,即

可知当 P、F、A 三点共线且 P 在线段 AF 上时, 故 的最小值为 10。 四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值

最小,最小值



例 4. 定长为 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 点 M 到椭圆右准线 的最短距离。 解:设 F 为椭圆的右焦点,如图 3,作

上移动,求 AB 的中

于 A”,BB”⊥ 于 B”,MM”⊥ 于 M”

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图3 则 当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。 故 M 到椭圆右准线的最短距离为 评注: 。 是 AB 能过焦点的充要条件。

是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值,

椭圆中减少运算量的主要方法 椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法,以下的四种主要方法比较常用,能够有效地减少运算 量,希望同学们切实掌握。 一、追根溯源,回归定义 椭圆中许多性质都是由定义派生出来的,如果能够从其定义出发,挖掘它的性质,把定量的计算和 定性的分析有机地结合起来,则可以大大地减少运算量。 例 1. (全国高中数学联赛)给定 A(-2,2),已知 B 是椭圆 取得最小值时,求 B 点坐标。 分析:如果设点 B 的坐标 把 ,再求 则计算量相当大,而如果利用椭圆的第二定义, 上的动点,F 是左焦点,当

转化为 B 点到左准线的距离就简单的多。

解:由已知椭圆方程得: ,左准线为 。如图 1,过 B 点作左准线 的垂线,垂足为 N。过 A 点作此准线的垂线,垂足为 M。根据椭圆的第二定义得:

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则 ( 为定值) 当且仅当 B 点是线段 AM 与椭圆的交点时等号成立。 可解得 B 点的坐标是 二、充分运用平面几何性质 结合平面几何的知识解决椭圆中的有关问题,也是避免繁杂运算的有效途径之一。 例 2. 椭圆 的焦点为 取值范围是____________。 ,点 P 为其上的动点。当 为钝角时,点 P 的横坐标的

分析:用 为钝角的充要条件 和焦半径公式 以及余弦定理解 题,最后因计算量过大均可能造成繁解或错解。而充分运用平面几何性质则会得以简解。 解:依题意 以原点为圆心, 若 P 点在圆外,则 钝角。 为半径作圆,则 是圆的直径。 为直角;若 P 点在圆内,则 为 为锐角;若 P 点在圆上,则

联立 消去 得: 故 即为所求。 三、利用图形的性质化繁为简 细观题意,察看图形特征,从中找出解题突破口,也可以避免大量的运算。 例 3. (四川高中数学竞赛)已知 P 点在圆 求 的最大值。 的最大值,等于 的最大值与圆的半径之和,则可 上移动,Q 点在椭圆 上移动,

分析:如图 2,本题如能从图形出发,看到 避免大量的运算。

图2 解:设 ,则 ,即

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的最大值为 四、利用“点差法”,设而不求 与弦中点的有关问题,主要有三种题型:求平行弦的中点轨迹;求过定点的弦中点的轨迹;求被定 点平分的弦所在直线的方程,都可用“点差法”减少运算量。 例 4. 椭圆 解:设 中,过点 P(1,1)的弦 AB 恰被点 P 平分,求弦 AB 所在的直线方程。 ,则

由<1>-<2>得: 则直线 AB 的斜率为: 故弦 AB 所在直线的方程为: 即 利用韦达定理、曲线系方程、建立恰当的坐标系、整体代换、三角换元等方法也能起到减少运算量、 提高计算速度的作用,在此就不再赘述了。 椭圆 1 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ, |PQ|= 解
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10 ,求椭圆方程 2
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设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)由 ?

?y ? x ? 1
2 2 ?mx ? ny ? 1

得(m+n)x2+2nx+n-

1=0, Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0,由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
4(m ? n ? mn) 10 2 2(n ? 1) 2n 3 ?( ) ,将 m+n=2,代入得 m·n= ② +1=0,∴m+n=2 ①又 2 ? m?n 2 4 m?n m?n 2 x 1 3 3 1 3 3 1 由①、②式得 m= ,n= 或 m= ,n= 故椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ y2=1 2 2 2 2 2 2 2 2
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2

设椭圆

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0?的左焦点为F1 ( ? 2 ,0),左准线 l1 与x轴交 a 2 b2

于点N( ? 3,0),过点N且倾斜角为30o 的直线 l 交椭圆于A、B两点。

(I)求直线 l 和椭圆的方程; (II)求证:点F1 ( ? 2,0)在以线段AB为直径的圆上;

(III)在直线 l 上有两个不重合的动点C、D,以CD为直径且过点F1 的所有

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圆中,求面积最小的圆的半径长。
a2 3 (I)直线 l:y ? ?x ? 3? 由已知c ? 2 , ? 3 c 3 解:

解得:a 2 ? 6,b 2 ? a 2 ? c 2 ? 6 ? 4 ? 2 ∴椭圆方程为
y

x2 y2 ? ?1 6 2

l1
A F1 O

B

N -3

x

?x 2 ? 3y 2 ? 6 ? 0 ? (II)解方程组 ? 3 ?x ? 3? ?y ? 3 ?

?1? ?2?
? 3?

? 2 ? 代入 ? 1 ? ,整理得:2x 2 ? 6x ? 3 ? 0

设A?x1,y1 ?,B?x 2 ,y 2 ?

则x 1 ? x 2 ? ?3,x 1 ·x 2 ?

3 2

则k F1A ·k F1B

1 ?x1 ? 3??x 2 ? 3? x1·x 2 ? 3?x1 ? x 2 ? ? 9 y1 y2 3 ? · ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ?x1 ? 2??x 2 ? 2? 3?x1x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4?

3 ? 3( ?3) ? 9 ? 2 ? ?1 ?3 ? 3? ? 2( ?3) ? 4? ∴F1A⊥F1 B,即∠AF1 B ? 90o ∴点F1 (?2,0) 在以线段AB为直径的圆上 ?2 ?

(III)面积最小的圆的半径应是点 F 到直线 l 的距离,设为 r
3 ? ( ?2) ? 0 ? 3 ? 3? ? ? ?1 ? 3 ?
2

3 ?

∴r ?

1 为所求 2

? ? ? ?x 2 ? 2,y 2 ? (II)的解法二: F1 A · F1 B ? ?x 1 ? 2,y1 ·

? ?x1 ? 2??x 2 ? 2? ? y1 y 2

? x 1 x 2 ? 2? x 1 ? x 2 ? ? 4 ? 又x 1 ? x 2 ? ?3,x 1 x 2 ?

1 4 x 1 x 2 ? 3? x 1 ? x 2 ? ? 9 ? x 1 x 2 ? 3? x 1 ? x 2 ? ? 7 ? 0 3 3

?

?

3 o 2 ∴F1A⊥F1B,即∠AF1B ? 90 ∴点F1 ??2,0?在以线段AB为直径的圆上)

3 已知 F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点 B a2 b2

也在椭圆上,且满足 OA ? OB ? O(O 为坐标原点) , AF2 ? F1 F2 ? 0 ,若椭圆的离心率等于

2 . 2

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- 12 -

(Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)若 ?ABF2 的面积等于 4 2 ,求椭圆的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,椭圆上是否存在点 M 使得 ?MAB 的面积等于 8 3 ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)由 OA ? OB ? O 知直线 AB 经过原点,又由 AF2 ? F1 F2 ? 0知AF2 ? F1 F2 . 因为椭圆离心率等于
2 2 1 , 所以c ? a, b 2 ? a 2 ,故 2 2 2
1 2 1 a, 所以 A( a, a ) , 2 2 2

椭圆方程可以写成 x 2 ? 2 y 2 ? a 2 , 设 A(c, y A ), 代入方程得 y A ?
2 2 ,因此直线 AB 的方程为 y ? x. 2 2

故直线 AB 的斜率 k ?

(Ⅱ)连接 AF1、BF1,由椭圆的对称性可知 S ?ABF2 ? S ?ABF1 ? ?AF1F2 ,
1 1 x2 y2 ? ? 1. 所以 ? 2c ? a ? 4 2 , 解得 a 2 ? 16, b 2 ? 8, 故椭圆方程为 2 2 16 8

(Ⅲ)由(Ⅱ)可以求得 AB ? 2 OA ? 2 (2 2 ) 2 ? 2 2 ? 4 3, 假设在椭圆上存在点 M 使得 ?MAB 的面积等于 8 3 ,设点 M 到直线 AB 的距离为 d,则应有
1 ? 4 3 ? d ? 8 3 ,所以 d ? 4. 2

设 M 所在直线方程为 2x ? 2 y ? 4 6 ? 0 与椭圆方程联立消去 x 得方程 4 y 2 ? 8 6 y ? 32 ? 0 即 y 2 ? 2 6 y ? 8 ? 0 ? ? ? (?2 6 ) 2 ? 4 ? 8 ? 0 故在椭圆上不存在点 M 使得 ?MAB 的面积等于 8 3.
x2 y2 4 已知 F1、F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点 B a b

也在椭圆上,且满足 OA ? OB ? 0 (O 是坐标原点) , AF2 ? F1 F2 ? 0. 若椭圆的离心率等于 求直线 AB 的方程; (2)若三角形 ABF2 的面积等于 4 2 ,求椭圆的方程; .解: (1)由 OA ? OB ? 0 知,由直 AB 经过原点, 又由 AF2 ? F1 F2 ? 0知AF2 ? F1 F2 ,因为椭圆的离心率等于 所以 c ?
2 , 2

2 . (1) 2

2 1 a, b 2 ? a 2 ,故椭圆方程 x 2 ? 2 y 2 ? a 2 设 A (x,y),由 AF2 ? F1 F2 ? 0 ,知 x = c, 2 2

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∴A (c,y),代入椭圆方程得 y ?
2 x. 2

1 2 1 2 a, ? A( a, a) , 故直线 AB 的斜率 k ? . 2 2 2 2

因此直线 AB 的方程为 y ?

(2)连结 AF1、BF1、AF2、BF2,由椭圆的对称性可知 S ?ABF2 ? S ?ABF1 ? S ?AF1F2 ,
1 1 x2 y2 2 ? ? 1. 所以 ? 2c ? a ? 4 2 ,又由 c ? a ,解得 a 2 ? 16, b 2 ? 16 ? 8 ? 8 ,故椭圆的方程为 2 2 16 8 2

x2 y2 5 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,它的上下顶点分别是 A、B,点 M 是椭圆上的动点(不与 A、B a b

重合) ,直线 AM 交直线 y=2 于点 N,且 BM ? BN .(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若斜率为 1 的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,求证: OP ? OQ 与向量 a=(-3,1)共线(其 中 O 为坐标原点). .解: (I)由题意,A(0,1) ,B(0,-1) ,设 M(x0,y0) ,x0≠0. ∴则直线 AM 的方程为 y ?

y0 ? 1 x ?1 x0

? y ? 2, x ? 由? 得N ( 0 ,2). y0 ? 1 y0 ? 1 ?y ? x x ?1 0 ? ? BM ? ( x0 , y 0 ? 1), BN ? ( x0 ,3) ???????3分 y0 ? 1

? BM ? BN ,? BM ? BN ? 0, ?
2 x0 ? 3( y 0 ? 1) ? 0 y0 ? 1
2 x0 2 ? y0 ?1 2 a

2 2 ? x0 ? 3( y0 ? 1) ? 0

①, 又∵M(x0,y0)在椭圆上,?
2 3x0 ? 0, a2



2 x0 ?

①、②联立并消去 y0,得

? x0 ? 0,?1 ?

3 ? 0, 即a 2 ? 3, a2

x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆方程为 3

(II)解法一:设直线 PQ 方程为 y=x+b.

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? y ? x ? b, ? 由? x 2 得 2 ? y ? 1 ? ?3 4 x 2 ? 6bx ? 3b 2 ? 3 ? 0 ??????? 9分 设p ( x1 , y1 ), Q( x 2 , y 2 ),则x1 , x 2为方程的两根 3 ? x1 ? x 2 ? ? b, 2 3 b y1 ? y 2 ? x1 ? x 2 ? 2b ? ? b ? 2b ? ..?????10分 2 2 3 b b ? OP ? OQ ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ? (? b, ) ? (?3,1). 2 2 2 故OP ? OQ与a ? (?3,1)共线.????12分

解法二:设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ),则

x12 ? y12 ? 1 ①, 3

2 x2 2 ? y2 ? 1 ②. 3

①-②,得

2 x12 ? x 2 2 ? y12 ? y 2 ?0, 3

则K PQ ?

y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 ?????8分 x1 ? x2 3( x1 ? y 2 ) x1 ? x 2 ? 1,即x1 ? x 2 ? ?3( y1 ? y 2 ).????10分 3( y1 ? y 2 )

又K PQ ? 1,? ?

? OP ? OQ ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ? (?3( y1 ? y 2 ), y1 ? y 2 ) ? ( y1 ? y 2 )(?3,1),?11分 故OP ? OQ与a ? (?3,1)共线.???12分
6 已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0与椭圆C : 求椭圆 C 的离心率; (II)若椭圆 C 的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x 2 ? y 2 ? 5 上,求椭圆 C 的方程.
4 2 4 2 解: (I)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) .? OA ? OB ? ( , ), ? x1 ? x 2 ? , y1 ? y 2 ? 3 3 3 3

4 2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且 OA ? OB ? ( , ). (I) 2 3 3 a b

? x ? y ? 1 ? 0, 1 1 2 1 ? 由 ? x2 y2 得( 2 ? 2 ) x 2 ? 2 x ? 2 ? 1 ? 0 . b b b ? 2 ? 2 ? 1, a b ?a
该方程的两根为 x1 , x 2 ,由韦达定理,得 x1 ? x2 ?

4 ? . ? a 2 ? 2b 2 1 1 3 ? 2 2 a b
c 2 ? a 2

2 b2

? b 2 ? a 2 ? c 2 ,? a 2 ? 2a 2 ? 2c 2 ,? a 2 ? 2c 2 ,? e ?

(II)设椭圆的右焦点为 F(c,0) ,F 关于直线 l 的对称点为 P( x0 , y0 ) ,

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? x0 ? c y 0 ? ? 1 ? 0, ? ? x0 ? 1, 2 ? 2 则? ? P在圆x 2 ? y 2 ? 5上?1 ? (1 ? c) 2 ? 5 解得? y ? y 0 ? 1 ? c. ? 0 ? 1, ? ? x0 ? c
? c ? 3或 ? 1(舍) ? a 2 ? 2c 2 ? 18, b 2 ? c 2 ? 9 故所求椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1. 18 9

7 已知定点 A(-2,0) ,动点 B 是圆 F : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 64 (F 为圆心)上一点,线段 AB 的垂直平分 线交 BF 于 P。 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2) 直线 y ? 3x ? 1交 P 点的轨迹于 M, N 两点, 若 P 点的轨迹上存在点 C, 使 OM ? ON ? m ? OC, 求实数 m 的值; 解: (1)由题意:∵|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8∴|PA|+|PF|=8>|AF|∴P 点轨迹为以 A、F 为焦点 的椭圆 设方程为
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? b 2 ? 12 2 a b
2 2

? 2a ? 8, a ? 4, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 2 ? 4 x2 y2 ? P点轨迹方程为 ? ? 1.......... ...6分 16 12

(2)设 M ( x1 , y1 ) N ( x 2 , y 2 )C ( x0 , y 0 ) ? OM ? ON ? mOC
? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ? m( x 0 , y 0 ) ? x0 ? x1 ? x 2 y ? y2 , y0 ? 1 m m

? y ? 3x ? 1 ? 由? x 2 y 2 , 得: 15x 2 ? 8 3 x ? 44 ? 0 ?1 ? ? ? 16 12 ? x1 ? x 2 ? ? 8 3 , 15

8 3 2 y0 ? 15m 5m 2 2 x y ? C在椭圆 ? ? 1上, 16 12 64 ? 3 4 ? ? ?1 2 16 ? 255m 12 ? 25m 2 ? x0 ? ?

2 y1 ? y 2 ? 3 ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? .......... .......... 10分 5

? m2 ?

1 15 ,? m ? ? ????????????14 分 15 15

8 已知椭圆

x2 y2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 ? y 2 ? 1 的离心 一个顶点为 A ( 0 , 1 ) ,且它的离心率与双曲线 2 2 3 a b

率互为倒数. (I) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 过 A 点且斜率为 k 的直线与椭圆相交于 A、B 两点, 点 M 在椭圆上,并且满足 OM ?
1 3 OA ? OB ,求 k 的值. 2 2

解: (Ⅰ)∵双曲线

x2 3 ?1 2 3 3 ? y 2 ? 1的离心率为 ? ∴椭圆的离心率为 。 2 3 3 3

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x2 y2 ∵椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(0,1) ,∴b=1 a b

a2 ?1 3 x2 2 ? ? ,? a ? 4,? 椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 2 2 4 a
(Ⅱ)过 A 点且斜率为 k 的直线的方程是 y=kx+1,代入到椭圆方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 0 显然这个方程有两解。设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x, y),则可解得
x1 ? 0, x 2 ? ? 8k , 1 ? 4k 2

1 ? 4k 2 ? y1 ? kx1 ? 1 ? 1, y 2 ? kx2 ? 1 ? 1 ? 4k 2
? 8k 1 ? 4k 2 1 3 ? 8k 1 ? 4k 2 , ) 即 A(0,1) ,B ( ? ( x , y ) ? ( 0 , 1 ) ? ( , ) 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

?x ?

? 4 3k 1 ? 3 ? 4(1 ? 3)k 2 将 E 点的坐标代入到椭圆方程中,并去坟墓可得 , y ? 1 ? 4k 2 2(1 ? 4k 2 )
1 1 ,? k ? ? 16 2

48k 2 ? [(1 ? 3) ? 4k 2 (1 ? 3)]2 ? 4(1 ? 4k 2 ) 2 展开整理得 k 4 ?

方法二: (Ⅱ)过 A 点且斜率为 k 的直线的方程是 y=kx+1,代入到椭圆方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kx ? 0
? OM ?

①显然这个方程有两解。设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x, y),则

1 3 1 3 OA ? OB,? ( x, y ) ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) 2 2 2 2 1 1 ? x ? ( x1 ? 3 x 2 ), y ? ( y1 ? 3 y 2 )......... .......... .....8分 2 2

∵ 点 M 在 C 上 1 3 1 ? ( x1 ? 3 x 2 ) 2 ? ( y1 ? 3 y 2 ) 2 ? 3b 2 ? [( x12 ? 3 y12 ) ? 3( x22 ? 3 y 22 ) ? ?2 3x1 x2 ? 6 3 y1 y 2 ] ? 3b 2 4 4 4 1 1 ? x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 0 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0,即(1 ? 3k 2 ) x1 x 2 ? 3k ( x1 ? x 2 ) ? 3 ? 0 ② 2 2 ? 8k . 又由①式知: x1 x 2 ? 0, x1 ? x 2 ? 1 ? 4k 2 1 1 代入到②式得 k 2 ? ,? k ? ? 16 2 9



已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,经过点 (3,? 5) 的直线 l 与向量(-2, 5 )平行且通 过椭圆 C 的右焦点 F,交椭圆 C 于 A、B 两点,又 AF ? 2FB. (1)求直线 l 的方程; (2)求 椭圆 C 的方程.

(1)直线 l 过点 (3,? 5 ) 且与向量(-2, 5 )平行

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5 则 l 方程为: x ? 3 ? y ? 5 化简为: y ? ? ( x ? 1)
?2 5

2

(2)设直线 y ? ?

2 2 5 ( x ? 1) 与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 2 a b

由 AF ? ?2BF,求得y1 ? ?2 y2 将x ??
2 4 4 2 y ? 1代入b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 中整理得 ( b 2 ? a 2 ) y 2 ? b y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 5 5 5

4 2 ? b ? 5 ? y1 ? y 2 ? ? ? y2 4 2 b ? a2 ? 由韦达定理可知: ? 5 ? ? b 2 (1 ? a 2 ) 2 ? y1 ? y 2 ? ? ?2 y 2 4 ? b2 ? a2 ? 5 ?

??? ①

??????9 分
?? ②

由①2/②知 32b2=(4b2+5a2) (a2-1)
x2 y2 ? ?1 4 3

又 a 2 ? b 2 =1,故可求得 ? ?

?a 2 ? 4 , 因此所求椭圆方程为: 2 ? ?b ? 3

10 已知椭圆

x2 y2 a2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) l : x ? 与x 轴相交于点 A,且 的右焦点为 F ,短轴长 ,直线 2 2 c a2 b2

| OF |? 2 | FA | ,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点。
直径的圆恰好经过原点,求直线 PQ 的方程。

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若以 PQ 为

? ?b ? 2 ? ? 解: (Ⅰ)由已知得 ?a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2 ?c ? 2( a ? c) ? c ?

解得 a ? 6 , b ? 2 , c ? 2 ∴ 椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 6 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 A(3,0) 设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3)

? y ? k ( x ? 3) ? 由方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 2 ?6



(3k 2 ? 1) x 2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 ? ? (?18k 2 ) 2 ? 4(3k 2 ? 1)(27k 2 ? 6) ? 12(2 ? 3k 2 ) ? 0 得
18k 2 27k 2 ? 6 , x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

依题意

?

6 6 ?k? 3 3

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ),则x1 ? x2 ?

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- 18 -

3k 2 y1 y 2 ? k ( x1 ? 3)k ( x2 ? 3) ? k [ x1 x 2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] ? 2 3k ? 1
2

? ∵ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0,

27k 2 ? 6 3k 2 5 5 6 6 ? 2 ? 0, 解得 k ? ? ? (? , ) ∴直线 PQ 的方程为 y ? ? ( x ? 3) 2 5 5 3 3 3k ? 1 3k ? 1

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