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高一数学苏教版必修一第三章3.3幂函数练习


3.3 幂函数练习
一、 填空题 α 1. 已知幂函数 f(x)=k· x 的图象过点(4,2),则 k+α=__________. 2. 已知二次函数 f(x)=2x2-mx+3.若 f(-4)=f(0),则 f(1)的值为________. 3. 设函数 f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6) 的值为________. 4. 若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该 函数的解析式是 f(x)=________. 5. 若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(4,0),且函数的最大值 为 9,则这个二次函数的表达式是__________. 1 ? ? α 6. 设 α∈?-1,0,2,1,2,3?,则使幂函数 f(x)=x 的图象分布在一、三象限,且在 ? ? (0,+∞)上为减函数的 α 取值个数为 __________个. 7. 若图象过点(1, 0)的二次函数 f(x)=ax2-4x+c 的值域为[0, +∞), 则 a=__________. x 2 8. 已知函数 f(x)=e -1 ,g(x)=-x +4x-3,若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为 ________. 9. 设函数 f(x)=|x|x+bx+c,则下列命题中是真命题的有________.(填序号) ① 当 b>0 时,函数 f(x)在 R 上是单调增函数; ② 当 b<0 时,函数 f(x)在 R 上有最小值; ③ 函数 f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④ 方程 f(x)=0 可能有三个实数根. 2 ? ?ax -2x-1,x≥0, 10. 已知函数 f(x)=? 2 是偶函数,直线 y=t 与函数 y=f(x)的图象自 ?x +bx+c,x<0 ? 左向右依次交于四个不同点 A,B,C,D.若 AB=BC,则实数 t 的值为____________. 二、 解答题 11. 已知函数 f(x)=x2+a,x∈R. x1+x2? 1 (1) 对任意 x1,x2∈R,比较 [f(x1)+f(x2)]与 f? 2 ? 2 ?的大小; (2) 若 x∈[-1,1]时,有|f(x)|≤1,求实数 a 的取值范围.

12 已知函数 h(x)=(m2-5m+1)xm 1 为幂函数,且为奇函数. (1) 求 m 的值; 1? (2) 求函数 g(x)=h(x)+ 1-2h(x)在 x∈? ?0,2?上的值域.


13 已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=-2x+1,且 f(2)=15. (1)求函数 f(x)的解析式; (2) 令 g(x)=(2-2m)x-f(x). ① 若函数 g(x)在 x∈[0,2]上是单调函数,求实数 m 的取值范围; ② 求函数 g(x)在 x∈[0,2]上的最小值.

1. 3 = . 2

3 2

1 α 解析:由幂函数的定义知 k=1.又 f(4)=2,所以 4 =2,解得 α= ,从而 k+α 2 m =-2,∴ m 4

2. 13 解析:∵ f(-4)=f(0),∴ f(x)图象的对称轴为直线 x=-2,∴

=-8,即 f(x)=2x2+8x+3,∴ f(1)=2+8+3=13. 3. 112 解析: 令 f(x)≤0, 得 3≤x≤20.∴ 当 3≤x≤20 时, g(x)=f(x)+|f(x)|=0, ∴ g(3) =g(4)=g(5)=g(6)=0. ∴ g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)=g(1)+g(2)=2f(1)+2f(2)=112. 4. -2x2+4 解析:f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2, a≠0, ? 2 ? ? ?2a =4, ? ab + 2a = 0 , 由已知条件 ab+2a=0.又 f(x)的值域为(-∞,4],则? 所以 因此 ?b=-2, ? 2 ? ?2a =4, f(x)=-2x2+4. 5. y=-x2+2x+8 解析:设 y=a(x+2)(x-4),对称轴方程为 x=1, 当 x=1 时,ymax=-9a=9,∴ a=-1, ∴ y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8. 6. 1 解析:只有 α=-1 适合题意. 7. 2 解析:由题意抛物线的对称轴方程是 x=1,所以 a=2. 8. (2- 2,2+ 2) 解析:易知 f(a)=ea-1>-1,由 f(a)=g(b),得 g(b)=-b2+4b- 3>-1,解得 2- 2<b<2+ 2. 9. ①③④ 解析:由于函数的单调性与常数项无关,所以可取 c=0,此时 f(x)=|x|x+ bx(b>0)是奇函数,且在[0,+∞)上显然是增函数,即知①正确;取 b<0,c=0,结合图象 即知②错误,④正确;由于 y=|x|x+bx 是奇函数,其图象关于原点(0,0)对称,所以 f(x) 的 图象关于点(0,c)对称,所以③正确. 7 10. - 解析:由偶函数的性质得 a=1,b=2,c=-1,故 f(x)=|x|2-2|x|-1.由题意 4 ?xD=3xC, ? 1?2 1 1 7 知? 所以 xC= ,则 t=? -2× -1=- . 2 ? ? 2 2 4 ? x + x = 2 , ? C D x1+x2? 1 1 2 11. 解:(1) ∵ 对任意 x1,x2∈R, [f(x1)+f(x2)]-f? 2 ? 2 ?=4(x1-x2) ≥0, x1+x2? 1 ∴ [f(x1)+f(x2)]≥f? 2 ? 2 ?. (2) 由|f(x)|≤1,得-1≤f(x)≤1, 即-1≤x2+a≤1, ?a≥(-x2-1)max,x∈[-1,1], ? 得? 2 ? ?a≤(-x +1)min,x∈[-1,1], 解得-1≤a≤0. + 12. 解:(1) ∵ 函数 h(x)=(m2-5m+1)xm 1 为幂函数,∴ m2-5m+1=1,解得 m=0 或 5. + 又 h(x)=(m2-5m+1)xm 1 为奇函数,∴ m=0. 1 1 1 (2) 由(1)知 g(x)=x+ 1-2x(x∈[0, ]),令 1-2x=t,则 y=- t2+t+ (t∈[0,1]). 2 2 2 1 1 又 y=- (t-1)2+1 在[0,1]是增函数,当 t=0 时,y 取最小值 ,当 t=1 时,y 取最大 2 2 值 1. 1? ?1 ? ∴ g(x)=h(x)+ 1-2h(x)在 x∈? ?0,2?上的值域是?2,1?. 13. 解:(1) 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b=-2x+1,

∴ 2a=-2,a+b=1,∴ a=-1,b=2. 又 f(2)=15,∴ c=15. ∴ f(x)=-x2+2x+15. (2) ① ∵ f(x)=-x2+2x+15, ∴ g(x)=(2-2m)x-f(x)=x2-2mx-15. 又 g(x)在 x∈[0,2]上是单调函数,∴ 对称轴 x=m 在区间[0,2]的左侧或右侧,∴ m ≤0 或 m≥2. ② g(x)=x2-2mx-15,x∈[0,2],对称轴 x=m, 当 m>2 时,g(x)min=g(2)=4-4m-15=-4m-11; 当 m<0 时,g(x)min=g(0)=-15; 当 0≤m≤2 时,g(x)min=g(m)=m2-2m2-15=-m2-15. ?-4m-11,m>2, 综上所述,g(x)min=?-15,m<0,

?

? ?-m2-15,0≤m≤2.


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