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江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试理数试题Word版含答案.doc


数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 1. 已知集合 A ? x | x ? x ? 2 ? 0, x ? R , B ? x | lg ? x ? 1? ? 1, x ? Z ,则 A ? B ?

?

?

?

?



) B. ? 0, 2? C. ?0, 2? D. ?0,1, 2? )

A. ? 0, 2 ?

2. 复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? i ,则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于( A.第一象限 B.第二象限
x

C.第三象限 )

D.第四象限

3. 命题“存在 x0 ? R, 2 0 ? 0 ”的否定是 ( A.不存在 x0 ? R, 2 0 ? 0
x

B.对任意的 x0 ? R, 2 0 ? 0
x

C.对任意的 x0 ? R, 2 0 ? 0
x

D.存在 x0 ? R, 2 0 ? 0
x

4. “ a ? ?2 ”是“直线 l1 : ax ? y ? 3 ? 0 与 l2 : 2x ? ? a ?1? y ? 4 ? 0 互相平行”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件



5. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著,约成书于公元 466-485 年间,其中 记载着这么一道题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同,已知 第一天织布 5 尺, 30 天共织布 390 尺,则该女子织布每天增加的尺数(不作近似计算)为 ( A. )

16 29

B.

16 27

C.

11 13


D.

13 29

6. 阅读如图所示的程序框图,则该算法的功能是 (

n ?1 A. 计算数列 2 前 5 项的和 n B.计算数列 2 ? 1 前 5 项的和 n ?1 C. 计算数列 2 前 6 项的和 n D.计算数列 2 ? 1 前 6 项的和

? ?

?

?

? ? ?

?

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? , z ? 2 x ? 2 y ? 1 ,则 z 的取值范围是 ( 7. 已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. ? ,5? ?3 ?



?5

?

B. ?0,5?

C.

?0,5?
??? ? ??? ? ??? ?

D. ? ,5 ? ?3 ?

?5

?
??? ?

8. ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1, 2 AO ? AB ? AC 且 OA ? AB ,则向量 AB 在 向量 BC 方向上的投影为 (

??? ?

??? ?

??? ?

) C. ?

A.

1 2

B.

3 2

3 2

D. ? )

1 2

9. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (

A. 3

B. 2

C.

4 3 3

D. 2 3

10. 已知点 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 右支上一点, F1 , F2 分别为双曲线的左、右焦点, I 为 16 9


?PF1F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? ?S?IF1F2 成立,则 ? 的值为 (

A.

5 8

B.

4 5

C.

4 3

D.

3 4

BCD 都是边长为 1 11. 三棱锥 A ? BCD 的外接球为球 O ,球 O 的直径是 AD ,且 ?ABC , ?
的等边三角形,则三棱锥 A ? BCD 的体积是 ( A. )

2 6

B.

2 12

C.

2 4

D.

3 12

12. 设函数 f ? x ? 是定义在 ? ??,0? 上的可导函数为 f ' ? x ? ,且有 3 f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 ,则 不等式

? x ? 2015?

3

f ? x ? 2015 ? ? 27 f ? ?3? ? 0 的解集 (
B. ? ??, ?2016? D. ? ??, ?2012? 第Ⅱ卷(共 90 分)



A. ? ?2018, ?2015? C.

? ?2016, ?2015?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知 a ?

?

e

1 e

1 ? a? dx ,则二项式 ?1 ? ? 的展开式中 x ?3 的系数为 __________. x ? x?
2

5

14. 直线 l 过抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 且与 C 相交于 A, B 两点,且 AB 的中点

M 的坐标为 ? 3, 2 ? ,则抛物线 C 的方程为 __________.
15. 已知函数 f ? x ? ? cos

a? x, a 等于拋掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数,则 3

y ? f ? x ? 在 ?0, 4? 上有偶数个零点的概率是 _________.
16. 在平面直角坐标系中,已知三个点列 ? An ? ,?Bn ? ,?Cn ? ,其中

??????? ????? ? An ? n, an ? , Bn ? n, bn ? , Cn ? n ?1,0? 满足向量 An An?1 与向量 BnCn 共线,且
bn?1 ? bn ? 6, a1 ? b1 ? 0 ,则 an ? _________.(用 n 表示)
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? 2 3 cos x ? 3 .

(1)求函数 f ? x ? 的单调减区间; (2)已知 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,其中 a ? 7 ,若锐角 A 满足

?A ?? f ? ? ? ? 3 ,且 sin B ? sin C ? 13 3 ,求 bc 的值. ?2 6? 14
18. (本小题满分 12 分)为了整顿食品的安全卫生,食品监督部门对某食品厂生产甲、乙 两种食品进行了检测调研, 检测某种有害微量元素的含量, 随机在两种食品中各抽取了 10 个 批次的食品,每个批次各随机地抽取了一件,下表是测量数据的茎叶图(单位: 毫克)

规定:当食品中的有害微量元素的含量在 ?0,10? 时为一等品,在 ?10,20? 为二等品, 20 以 上为劣质品. (1) 用分层抽样的方法在两组数据中各抽取 5 个数据, 再分别从这 5 个数据中各选取 2 个, 求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率; (2)每生产一件一等品盈利 50 元,二等品盈利 20 元,劣质品亏损 20 元,根据上表统计 得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率,分别估计这两种食品为一等品、二 等品、劣质品的概率. 若分别从甲、乙食品中各抽取 1 件, 设这两件食品给该厂带来的盈利 为 X ,求随机变量 X 的频率分布和数学期望. 19.

ABCD 是菱形,且 (本小题满分 12 分)在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面

AB ? A1 A1, ?A1 AB ? ?A1 AD ? 60? .
(1) 求证: 平面 A 1 BD ? 平面 A 1 AC ; (2)若 BD ? 2 A 1BD 与平面 B 1BD 所成角的大小. 1D ? 2 ,求平面 A

x2 y 2 20. (本小题满分 12 分)设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦点 F1 , F2 ,过右焦点 F2 的直 a b
线 l 与 C 相交于 P, Q 两点,若 ?PQF1 的周长为短轴长的 2 3 倍. (1)求 C 的离心率; (2) 设 l 的斜率为 1 , 在 C 上是否存在一点 M ,使得 OM ? 2OP ? OQ ?若存在, 求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? mx(m 为常数). (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)当 m ?

???? ?

??? ? ????

3 2 时,设 g ? x ? ? 2 f ? x ? ? x2 的两个极值点 x1, x2 , ? x1 ? x2 ? 恰为 2

?x ?x ? h ? x ? ? ln x ? cx2 ? bx 的零点,求 y ? ? x1 ? x2 ? h ' ? 1 2 ? 的最小值. ? 2 ?
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C1 ,直线 C2 的极 坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? cos ? ? ? (1) 求 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为

? ?

??

??2 2 . 4?

?x ? t3 ? a ? ? b 3 (t ? R 为,参数) 求 a , b 的值. ? y ? t ?1 ? 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ?1 . (1)若不等式 f ? x ?

? ?

1? ? ? 2m ? 1? m ? 0 ? 的解集为 ? ??, ?2? ? ?2, ??? ,求实数 m 的值 ; 2?
y

(2) 若不等式 f ? x ? ? 2 ? 值.

a ? 2 x ? 3 对任意的实数 x, y ? R 恒成立,求实数 a 的最小 2y

江西省吉安市第一中学 2017 届高三上学期期中考试 数学(理)试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5. DDBAA 6-10.CCDCB 11-12. BA

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

?80

14.

1 3

15. y 2 ? 4 x或y 2 ? 8x

2 ? 16. 3n ? 9n ? 6 n ? N

?

?
2

三、解答题 17.解: (1) f ? x ? ? 2sin x cos x ? 2 3 cos x ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

?, 3?

由正弦定理可得 2 R ?

a 7 14 b ? c 13 3 ,则 ? ? ,sin B ? sin C ? ? sin A 2R 14 3 3 2

b?c ?

13 3 14 ? ? 13 , 14 3
2

2 b2 ? c2 ? a 2 ? b ? c ? ? 2bc ? a 1 由余弦定理知 cos A ? ? ? ,整理,得 bc ? 40 . 2bc 2bc 2

18.解: (1)从甲中抽取的 5 个数据中,一等品有 4 ? 取 5 个数据中,一等品有 6 ?

5 ? 2 个,非一等品有 3 个,从乙中抽 10

5 ? 3 个,非一等品有 2 个,设“从甲中抽取 5 个数据中任取 2 10

个,一等品的个数为 i ” 为事件 Ai ?i ? 0,1,2? ,则

P ? A0 ? ?

1 1 2 C32 3 C2 C3 3 C2 1 ? , P A ? ? , P A ? ? 1? ? 2? 2 ? . 2 2 C5 10 C5 5 C5 10

设“从乙中抽取 5 个数据中任取 2 个,一等品的个数为 i ” 为事件 Bi ?i ? 0,1,2? ,则

P ? B0 ? ?

1 1 2 C2 C3 3 C32 3 C2 1 ? , P B ? ? , P B ? ? . ? ? ? ? 1 2 C52 10 C52 5 C52 10

? 甲的 一等品数与乙 的一等品数相等的概率为:
1 3 3 3 3 1 21 ? ? ? ? ? ? . 10 10 5 5 10 10 50 4 2 ? , (2)由题意,设“从甲中任取一件为一等品” 为事件 C1 ,则 P ? C1 ? ? 10 5 4 2 ? , 设“从甲中任取一件为二等品” 为事件 C2 ,则 P ? C2 ? ? 10 5 2 1 ? . 设“从甲中任取一件为劣质品” 为事件 C3 ,则 P ? C3 ? ? 10 5 6 3 ? , 设“从乙中任取一件为一等品” 为事件 D1 ,则 P ? D1 ? ? 10 5 2 1 ? , 设“从乙中任取一件为二等品” 为事件 D2 ,则 P ? D2 ? ? 10 5 2 1 ? . X 可取 设“从乙中任取一件为劣质品” 为事件 D3 ,则 P ? D3 ? ? 10 5 1 1 1 ?40,0,30, 40,70,100 P ? X ? ?40 ? ? P ? C3 ?D3 ? ? ? ? ., 5 5 25 1 1 2 1 3 2 1 1 3 1 P ? X ? 0 ? ? P ? C3 ?D2 ? C2 ?D3 ? ? ? ? ? ? , P ? X ? 30 ? ? P ? C1 ?D3 ? C3 ?D1 ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 25 5 5 5 5 5 2 1 2 2 1 2 3 8 P ? X ? 40 ? ? P ? C2 ?D2 ? ? ? ? , P ? X ? 70 ? ? P ? C1 ?D2 ? C2 ?D1 ? ? ? ? ? ? 5 5 25 5 5 5 5 25 P ? P ? A2 ?B2 ? ? P ? A1 ?B1 ? ? P ? A0 ?B0 ? ?
,

2 3 6 P ? X ? 100 ? ? P ? C1 ?D1 ? ? ? ? . 5 5 25
? X 的分布列为

X
P

?40

0

30

40

70

100

3 1 2 8 6 5 25 25 25 25 1 3 1 2 8 6 E ? X ? ? ?40 ? ? 0 ? ? 30 ? ? 40 ? ? 70 ? ? 100 ? ? 54 . 25 25 5 25 25 25
? 19.解: (1)因为 AA 1 AB 和 ?A 1 AD 均为正三 1 ? AB ? AD, ?A 1 AB ? ?A 1 AD ? 60 ,所以 ?A

1 25

角形,于是

B C D 是菱形, 设 AC 与 BD 的交点为 O , 则 AO 又A 所以 AC ? BD , A1B ? A1D , ? B D , 1
BD ? 平面 A1 AC ,而 BD ? 平面 A1BD ,故平面 A1BD ? 平面 而 AO 1 ? AC ? O ,所以

A1 AC .

(2)由 A1B ? A1D 及 BD ? 2 A 1B ? A 1D ,又由 1D ? 2 知 A

A1D ? AD, A1B ? AB, BD ? BD 得 ?A1BD ? ?ABD ,故 ?BAD ? 90? ,于是
AO ? A1O ? 1 2 BD ? AA1 ,从而 AO ? 底面 ABCD . ? AO ,结合 AO ? BD 得 AO 1 1 1 2 2

如图,建立空间直角坐标系,则

???? ???? ??? ? A ?1, 0, 0 ? , B ? 0,1, 0 ? , D ? 0, ?1, 0 ? , A1 ? 0, 0,1? , BB1 ? AA1 ? ? ?1, 0,1? , DB ? ? 0, 2, 0 ? ,设平面

? ??? ? ? ? ?n?BD ? 0 ? y ? 0 得? ,令 x ? 1 ,得 B1BD 的一个法向量为 n ? ? x, y , z ? ,由 ? ? ???? ? ?n?BB1 ? 0 ?? x ? z ? 0 ? ??? ? n ? ?1, 0,1? , CA ? ? 2, 0, 0 ? , 设 AB 设平面 A 1 D 平面的一个法向量为 1BD 设平与平面 B 1BD ? ??? ? n? CA 2 ? 所成角为 ? ,则 cos ? ? ? ??? ,故 ? ? 45 . ? ? 2 n ?CA
20.解: (1)?PQF1 的周长为 4 a , 依题意知 4a ? 4 3b , 即 a ? 3b, e ? 1 ? ? (2)设椭圆方程为 x ? 3 y ?
2 2

6 ?b? . ? ? 3 ?a?

2

3 2 c ,直线的方程为 y ? x ? c ,代入椭圆方程得 2

3 4 x 2 ? 6cx ? c 2 ? 0 , 2
设 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x 2 ? 由 OM ? 2OP ? OQ 得 ?

3 3 32 2 2 c12 , x x ? c 2 ,设 M ? x0 , y0 ? , 则 x0 ? 3 y0 ? c 2 8 2



???? ?

??? ? ????

? x0 ? 2 x1 ? x2 ,代入① 得 ? y0 ? 2 y1 ? y2

3 2 2 4 ? x12 ? 3 y12 ? ? x2 ? 3 y2 ? 4 ? x1 x2 ? 3 y1 y2 ? ? c 2 , 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 因为 x1 ? 3 y1 ? c , x2 ? 3 y2 ? c ,? c ? ? x1 x2 ? 3 y1 y2 ? ? 0 2 2 2



而 x1x2 ? 3 y1 y2 ? x1x2 ? 3? x1 ? c ?? x2 ? c ? ? 4x1x2 ? 3c ? x1 ? x2 ? ? 3c2 ? 0 ,从而 ②式不成 立. 故不存在点 M ,使 OM ? 2OP ? OQ 成立. 21.解: (1) f ' ? x ? ?

???? ?

??? ? ????

1 1 ? mx 1 ?m ? , x ? 0 ,当 m ? 0 时,由 1 ? mx ? 0 解得 x ? ,即当 x x m 1 1 1 0 ? x ? 时, f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增, 由 1 ? mx ? 0 解得 x ? ,即当 x ? 时, m m m 1 f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递减,当 m ? 0 时, f ' ? x ? ? ? 0 ,即 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,当 x
m ? 0 时, 1 ? mx ? 0 故 f ' ? x ? ? 0 , 即 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,所以当 m ? 0 时,f ? x ?

的单调递增区间为 ? 0, 增区间为 ? 0, ??? .

? ?

1? ?1 ? ? ,单调递减区间减区间为 ? , ?? ? ,当 m ? 0 时, f ? x ? 的单调递 m? ?m ?

(2)g ? x ? ? 2 f ? x ? ? x ? 2ln x ? 2mx ? x ,则 g ' ? x ? ?
2 2

2 ? x 2 ? mx ? 1? x

,所以 g ' ? x ? 的两根

x1 , x2 即为方程 x2 ? mx ? 1 ? 0 的两根. 因为 m ?

3 2 ,所以 2

? ? m2 ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? m, x1x2 ? 1 ,又因为 x1 ? x2 为 h ? x ? ? ln x ? cx2 ? bx 的零点,所以
2 ln x1 ? cx12 ? bx1 ? 0,ln x2 ? cx2 ? bx2 ? 0 ,两式相减得

x1 x2 x ? c ? x1 ? x2 ? ,而 ln 1 ? c ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? b ? x1 ? x2 ? ? 0 ,得 b ? x1 ? x2 x2 ln
h '? x? ?
所以

1 ? 2cx ? b , x

? 2 ? y ? ? x1 ? x2 ? ? ? c ? x1 ? x2 ? ? b ? ? x1 ? x2 ?

x ? ? ln 1 ? 2 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? c ? x1 ? x2 ? ? ? c ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ?
x1 ?1 2 ? x1 ? x2 ? x1 x2 x ? ? ln ? 2? ? ln 1 x x1 ? x2 x2 x2 1 ?1 x2


x1 t ?1 2 2 ? t ? 0 ? t ? 1? , y ? 2 ? ln t ,由 ? x1 ? x2 ? ? m 2 得 x12 ? x2 ? 2x1x2 ? m2 x2 t ?1
1 t
2

因为 x1 x2 ? 1 ,两边同时除以 x1 ? x2 ,得 t ? ? 2 ? m ,因为 m ?

1 5 3 2 ,故 t ? ? ,解得 t 2 2
2

? ? t ? 1? 1 1 t ?1 ? 0, t ? 或 t ? 2 ,所以 0 ? t ? ,设 G ? x ? ? 2? ? ln t ,所以 G ' ? t ? ? 2? 2 2 t ?1 t ? t ? 1?
则 y ? G ? t ? 在 ? 0, ? 上是减函数,所以 G ? t ?min ? G ? ? ? ? ? ln 2 ,即 2 2 3

? ?

1? ?

?1? ? ?

2

2 ?x ?x ? y ? ? x1 ? x2 ? h ' ? 1 2 ? 的最小值为 ? ? ln 2 . 3 ? 2 ?
2 22.解: (1)圆 C1 的直角坐标方程为 x ? ? y ? 2 ? ? 4 ,直线 C2 的直角坐标方程为 2

x ? y ? 4 ? 0 ,联立得

? x 2 ? ? y ? 2 ?2 ? 4 ? x1 ? 0 ? x2 ? 2 ?? ? ? ?? ? 得? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ? 4, ? , ? 2 2, ? . ? ? 4? ? 2? ? ? y1 ? 4 ? y2 ? 2 ? ?x ? y ? 4 ? 0
(2)由(1)可得, P, Q 的直角坐标为 ? 0,2? , ?1,3? ,故 PQ 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 , 由参数方程可得 y ?

b ab b ab x? ? 1 ,所以 ? 1, ? ? 1 ? 2 ,解得 a ? ?1, b ? 2 . 2 2 2 2

23.解: (1)由题意知,不等式 2x ? 2m ?1? m ? 0 ? 解集为 ? ??, ?2? ? ?2, ??? ,由

1 1 1 3 ? x ? m ? ,所以 ,由 m ? ? 2 ,解得 m ? . 2 2 2 2 a a y y (2)不等式 f ? x ? ? 2 ? y ? 2 x ? 3 等价于 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 ? y ,由题意知 2 2 a ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ?max ? 2 y ? 2 y , 因为 2x ?1 ? 2x ? 3 ? ?2x ?1??2 x ? 3 ? ? 4 ,所以

2x ? 2m ? 1得, ? m ?

2y ?

a ? 4 ,即 2y
max

y y y ? ? y ? a?? ? 2 ? 4 ? 2 ?? 对任意都 y ? R 成立,则 a ? ? 2 ? 4 ? 2 ??
2

.而

? 2y ? ?4 ? 2y ? ? y y ? ? 4 ,当且仅当 2 y ? 4 ? 2 y ,即 y ? 1 时等号成立,故 a ? 4 ,所 2 ?4 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ?
以实数 a 的最小值为 4 .


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