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2017届湖南省高十三校联考第一次考试数学试题(理)含答案


湖南省 2017 届高三· 十三校联考

第一次考试

理科数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的. 1. 已知集合 A ? x ? Z | x ? 1 ? 3 , B ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? B ? ( A. ? ?2,1? B. ?1, 4 ? C. ?2,3?

?

?

?

?

) D. ??1, 0? )

2. 记复数 z 的共轭复数为 z ,若 z ?1 ? i ? ? 2i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模 z ? ( A. 2 3. 在等差数列 ?an ? 中, a9 ? A. 24 B.1 C. 2 2 D.2 ) D. 132

1 a12 ? 3 ,则数列 ?an ? 的前 11 项和 S11 ? ( 2
B.48 C.66

4. 已知 ? x ? 表示不超过实数 x 的最大整数, g ? x ? ? ? x ? 为取整函数, x0 是函数 f ? x ? ? ln x ?

2 的零点,则 x

g ? x0 ? 等于(
A. 1

) B. 2 C. 3 D.4

5. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得 2 分,未击中目标得 0 分. 若甲、乙两人射击的命中率分别为 两人射击互不影响,则 P 值为 ( A.

3 9 和 P ,且甲、乙两人各射击一次得分之和为 2 的概率为 .假设甲、乙 5 20


3 5

B.

4 5

C.

3 4

D.

1 4


6. 如下图,是一个算法流程图,当输入的 x ? 5 时,那么运行算法流程图输出的结果是(


开始

输入 x

n=0,i=1

i<6?


n=n+2
输出 x

x=x+n +2
结束

i=i+1

A. 10
9

B.20

C. 25 ) C. ?

D.35

1 ? ? 3 7. 二项式 ? x ? ? 展开式中, x 项的系数为( 2x ? ?
A. ?

5 2
2

B.

5 2

21 2

D.

21 2

8. 设 F 为抛物线 C : y ? 2 px 的焦点,过 F 且倾斜角为 60° 的直线交曲线 C 于 A, B 两点( B 点在第一象限, , O 为坐标原点,过 A 作 C 的准线的垂线,垂足为 M ,则 OB 与 OM 的比为( A 点在第四象限) A. )

3

B.2

C. 3
1

D.4

9. 已知函数 f ? x ? 的定义域为 R ,且 f ? 2 ? ? 2 ,又函数 f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图象如图所示,若两个 正数 a、b 满足 f ? 2a ? b ? ? 2 ,则 A. ?

b?2 的取值范围是( a?2
2? ? ? ? 2, ?? ? 3? 2? 3?



y

?2 ? ,2? ?3 ?

B. ? ??,

? ?

C.

? 2, ?? ?

D. ? ??, ?

? ?

O

x

10. 已知正 ?ABC 内接于半径为 2 的圆 O ,点 P 是圆 O 上的一个动点,则 PA?PB 的取值范围是( A. ? 0, 6? B. ? ?2, 6? C.

??? ? ??? ?



?0, 2?

D. ? ?2, 2?

11. 三棱锥 S ? ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则该三棱锥 S ? ABC 的外接球的表面积为 ( ) S 4 A B A. 32? C
2 3

2 2 正视图 B.

侧视图 C.

112 ? 3

28 ? 3

D.

64 ? 3

2 12. 设函数 f ? x ? 是定义在 ? ??, 0 ? 上的可导函数,其导函数为 f ? ? x ? ,且有 xf ? ? x ? ? x ? 3 f ? x ? ,则不等

式 8 f ? x ? 2014 ? ? ? x ? 2014 ? f ? ?2 ? ? 0 的解集为(
3



A. ? ??, ?2016 ? C.

B. ? ?2018, ?2016 ? D. ? ??, ?2018 ?

? ?2018, 0 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上
13. 函数 f ? x ? ? 3 cos ? 3 x ? ? ? ? sin ? 3 x ? ? ? 是奇函数,则 tan ? 等于 .

14. 已知边长为 2 的正方形 ABCD 的四个顶点在球 O 的球面上,球 O 的体积为 V球 ? 面 ABCD 所成的角的余弦值为 15. 双曲线 E : .

160 5? ,则 OA 与平 3

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1、F2 , P 是 E 左支上一点,且 PF1 ? F1 F2 , a 2 b2
2 2 2

直线 PF2 与圆 x ? y ? a 相切,则 E 的离心率为 16. 已知函数 f ? x ? ? x 2 cos



?x
2

,数列 ?an ? 中,an ? f ? n ? ? f ? n ? 1? n ? N * ,则数列 ?an ? 的前 100 项之
2

?

?

和 S100 ?



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、 (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足

sin A ? sin B ? ? sin C 。 ?cos A ? cos ?? ? B ? ? ??
(1)试判断 ?ABC 的形状,并说明理由; (2)若 a ? b ? c ? 1 ? 2 ,试求 ?ABC 面积的最大值.

18、 (本小题满分 12 分)为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画 出了频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为 1:2:3,其中第 2 组的频数为 12.
频率 组距

0.037

0.013

O

50

55

60

65

70

75

体重

(1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人, 设 X 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 X 的分布列和数学期望.

19、 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? AA1 ? 2, AB ? BC ? 2 2 ,?AA1C1 ? 600 , 平面 ABC1 ? 平面 AA1C1C , AC1 与 A1C 相交于点 D .

(1)求证: BC1 ? 平面 AA1C1C ; (2)求二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值.

3

x2 y 2 20、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 上的点到右焦点 F 的最小距离是 2 ? 1 , F 到上 a b
顶点的距离为 2 ,点 C ? m, 0 ? 是线段 OF 上的一个动点. (1)求椭圆的方程; (2)是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,使得 CA ? CB ? BA ?并说明理由.

?

??? ? ??? ?

?

??? ?

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? a ln x ? a ? 0 ? .
2

(1)当 a ? 2 时,试求函数图像过点 1, f ?1? 的切线方程; (2)当 a ? 1 时,若关于 x 的方程 f ? x ? ? x ? b 有唯一实数解,试求实数 b 的取值范围; (3)若函数 f ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ? x1 ? x2 ? ,且不等式 f ? x1 ? ? m?x2 恒成立,试求实数 m 的取值范围.

?

?

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 xOy 中,过点 P ? ?1, ?2 ? 的直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t cos 450 ? y ? ?2 ? t sin 45
0

( t 为参数) ,以原

sin ? ?tan ? ? 2a ? a ? 0 ? ,直线 点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

l 与曲线 C 相交于不同的两点 M , N .
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若 PM ? MN ,求实数 a 的值.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 3 x ? 1 ? ax ? 3 . (1)若 a ? 1 ,解不等式 f ? x ? ? 4 ; (2)若 f ? x ? 有最小值,求实数 a 的取值范围.

4

湖南省 2017 届高三· 十三校联考
一、选择题 1-5: DACBC 二、填空题 13. ? 3 三、解答题

第一次考试

理科数学参考答案
6-10: DCCAB 11、12:BA

14.

10 10

15.

5 3

16. 10200

17.【解析 1】 (1)∵ sin A ? sin B ? ? cos A ? cos B ? sin C , 由正、余弦定理,得 a ? b ? ?

化简整理得: ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? ? a ? b ? c 2 , ∵ a ? b ? 0 ,所以 a ? b ? c 2 ,故 ?ABC 为直角三角形,且 ?C ? 900 ;
2 2

?

? b2 ? c2 ? a 2 c2 ? a 2 ? b2 ? ? ??c , 2bc 2ca ? ?

?

(2)∵ a ? b ? c ? 1 ? 2, a 2 ? b 2 ? c 2 ,

∴ 1 ? 2 ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? 2 ab ? 2ab ? 2 ? 2 当且仅当 a ? b 时,上式等号成立,∴ ab ?
2

?

?

ab ,

2 . 2

1 1 ? 2? 1 1 故 S ?ABC ? ab ? ? ? ? ,即 S ?ABC 面积的最大值为 . ? ? ? 4 2 2 ? 2 ? 4 【解析 2】 (1)由已知: sin A ? sin B ? ? cos A ? cos B ? sin C ,
又∵ sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ,

sin A ? sin ? B ? C ? ? sin B cos C ? cos B sin C ,∴ ? sin A ? sin B ? cos C ? 0 ,
而 0 ? A、B、C ? ? ,∴ sin A ? sin B ? 0 ,∴ cos C ? 0 , 故 C ? 900 ,∴ ?ABC 为直角三角形. (2)由(1) C ? 900 ,∴ a ? c sin A, b ? c cos A . ∵ a ? b ? c ? 1 ? 2 ,∴ c ? ∴ S ?ABC

1? 2 , 1 ? sin A ? cos A
2

? 1 1 1? 1? 2 ? ab ? c 2 sin A cos A ? ? sin A cos A , ? ? ? ? 2 2 2 ? 1 ? sin A ? cos A ? ?

令 sin A ? cos A ? t ,∵ 0 ? A ?
2

?

2

,∴ 1 ? t ?

2,

∴ S ?ABC

1 ? 1 ? 2 ? t 2 ?1 3 ? 2 2 t ?1 3 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ?. ? 2? 2 4 t ?1 4 ? t ?1 ? ? 1? t ?

3? 2 2 ? 2 ? ? ?1 ? ? 在 1, 2 ? ? 上单调递增, 4 t ? 1 ? ? 1 ∴ ? S ?ABC ?max ? f 2 ? . 4
而 f ?t ? ?

?

? ?

18.【解析】 (1)设该校报考飞行员的人数为 n ,前三小组的频率分别为 p1 , p2 , p3 ,

p2 ? 2 p1 ? ? 则由条件可得: ? , p3 ? 3 p1 ? p ? p ? p ? ? 0.037 ? 0.013? ? 5 ? 1 2 3 ? 1
5

解得, p1 ? 0.125, p2 ? 0.25, p3 ? 0.375 , 又因为 p2 ? 0.25 ?

12 ,故 n ? 48 . 所以该校报考飞行员的人数为 48 人. n

(2)由(1)可得,估计抽到一个报考学生的体重超过 60 公斤的概率为 P ? 1 ? 0.75 ?
k 依题有 X ? B ? 3, ? ,故 P ? X ? k ? ? C3 ? ? ? ?

1? 2 5 ? ; 6 8

? 5? ? 8?

?5? ? 3? ?8? ?8?

k

3? k

, k ? 0,1, 2,3 .

∴随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

27 135 225 125 512 512 512 512 27 135 225 125 15 5 15 则 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? ,或 EX ? np ? 3 ? ? . 512 512 512 512 8 8 8
P
19.【解析】 (1)证明:设 AC 的中点为 M ,连 BM 、C1M . ∵ AC ? AA1 ? 2, ?AA1C1 ? 600 , ∴四边形 AA1C1C 为菱形,且 ?ACC1 为正三角形,∴ C1M ? AC . ∵ AB ? BC ? 2 2 ,∴ BM ? AC . 而 BM ? C1M ? M ,∴ AC ? 平面 BC1M ,∴ AC ? BC1 . ∵四边形 AA1C1C 为菱形,则有 CD ? AC1 , 又平面 ABC1 ? 平面 AA1C1C ,平面 ABC1 ? 平面 AA1C1C ? AC1 , ∴ CD ? 平面 ABC1 ,∴ CD ? BC1 , 又∵ AC ? CD ? C ,∴ BC1 ? 平面 AA1C1C . (2)

如图,∵ AC ? C1M ,∴ A1C1 ? C1M , 以 C1 为原点,以 C1 A1、C1M 、C1 B 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, ∵ AC ? AA1 ? 2, ?AA1C1 ? 60 , AB ? BC ? 2 2 ,∴ BC1 ? 2 .
0

从而,有 A 1, 3, 0 , M 0, 3, 0 , B ? 0, 0, 2 ? , A1 ? 2, 0, 0 ? , C ?1, 3, 0 .

???? ? ???? ? ∴ AM ? ? ?1, 0, 0 ? , BM ? 0, 3, ?2 . ? 设面 ABC 的法向量为 n ? ? x, y,1? , ???? ? ? ? 2 ? ? n?AM ? ? x ? 0 ? n ? ? 0, ,1? , 则 ? ???? ? 3 ? ? ? ?n?BM ? 3 y ? 2 ? 0 ???? 又面 ABC1 的法向量为 A1C ? ?3, 3, 0 ,

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

设二面角 C1 ? AB ? C 的大小为 ? ,由图知 ? 为锐角,

???? n?A1C 7 则 cos ? ? cos n, A1C ? . ? n ? A1C 7

6

20.【解析】 (1)由题意可知 a ? c ? ∴椭圆的方程为

2 ? 1 ,且 c 2 ? b 2 ? 2 ,解得 a ? 2, b ? c ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1. 2 (2)由(1)得 F ?1, 0 ? ,所以 0 ? m ? 1 .
假设存在满足题意的直线 l ,设 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,

x2 代入 ? y 2 ? 1 ,得 ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 2 4k 2 2k 2 ? 2 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ,① , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ?2k ∴ y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? , 2k 2 ? 1 ??? ? ??? ? ? 4k 2 ?2k ? ? 2 m, 2 ? . ∴ CA ? CB ? ? x1 ? m, y1 ? ? ? x2 ? m, y2 ? ? ? 2 2k ? 1 ? ? 2k ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ∵ CA ? CB ? AB ,且 AB 的方向向量为 ?1, k ? ,

?

?

4k 2 ?2k ? 2m ? 2 ? k ? 0 ? ?1 ? 2m ? k 2 ? m , 2 2k ? 1 2k ? 1 m 1 ① 当 0 ? m ? 时, k ? ? ,即存在这样的直线 l ; 1 ? 2m 2 1 ②当 ? m ? 1 时, k 不存在,即不存在这样的直线 l . 2
∴ 21.【解析】 (1)当 a ? 2 时,有 f ? x ? ? x ? 2 x ? 2 ln x .
2
2 2 2 ? x ? x ? 1? ∵ f ? ? x ? ? 2x ? 2 ? ? ,∴ f ? ?1? ? 2 , x x ∴过点 ?1, f ?1? ? 的切线方程为: y ? 1 ? 2 ? x ? 1? , 即 2x ? y ? 3 ? 0 .

(2)当 a ? 1 时,有 f ? x ? ? x ? 2 x ? ln x ,其定义域为: ? x | x ? 0? ,
2

从而方程 f ? x ? ? x ? b 可化为: b ? x 2 ? 3 x ? ln x ,

1 2 x 2 ? 3x ? 1 ? , x x 1 1 由 g? ? x ? ? 0 ? x ? 1或 0 ? x ? ; g? ? x ? ? 0 ? ? x ? 1 . 2 2 ? 1? ?1 ? ∴ g ? x ? 在 ? 0, ? 和 ?1, ?? ? 上单调递增,在 ? ,1? 上单调递减, ? 2? ?2 ? 5 ?1? 且 g ? ? ? ? ? ln 2, g ?1? ? ?2 , 4 ?2? 又当 x ? 0 时, g ? x ? ? ?? ;当 x ? ?? 时, g ? x ? ? ?? .
令 g ? x ? ? x ? 3 x ? ln x ,则 g ? ? x ? ? 2 x ? 3 ?
2

∵关于 x 的方程 b ? x 2 ? 3 x ? ln x 有唯一实数解, ∴实数 b 的取值范围是: b ? ?2 或 b ? ?

5 ? ln 2 . 4

(3)∵ f ? x ? 的定义域为: ? x | x ? 0? , f ? ? x ? ? 2 x ? 2 ? 令 f ? ? x? ? 0 ? 2x ? 2x ? a ? 0 .
2

a 2x2 ? 2x ? a ? . x x

又∵函数 f ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ? x1 ? x2 ? ,
7

∴ 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 有两个不等实数根 x1、x2 ? x1 ? x2 ? , ∴? ? 0? 0? a ? 从而 0 ? x1 ?

1 ,且 x1 ? x2 ? 1, a ? 2 x1 ? 2 x12 , 2

1 ? x2 ? 1 . 2

由不等式 f ? x1 ? ? m?x2 恒成立 ? m ?

2 2 f ? x1 ? x1 ? 2 x1 ? ? 2 x1 ? 2 x1 ? ln x1 1 ∵ ? ? ?1 ? x1 ? ? ? 2 x1 ln x1 , x2 x2 1 ? x1 1 1? ? 令 h ?t ? ? 1 ? t ? ? 2t ln t ? 0 ? t ? ? , 1? t 2? ? 1 1 ∴ h? ? t ? ? 1 ? ? 2 ln t ? 0 ,当 0 ? t ? 时恒成立, 2 2 ?1 ? t ?

f ? x1 ? x12 ? 2 x1 ? a ln x1 恒成立, ? x2 x2

1? 3 ?1? ? 上单调递减,∴ h ? t ? ? h ? ? ? ? ? ln 2 , 2? 2 ?2? 3 故实数 m 的取值范围是: m ? ? ? ln 2 . 2
∴函数 h ? t ? 在 ? 0, ( t 为参数) , 0 ? y ? ?2 ? t sin 45 ∴直线 l 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 2 2 ∵ ? sin ? tan ? ? 2a ,∴ ? sin ? ? 2a ? cos ? , ? x ? ? cos ? 2 由? 得曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 2ax . y ? ? sin ? ? 22.【解析】 (1)∵ ? (2)∵ y ? 2ax ,∴ x ? 0 ,
2

? ?

? x ? ?1 ? t cos 450

设直线 l 上的点 M , N 对应的参数分别是 t1 , t2 ? t1 ? 0, t2 ? 0 ? , 则 PM ? t1 , PN ? t2 , ∵ PM ? MN ,∴ PM ?

1 PN ,∴ t2 ? 2t1 , 2

? x ? ?1 ? t cos 450 2 2 将? ,代入 y ? 2ax ,得 t ? 2 2 ? a ? 2 ? t ? 4 ? a ? 2 ? ? 0 , 0 ? y ? ?2 ? t sin 45 ? 1 ?t ? t ? 2 2 ? a ? 2 ? ∴? 1 2 , 又∵ t2 ? 2t1 ,∴ a ? . 4 t2 ? 4 ? a ? 2 ? ? ? t1 ?
23.【解析】 (1) a ? 1 时, f ? x ? ? 3 x ? 1 ? x ? 3 ? 4 ,即 3 x ? 1 ? 1 ? x ,

1 ? 1? ,所以解集为 ? 0, ? . 2 ? 2? 1 ? 3 ? a ? x ? 2, x ? ? ? ? 3 (2)因为 f ? x ? ? ? , ?? a ? 3? x ? 4, x ? 1 ? 3 ? ?a ? 3 ? 0 所以 f ? x ? 有最小值的充要条件为 ? ,即 ?3 ? a ? 3 。 ?a ? 3 ? 0
x ? 1 ? 3 x ? 1? 1 ? x ,解得 0 ? x ?

8


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