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圆锥曲线的统一性质


圆锥曲线的统一性质: 石家庄第一中学 1. 第二定义的统一性 圆的准线在 ? , e ? 0 . 2. 极坐标方程的统一性 3. 曲线上一点光学性质的统一性

冯伟冀

20. 21. 22.

圆锥曲线通径长统一为定值 2ep

椭圆:点光源在一个焦点上,光线通过另一个焦点。 双曲线:点光源在一个焦点上,反射光线与另一焦点到反射点的连线在 同一条直线上。 抛物线:点光源在焦点上,反射光线相互平行且垂直于准线。具体应用: 探照灯 4. 一般弦长公式具有统一性 5. 过焦点弦长公式具有统一性 6. 过曲线上一点切线方程的统一性 7. 直径所对周角之斜率乘积的统一性 8. 焦点弦端点切线的交点轨迹的统一性 9. 过焦点且和焦点弦垂直的的直线和焦点弦端点切线的关系统一性 10. 过非等轴双曲线曲线上一点做互相垂直弦共有的性质 11. 过曲线上一点做倾斜角互补直线所成弦而具有共有的性质 12. 内部焦点弦被焦点分成两个焦半径倒数和为定值 13. 圆锥曲线内部外部点代入方程后不等式符号的统一性 14. 过同一焦点两任意焦点弦 AB 和 CD,AC 和 BD 交点轨迹统一 15. 任意一弦 BA 延长交准线于 E,则 FE 平分 BFA 外角 16. 任意一弦 BA 延长交准线于 E,则 FE 平分 BFA 外角,又任意一弦 AN 延长 交准线于 Q,则 FQ 平分 BFA 外角后得到 EFQ 是直角 17. 过一个焦点交圆锥曲线于 MN,做 MN 的垂直平分线交轴与 P 则离心率等于 2PF/MN 18. 二次曲线和二次曲线交于两点 AB,联立两方程消 X 得 H (Y ) ? 0 ,消 Y 得
G( X ) ? 0 则 AB 为端点的圆的方程就是 G( X ) ? H (Y ) ? 0 (必须先保证 X 和 Y

利用统一的圆锥曲线方程中判别式可以判断曲线类型 F 是焦点,E 是 F 对应准线 L 和轴交点 AD 垂直 L,BC 垂直 L 则有 BD、AC 同时平分线段 EF(一组关系) 23. F 是焦点,E 是 F 对应准线 L 和轴交点 AB 是过焦点 F 的弦,BC 平行 FE,N 是线段 EF 的中点,则 BC 和 AN 交点 C 在准线 L 上 24 F 是焦点,E 是 F 对应准线 L 和轴交点,B 是圆锥曲线上一点,C 在 L 上,BC 平行 FE,N 是线段 EF 中点,则直线 BF 和 CN 的交点 A 恰在圆锥曲线上 25 过圆锥曲线准线 L 上一点做圆锥曲线的两条切线 MA、MB 则切点弦必过焦点 F 且和 MF 垂直(一组关系) 25 F 是焦点,过曲线上一点 P 的切线与相应于焦点 F 的准线交于 Q,则 PFQ 是直角 26 点 P 在圆锥曲线上时过 P 的切线方程和点 P 不在曲线上的切点弦方程一致 27 截圆锥得到圆锥曲线的统一性:用垂直与锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆; 把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线; 当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”,把双曲 线叫做“超曲线”,把抛物线叫做“齐曲线”。 28 焦点关于切线的对称点的轨迹统一性问题 29 过圆锥曲线外一点做和圆锥曲线有一个公共点的直线的统一性问题 30 圆锥曲线的以焦点为圆心以 2a 为直径的特征大圆和以中心为圆点以 a 为 半径的特征小圆的统一性问题 31 从圆锥曲线外一定点 P 引两条切线 PA、PB,A、B 为切点,过圆锥曲线上的任一 点引切线交 PA、PB 于 C、D,则 ?CFD 是定值. 32 从圆锥曲线外准线上一点 P 引两条切线 PA、PB,A、B 为切点,过圆锥曲线上的 ? 任一点引切线交 PA、PB 于 C、D,则 ?CFD ? ,是定值. 2 33 AB 是圆锥曲线的(直径,长轴,实轴,轴),过 B 的直线 l ? AB ,点 D 是圆锥曲线上 除轴两端点外任意一点, 直线 AD 交直线 l 于点 E , C 是线段 BE 的中点, 点 那么 DC 是圆锥曲线的切线。(一组关系) 34 过圆锥曲线焦半径的端点作切线,与以轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦 点的连线必与切线垂直. 35 已知圆锥曲线 E 的焦点为 F,其对应准线为 L,L 与 F 所在的对称轴交于点 A,动弦 BC 平行于 L,直线 AB 与圆锥曲线 E 相交于 D,则 C,D,F 三点共线.

系数相同) 19. 若有弦 AB,AB 中点为 P( x.0 , y0 ) 则弦 AB 方程为

f ( x, y) ? f (2x0 ? x,2 y0 ? y) ? 0

36 自圆锥曲线的准线与对称轴的交点引这条圆锥曲线的切线 ,则切线斜率的平方 等于这条圆锥曲线离心率的平方 37 与圆类似,若点 A,P,B 均在圆锥曲线 C 上,则称∠APB 为曲线 C 的周角,弦 AB 为周 角∠APB 所对的弦.在文[1 ]中,已有结论:“圆锥曲线中,当 k PA. k PB=- 1 ,则直周角所 对的弦恒经过定点,且该定点恰在经过直周角顶点的法线上 38 椭圆、双曲线和抛物线关于切线和法线的一条性质,现统一表述如下:图 1 定理(如 图 1)设 P 为圆锥曲线上的任一点(非顶点),e 为离心率,F 为焦点,l 是过 P 的切线,法线 PM 交 x 轴于 M,∠FPM=θ,l 的倾斜角为 α,(1)|FM|=e|PM|;(2)sinθ=e|cosα|. 39 设圆锥曲线的一条准线与对称轴的交点为 A,其相应的通径的一个端点为 B,则 直线 AB 一定与该圆锥曲线相切 40 圆锥曲线的任意一条切线与两条定切线分别相交,则两交点与该圆锥曲图 1 定理 1 图线的同一个焦点连线的夹角为定角


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