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抽象函数常见题型解法[1]


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※ 抽 象 函 数常见题型解法

因为敬业所以卓越

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例 1.若函数 y = f(x)的定义域是[-2,2],则函数 y = f(x+1)+f(x-1)的定义域为 。 ? 练习:已知函数 f(x)的定义域是 ?? 1,2? ,求函数 f ? ? log1 ?3 ? x ?? 的定义域。 ? ? 2 ? ? 例 2:已知函数 f ?log3 x ? 的定义域为[3,11],求函数 f(x)的定义域 。
-1 -1

练习:定义在 ?3,8? 上的函数 f(x)的值域为 ?? 2,2? ,若它的反函数为 f (x),则 y=f (2-3x)的定义域为 ,值域为 。

二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。
例 3.①对任意实数 x,y,均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2012)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值,一般从找周期或递推式着手: ②R 上的奇函数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x),由 y=f(x+1)与 y=f-1(x+2)互为反函数,则 f(2012)= 练习: 1. f(x)的定义域为 (0, ??) ,对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ,则 f ( 2) ? 2. 如果f ( x ? y) ? f ( x) f ( y),且f (1) ? 2, 则

.

f (2) f (4) f (6) f (2012) ? ? ?? ? 的值是 f (1) f (3) f (5) f (2011 )



3、对任意整数 x, y 函数 y ? f ( x) 满足: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ? 1,若 f (1) ? 1 ,则 f (?8) ? C A.-1 B.1 C. 19 D. 43 )

4、函数 f(x)为 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,若 f (1) ? 2 ,则 f (2005) =( A . 2005 B. 2 C.1 D.0
6、已知a为实数,且0 ? a ? 1, f ( x)是定义在[0, 1] 上的函数,满足 f (0) ? 0, f (1) ? 1, 对所有x ? y, 均有f ( x? y ) ? (1 ? a) f ( x) ? af ( y ) 2 1 (1)求a的值(2)求f ( )的值 7

三、解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法)
例 5、.已知 f(x)是多项式函数,且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).
x ?1? 例 6 设对满足 x≠0,x≠1 的所有实数 x,函数 f(x)满足, f ?x ? ? f ? ? ? ? 1 ? x ,求 f(x)的解析式。 ? x ?

练习:1、 设y ? f (x)是实数函数 (即x, f (x)为实数), 且f (x) ? 2f ( ) ? x, 求证:| f (x) |? 2.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (Ⅰ)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析表达式。 3、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0, (1)求 f (0) 的值;
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1 x

2 2. 3

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(2)对任意的 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) ,都有 f(x1)+2<logax2 成立时,求 a 的取值范围.

四、单调性问题

(抽象函数的单调性多用定义法解决)

例 10.设函数 f(x)对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2,求 f(x) 在[-3,3]上的最大值和最小值. 练习:设 f(x)定义于实数集上,当 x>0 时,f(x)>1,且对于任意实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y), 求证: f(x)在 R 上为增函数。 例 11、已知偶函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数,对定义域内的任意 x1,x2 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 ,
(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 练习:已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-

1 1 )=0,当 x>- 2 2

时,f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数; 例 12、定义在 R+上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围. 练习 1、 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R, 有 f(a+b)=f(a)·f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数;(4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围. 练习 2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a,b,当 a+b≠0,都有 f ( a ) ? f (b ) >0
a?b

(1).若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2).若 f(k? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2)<0 对 x∈ [-1,1]恒成立,求实数 k 的取值范围。 练习 3、已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)≠0,当 x>1 时,f(x)<1. 试判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.

练习 5、奇函数f ( x)在(??,0)上单调递减,且 f (2) ? 0,则( x ? 1) f ( x ? 1) ? 0的解集为 ( A、 (?2,?1) ? (1,2) B、 (?3,1) ? (2, ? ?) ??C、 (?3,?1) D、 (?2,0) ? (2, ? ?)

)

五、奇偶性问题
例 13. (1)已知函数 f(x)(x≠0 的实数)对任意不等于零的实数 x、y 都有 f(x﹒y)=f(x)+f(y),试判断 函数 f(x)的奇偶性。 (2)已知 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是( ) A.x=1 B.x=2 C.x=-

1 2

D.x=

1 2

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f ( x) f ( y ) ? 1 , (2) 存在正常数 a, f ( y ) ? f ( x)

例 14:已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 ?1? f ( x ? y ) ? 使 f(a)=1.求证:f(x)是奇函数。

例 15:设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??,0) 上是增函数,又 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) 。 求实数 a 的取值范围。 例 16:定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.
x x x

练习:1、已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的函数 a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论; (3)若 f(2)=2,un=f(2n) (n∈N*),求证:un+1>un (n∈N*).

2、已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有 (1)判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结论; (2)解不等式:f(x+

f ( a ) ? f (b ) >0. a?b

1 1 )<f( ); 2 x ?1

(3)若 f(x)≤m2-2pm+1 对所有 x∈[-1,1],p∈[-1,1](p 是常数)恒成立,求实数 m 的取值范围.

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