kl800.com省心范文网

2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末检测 新人教A版选修1-1

2015-2016 学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末检测 新人教 A 版选修 1-1
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.(2014?青岛质检)双曲线 - =1 的渐近线方程为(B) 4 5 A.y=± C.y=± 5 x 4 5 x 5 B.y=± 5 x 2

x2 y2

2 5 D.y=± x 5

5 解析:由题意得双曲线 - =1 的渐近线方程为 - =0,即 y=± x,故选 B. 4 5 4 5 2

x2 y2

x2 y2

x y 4 2.已知双曲线 2- 2=1 的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为(A) a b 3 5 4 A. B. 3 3 5 3 C. D. 4 2 b 4 4 16 2 2 解析:由 = ,得 b= a.平方得 b = a . a 3 3 9 c 5 2 2 2 又 b =c -a .代入,解得 = . a 3 2 2 3.(2014?浙江质检)椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为(A) 1 1 A. B. 4 2 C.2 D.4
解析:由椭圆 x +my =1,得 x + =1, 1
2 2 2

2

2

y2 m

∵焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍, 1 1 ∴2 =1,解得 m= . m 4 4.若抛物线 y =-2px 的焦点与椭圆 + =1 的左焦点重合,则 p 的值为(D) 16 12 A.-2 B.2 C.-4 D.6
2

x2

y2

? ? 解析:∵椭圆的左焦点为(-2,0),抛物线的焦点为? ,0?, ?2 ?
p
∴ =3,p=6. 2 → → 2 5.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若OA?AF=-4, 则点 A 的坐标是(B) A.(2,±2 2) B.(1,±2)
1

p

C.(1,2) D.(2,2 2) → → 2 解析:∵F(1,0),设 A(x0,y0)是抛物线上一点,则有 y0=4x0.又OA?AF=-4, ∴(x0,y0)?(1-x0,-y0)=-4,化简得, x2 0+3x0-4=0.解得 x0=1,x0=-4(舍去). 将 x0=1 代入抛物线方程,得 y0=±2. 6.曲线 + =1(m<6)与曲线 + =1(5<m<9)的(A) 10-m 6-m 5-m 9-m A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同 解析:∵m<6,∴曲线 + =1 为焦点在 x 轴上的椭圆. 10-m 6-m 2 ∴c =(10-m)-(6-m)=4,c=2,∴2c=4. 又 5<m<9,∴曲线 + =1 为焦点在 y 轴上的双曲线,即 - =1. 5-m 9-m 9-m m-5 2 ∴c =(9-m)+(m-5)=4,c=2,∴2c=4. 7.(2014?东三省四市联考)以椭圆 + =1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双 8 5 曲线的渐近线方程为(D) 3 5 A.y=± x B.y=± x 5 3 C.y=± 15 x 5 D.y=± 15 x 3
2 2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

y2

x2

x2 y2

解析:依题意得双曲线的实轴为 2a=2 8-5=2 3,焦距 2c=2 8=4 2,b= c -a b 15 = 8-3= 5,因此该双曲线渐近线方程是 y=± x=± x,故选 D. a 3 2 2 8.双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 为(A) 1 1 A.- B.-4 C.4 D. 4 4 解析:将双曲线方程化为标准形式,得 - 1 1 2 2 ∴a =1,b =- .

y2

=1. 1 -

x2

m

m

根据题意,得 2b=2?2a.即 2 1 ∴m=- . 4

1 - =4.

m

→ → → → 9.已知两点 M(-2,0)、N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足|MN|?|MP|+MN?PN =0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为(B) 2 2 A.y =8x B.y =-8x 2 2 C.y =4x D.y =-4x 解析:设点 P(x,y),∵|MN|=4, 2 2 |MP|= (x+2) +y ,又 → → MN?PN=(4,0)?(2-x,-y)=4(2-x), 2 2 2 ∴4 (x+2) +y =-4(2-x),化简得,y =-8x. 10.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线

x2 y2 a b

2

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C) A.(1,2) B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 解析:∵双曲线的渐近线方程为 y=± x, 又倾斜角为 60°的直线的斜率为 3, 所以根据题意,得 ≥ 3, 即 b≥ 3a.两边平方得,b ≥3a . 又 b =c -a ,∴ ≥2. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.已知双曲线中心在原点,一个焦点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为 5∶4, 则双曲线的标准方程是________________. 解析:可知焦点在 x 轴上,c=3, 12 又 2c∶2b=5∶4,∴5b=4c=12,b= . 5 2 ?12? 81 2 2 2 根据 a =c -b =9-? ? = , ? 5 ? 25 故所求的双曲线方程为 - =1. 81 144 25 25 答案: - =1 81 144 25 25 12. 已知抛物线 C 的顶点为原点, 焦点在 x 轴上, 直线 y=x 与抛物线 C 交于 A, B 两点, 若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为__________. 2 解析: 设抛物线为 y =kx, 与 y=x 联立方程组, 消去 y, 得: x2-kx=0, x1+x2=k=2?2, 2 故 y =4x. 2 答案:y =4x 2 13. (2014?郴州二监)过抛物线 y =4x 焦点的直线交抛物线于 A, B 两点, 若|AB|=10, 则 AB 的中点 P 到 y 轴的距离等于________. 2 解析:抛物线 y =4x 焦点为 E(1,0),准线为 x=-1,过点 A,B,P 分别作准线的垂 线,垂足分别为点 C,D,F,PF 交 y 轴于点 H,如图所示,则 PF 为直角梯形 ABCD 的中位线, |AC|+|BD| |AE|+|BE| |AB| |PF|= = = =5, 故|PH|=|PF|-1=4, 即 AB 的中点 P 到 y 轴的 2 2 2 距离等于 4.
2 2 2 2 2

b a

b a

c a

x2

y2

x2

y2

14. ax +by =1 与直线 y=-x+1 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线斜率

2

2

3



2 a ,则 =________. 2 b 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 则 ax1+by1=1,① 2 2 ax2+by2=1,② ①-②可得: a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0, a (y1-y2)(y1+y2) 2 2 从而得 =- =-(-1)? = . b (x1-x2)(x1+x2) 2 2 答案:

2 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 2 2 15.(12 分)已知 A(2,0)、定圆 M:(x+2) +y =25,P 是圆上的动点,线段 AP 的垂直 平分线交 MP 于 Q,求 Q 的轨迹方程. 解析:如图,|QP|=|QA|,

∴|QM|+|QA|=|QM|+|QP|=|MP|=5. ∴动点 Q 的轨迹是椭圆, 9 2 2 2 又∵2a=5,c=2,∴b =a -c = , 4 ∴Q 的轨迹方程为 + =1. 25 9 4 4

x2

y2

x2 y2 16.(12 分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一 a b

?3 ? 个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点 P? , 6?, 2 ? ? 求抛物线的方程和双曲线的方程. 2 解析:依题意,设抛物线的方程为 y =2px(p>0), 3 ?3 ? ∵点 P? , 6?在抛物线上∴6=2p? . 2 ?2 ? 2 ∴p=2,∴所求抛物线的方程为 y =4x. ∵双曲线的左焦点在抛物线的准线 x=-1 上, 2 2 ∴c=1,即 a +b =1, 9 6 ?3 ? 又点 P? , 6?在双曲线上,∴ 2- 2=1, 4a b ?2 ? 1 a2+b2=1, a2= , 2 ? 4 ?a =9 ? ? ? 解方程组? 9 得 或 (舍去). 6 2 ? 3 ?b =-8, 2- 2=1, 2 ? b= , ?4a b 4

? ? ? ? ?

4

4 2 2 ∴所求双曲线的方程为 4x - y =1. 3 2 17.(14 分)已知抛物线方程为 y =2x,在 y 轴上截距为 2 的直线 l 与抛物线交于 M,N 两点,O 为坐标原点.若 OM⊥ON,求直线 l 的方程. 解析:设直线 l 的方程为 y=kx+2, 2 ? ?y =2x, 2 由? 消去 x 得 ky -2y+4=0. ?y=kx+2, ? ∵直线 l 与抛物线相交, ? ?k≠0, 1 ∴? 解得 k< 且 k≠0. 4 ?Δ =4-16k>0, ? 4 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1y2= ,

k

从而 x1x2= ? = 2. 2 2 k ∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0, 4 4 即 2+ =0,解得 k=-1 符合题意,

y2 y2 1 2

4

k ∴直线 l 的方程为 y=-x+2. x2 y2

k

3 18.(14 分)已知椭圆 + =1 及直线 l:y= x+m, 4 9 2 (1)当直线 l 与该椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求直线 l 被此椭圆截得的弦长的最大值. 3 y= x+m, 2 解析:(1)由 2 2 消去 y,并整理得 x y + =1, 4 9 2 2 9x +6mx+2m -8=0.① 上面方程的判别式 2 2 2 Δ =36m -36(2m -8)=-36(m -8). ∵直线 l 与椭圆有公共点, ∴Δ ≥0,据此可解得-2 2≤m≤2 2. 故所求实数 m 的取值范围为[-2 2,2 2]. (2)设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 6m 2m -8 由①得:x1+x2=- ,x1x2= , 9 9

? ? ? ? ?

故|AB|= 1+k 13 2 -m +8. 3

2

(x1+x2) -4x1x2=

2

?3? 1+? ? ?2?

2

?-6m? -4?2m -8= ? 9? 9 ? ?

2

2

2 26 当 m=0 时,直线 l 被椭圆截得的弦长的最大值为 . 3 19.(2014?海淀二模)(14 分)已知椭圆 G 的离心率为 2 ,其短轴两端点为 A(0,1), 2

B(0,-1).
(1)求椭圆 G 的方程; (2)若 C、D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点,直线 AC,BD 与 x 轴分别交于点 M, N,判断以 MN 为直径的圆是否过点 A,并说明理由.

5

解析:(1)由已知可设椭圆 G 的方程为 2+ =1(a>1). a 1 2 a -1 1 2 2 由 e= 得 e = 2 = ,解得 a =2, 2 a 2 所以椭圆的标准方程为 + =1. 2 1 (2)设 C(x0,y0),且 x0≠0,则 D(-x0,y0). 因为 A(0,1),B(0,-1), y0-1 所以直线 AC 的方程为 y= x+1.
2

x2 y2

x2 y2

x0

-x0 ? -x0 ,0?. ,所以 M? ? y0-1 ?y0-1 ? y0+1 ? -x0 ,0?. 同理直线 BD 的方程为 y= x-1,求得 N? ? -x0 ?y0+1 ? → ? x0 → ? -x0 ,-1? ,-1? AM=? ,AN=? ? ?, 1 - y 0 ? ? ?1+y0 ? 2 x2 2 → → -x0 2 2 所以AM?AN= 2+1,由 C(x0,y0)在椭圆 G: +y =1 上,所以 x0=2(1-y0), 1-y0 2 令 y=0,得 xM= → → 所以AM?AN=-1≠0,所以∠MAN≠90°, 所以以线段 MN 为直径的圆不过点 A. 2 2 20.(14 分)(2014?东三省四市联考)已知圆 M 和圆 P:x +y -2 2x-10=0 相内切, 且过定点 Q(- 2,0). (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程; (2)不垂直于坐标轴的直线 l 与动圆圆心 M 的轨迹交于 A,B 两点,且线段 AB 的垂直平 1? ? 分线经过点?0,- ?,求△AOB(O 为原点)面积的最大值. 2 ? ? 解析:(1)由已知|MP|=2 3-|MQ|,即|MP|+|MQ|=2 3,且 2 3大于|PQ|, 所以 M 的轨迹是以(- 2,0),( 2,0)为焦点,2 3为长轴长的椭圆,即其方程为 + 3 2 y =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)且过 AB 的直线 l 的方程为 y=kx+t, 2 2 2 代入椭圆方程得(3k +1)x +6ktx+3t -3=0, 因为方程有两个不同的解, 2 2 2 2 所以Δ =4(9k +3-3t )>0,即 3k +1>t ,① -6kt x1+x2 -3kt 又因为 x1+x2= 2 ,所以 = 2 , 3k +1 2 3k +1 y1+y2 t = 2 , 2 3k +1 y1+y2 1 + 2 2 1 2 所以 =- ,化简得到 3k +1=4t,② x1+x2 k -0 2 综合①②得 0<t<4, |t| 2 2 又原点到直线的距离为 d= 2 , |AB| = 1+k |x1 - x2| = 1+k k +1 4(9k +3-3t ) , 2 3k +1
2 2

x2

6

1 2 化简得 S△ABO= 3(4t-t ), 4 所以当 t=2,即 k=± 7 3 时,S△AOB 取最大值 . 3 2

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的) 1.椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交 4 → 点为 P,则|PF2| =(C) 3 7 A. B. 3 C. D.4 2 2 2.抛物线的顶点和椭圆 + =1 的中心重合,抛物线的焦点和椭圆 + =1 的右焦 25 9 25 9 点重合,则抛物线的方程为(A) 2 2 A.y =16x B.y =8x 2 2 C.y =12x D.y =6x 3.双曲线 x - =1 的离心率大于 2的充分必要条件是(C) 1 A.m> B.m≥1 C.m>1 D.m>2 2 2 ?c? 1+m=1+m>2,m>1. 2 解析:由 e =? ? = 1 ?a? 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在 抛物线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为(B)
2 2

x2

2

x2

y2

x2

y2

y2 m

x2 y2 a b

7

A. C.

- =1 B. - =1 36 108 9 27

x2

y2

x2

y2

- =1 D. - =1 108 36 27 9 解析:本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程,属于容易题.

x2

y2

x2

y2

b ? ?a= 3, 依题意知? ? a =9,b =27, c=6, ? ?c =a +b ,
2 2 2 2 2

所以双曲线的方程为 - =1. 9 27

x2

y2

x2 2 5.(2013?惠州一调)已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 +y =1 的离 m
心率为(C) 30 A. B. 7 6 C. 30 5 或 7 D. 或 7 6 6
2

解析:因 4,m,9 成等比数列,则 m =36,∴m=±6.当 m=6 时圆锥曲线为椭圆 +y 6
2

x2

2

30 x 2 =1,其离心率为 ;当 m=-6 时圆锥曲线为双曲线 y - =1,其离心率为 7,故选 C. 6 6 2 6.在 y=2x 上有一点 P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点 P 的 坐标是(B) A.(-2,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(-1,2) 2 解析:如图所示,直线 l 为抛物线 y=2x 的准线,F 为其焦点,PN⊥l,AN1⊥l,由抛 物线的定义知,|PF|=|PN|,∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|,当且仅当 A,P,N 三点 共线时取等号,∴P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1,则可排除 A、C、D 项,故选 B.

7.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直 x 轴的直线交 C 于 A, B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为(C) A. +y =1 B. + =1 2 3 2 C. + =1 4 3

x2

2

x2 y2

x2 y2

D. = =1 5 4

x2 y2

解析:依题意可设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 A?1, ?,B?1,- ?,又|AB| = -?- ?= a 1. 8.(2013?新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4 2x 的焦点,P 为 C 上 一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为(C)
8
2 2 b2 ? b ? 2b2 x2 y2 2 2 2 2 =3,∴2b =3a.又 a -b =c =1,∴a=2,b= 3.故 C 的方程为 + = a ? 4 3 ? a

x2 y2 a b

? ?

b2? a?

? ?

b2? a?

A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 解析:设 P(a,b)为抛物线上在第一象限内的点,则 a+ 2=4 2,得 a=3 2,因为 1 点 P(a,b)在抛物线上,所以 b=2 6,所以 S△POF= ? 2?2 6=2 3,故选 C. 2 2 9.动圆的圆心在抛物线 y =8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过点(B) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 解析:直线 x+2=0 是抛物线的准线,又动圆圆心在抛物线上,由抛物线的定义知,动 圆必过抛物线的焦点(2,0). 1 2 10.已知 F 是抛物线 y= x 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段 PF 中点的轨迹方 4 程是(C) 1 1 2 2 A.x =y- B.x =2y- 2 16 2 2 C.x =2y-1 D.x =2y-2 1 2 2 解析:由 y= x ? x =4y,焦点 F(0,1), 4 设 PF 中点 Q(x,y)、P(x0,y0), ?2x=0+x0, 则?2y=1+y0,∴x =2y-1.
2

?

? ?4y0=x2 0,
x2

11. 椭圆 + =1 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m, 则 m 取最大值时, P 点坐标是(C) 25 9 A.(5,0)或(-5,0) 3 3? ? 5 3 3? ? 5 B.? , ?或? ,- ? 2 ? ?2 2 ? ?2

y2

C.(0,3)或(0,-3) D.?

?5 3 3? ? 5 3 3? , ?或?- , ? ? 2 2? ? 2 2?

解析:|PF1|+|PF2|=2a=10, 2 ?|PF1||PF2|? =25. ∴|PF1|?|PF2|≤? ? 2 ? ? 当且仅当|PF1|=|PF2|=5 时,取得最大值, 此时 P 点是短轴端点,故选 C.

x y |PF2| 12. 已知 F1, F2 是双曲线 2- 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, P 为双曲线左支上一点, 若 a b |PF1| 的最小值为 8a,则该双曲线的离心率的取值范围是(C) A.(1,3) B.(1,2) C.(1,3] D.(1,2] 2 2 |PF2| (|PF1|2a) 解析: = |PF1| |PF1| 2 4a =|PF1|+ +4a≥8a, |PF1| 2 4a 当|PF1|= ,即|PF1|=2a 时取等号. |PF1| 又|PF1|≥c-a,∴2a≥c-a. ∴c≤3a,即 e≤3. ∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在题中的横线上) 2 13.抛物线 y =8x 上一个点 P(P 在 x 轴上方)到焦点的距离是 8,此时 P 点的坐标是
9

2

2

2

________. 答案:(6,4 3) 14 .与椭圆 + = 1 具有相同的离心率且过点 (2 ,- 3 ) 的椭圆的标准方程是 4 3 ________________________________________________________________________. 2 2 x2 y2 3y 4x 答案: + =1 或 + =1 8 6 25 25 3 x2 y2 15. 若直线 y= x 与双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的交点在实轴上的射影恰好为双曲线 2 a b 的焦点,则双曲线的离心率是________. 答案:2 2 16 . 抛 物 线 y = x 上 存 在 两 点 关 于 直 线 y = m(x - 3) 对 称 , 则 m 的 范 围 是 ________________________________________________________________________. 解析:设抛物线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=m(x-3)对称,A,B 中点 M(x, y),则当 m=0 时,有直线 y=0,显然存在点关于它对称. 2 ?y1=x1, y1-y2 ? 1 1 1 当 m≠0 时,? 2 ? = = =- , x1-x2 y1+y2 2y m ? ?y2=x2 m 5 m 5 m 2 所以 y=- ,所以 M 的坐标为( ,- ),∵M 在抛物线内,则有 >( ) ,得- 10<m 2 2 2 2 2 < 10且 m≠0,综上所述,m∈(- 10, 10). 答案:(- 10, 10) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)焦点在 x 轴上,虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (2)顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y=± x. 2 解析:(1)焦点在 x 轴上,设所求双曲线的方程 为 2- 2=1.由题意,得

x2

y2

? ?c 5 ?a=4, ? ?b =c -a .
2 2 2

x2 y2 a b 2b=12,

解得 a=8,b=6,c=10.

所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 - =1. 64 36 (2)当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线的方程为

x2

y2

x2 y2 - =1 a2 b2
2a=6, ? ? 9 由题意,得?b 3 解得 a=3,b= . 2 = . ? ?a 2 所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为

x2
9



y2
81 4

=1.

10

同理可求当焦点在 y 轴上双曲线的方程为

y2 x2

- =1. 9 4 故所求双曲线的方程为

x2
9



=1 或 - =1. 81 9 4 4

y2

y2 x2

18.(12 分) 已知椭圆 C 的焦点 F1(-2 2,0)和 F2(2 2,0),长轴长为 6,设直线 y =x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标. 解析:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c=2 2,a=3,从而 b=1,所以其标 准方程是

x2
9

+y =1.
2

2

x ? ? +y2=1, 联立方程组? 9 ? ?y=x+2,
消去 y 得,10x +36x+27=0. 18 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 线段的中点为 M(x0,y0),那么:x1+x2=- , 5 x1+x2 9 x0= =- . 2 5 1 所以 y0=x0+2= . 5 ? 9 1? 也就是说线段 AB 的中点坐标为?- , ?. ? 5 5? 19.(12 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且 |F1F2|=2 13,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为 4,离心率之比为 3∶7.求这两条曲 线的方程.
2

x2 y2 解析:设椭圆的方程为 2+ 2=1,双曲线的方程为 a1 b1 2 2 x y - 2=1,半焦距 c= 13, a2 b2 2 由已知得:a1-a2=4, c c ∶ =3∶7,解得:a1=7,a2=3. a1 a2
所以:b1=36,b2=4,故所求两条曲线的方程分别为: + =1 , - =1. 49 36 9 4 20. (12 分)已知动点 P 与平面上两定点 A(- 2,0)、B( 2,0)连线的斜率的积为定 1 值- . 2 (1)试求动点 P 的轨迹方程 C; 4 2 (2)设直线 l:y=kx+1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|= 时,求直线 l 的方程. 3 解析:(1)设点 P(x,y),则依题意有 y y 1 ? =- , 2 x+ 2 x- 2 整理得 +y =1.由于 x≠± 2,所以求得的曲线 C 的方程为 2
2 2

x2

y2

x2 y2

x2

2

11

x2
2

+y =1(x≠± 2).
2

2

x ? ? +y2=1, (2)联立方程组? 2 ? ?y=kx+1,
消去 y 得:(1+2k )x +4kx=0. -4k 解得 x1=0, x2= 2(x1,x2 分别为 M,N 的横坐标). 1+2k 由|MN|= 1+k |x1-x2| 4k ? 4 2? = 1+k ? 2, 2?= ?1+2k ? 3 解得:k=±1. 所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0. 21.(12 分)设椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0),抛物线 C2:x +by=b . (1)若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; 5 ? ? (2)设 A(0,b),Q?3 3, b?,又 M,N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若△AMN 的垂 4 ? ? ? 3 ? 心为 B?0, b?,且△QMN 的重心在 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程. ? 4 ? 解析:(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上, 2 2 2 2 2 2 可得 c =b ,由 a =b +c =2c , 2 c 1 2 有 2= ? e= . a 2 2
2 2 2

x2 y2 a b

2

2

(2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称, 设 M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0), 由△AMN 的垂心为 B, 3 ? → → ? 2 有BM?AN=0? -x1+?y1- b?(y1-b)=0 4 ? ? 2 2 由点 N(x1,y1)在抛物线上,x1+by1=b , 解得 y1=- ,或 y1=b(舍去), 4 故 x1= 5 5 b? ? 5 b? ? b,M?- b,- ?,N? b,- ?, 2 4? ? 2 4? ? 2

b

? ? 得△QMN 重心坐标? 3, ?. 4? ?
b
由重心在抛物线上得 3+ =b , 4 1 1? ? ? ? ∴b=2,M?- 5,- ?,N? 5,- ?, 2? ? 2? ? 16 2 又∵M,N 在椭圆上,得 a = , 3
12

b2

2

椭圆方程为 + =1, 16 4 3 2 抛物线方程为 x +2y=4.

x2

y2

x2 y2 6 22.(12 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= . a b 3
过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 3 . 2

(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(-1,0),若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C,D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点,请说明理由.

解析:(1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0. c 6 = , a 3 ?a= 3, 依题意 解得? ab 3 ?b=1. = , 2 2 2 a +b

? ? ? ? ?

∴椭圆方程为 +y =1. 3 (2)假若存在这样的 k 值,由?
2 2

x2

2

? ?y=kx+2,
2 2

?x +3y -3=0, ?



(1+3k )x +12kx+9=0. 2 2 ∴Δ =(12k) -36(1+3k )>0.① 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 12k x1+x2=- 2, 1+3k 则 ② 9 x1?x2= . 2 1+3k 2 而 y1?y2=(kx1+2)(kx2+2)=k x1x2+2k(x1+x2)+4.

? ? ? ? ?

要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0),当且仅当 CE⊥DE 时,则 即 y1y2+(x1+1)(x2+1)=0. 2 ∴(k +1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0.③ 7 7 将②式代入③整理解得 k= .经验证 k= 使①成立. 6 6 7 综上可知,存在 k= ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6

y1 y2 ? =-1. x1+1 x2+1

13