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2015高考数学(文)二轮专题复习课件:专题四


随堂讲义· 第一部分

知识复习专题

专题四
第二讲







线性规划、基本不等式与不等式 的证明

预测2015年高考中一定有线性规划小题,利用不等式性

质与基本不等式的小题也一般情况都会考到,而基本不
等式也可能在大题中求最值问题中用到.但由于现有导 数方法研究函数最值问题,故直接利用基本不等式求最 值机会变小,但仍然有考到的可能,特别是在小题中可 能性很大.

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主干考 点梳理

考点1

线性规划问题

1 .设出变量 x , y ,列出变量 x , y 的线性约束条 件,确定目标函数.

2.作出可行域和目标函数值为0的直线l.
3.利用直线l确定最优解对应的点,从而求出最 优解.

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主干考 点梳理

考点2

基本不等式的应用问题
ab.

a+b 1.基本不等式: ≥ 2

a ,b>0 . (1)基本不等式成立的条件: ________ a=b 时取等号. (2)等号成立的条件:当且仅当 ________
(3)应用:两个正数的积为常数时,它们的和有最小值 ______.两个正

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最大值 . 数的和为常数时,它们的积有________
2.几个重要的不等式.

2ab (1)a2+b2≥________(a ,b∈R).
b a 2 (2) + ≥________( a 与 b 同号). a b

主干考 点梳理

1 1 2 -2 (3)a+a≥________( a>0),a+a≤__________( a<0).
?a+b?2 ? (a,b∈R). (4)ab≤ ? ? 2 ?

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主干考 点梳理

考点自测
2x+y≥4, ? ? 1.设 x,y 满足?x-y≥1, 则 z=x+y( ? ?x-2y≤2, A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值

B )

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主干考 点梳理

解析: 画出不等式表示的平面区域,如图,由z =x+y,得y=-x+z,令z=0,画出y=-x的图

象,当它的平行线经过A(2,0)时,z取得最小值,
最小值为z=2,无最大值.故选B.

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主干考 点梳理

2 2 2 . 2.若 x>0,则 x+x的最小值为________

解析:
2 2 ∵x>0?x+ ≥2 2,当且仅当 x= ?x= 2时取等号. x x

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主干考 点梳理
x+2y≤8, ? ? 3.(2014· 广东卷)若变量 x、y 满足约束条件?0≤x≤4, ? ?0≤y≤3, 则 z=2x+y 的最大值等于( C ) A. 7 B. 8 C.10 D.11

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主干考 点梳理

x+2y≤8, ? ? 解析:作出不等式组 ?0≤x≤4, 所表示的可行域 ? ?0≤y≤3, 如下图所示.

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主干考 点梳理 直线x=4交直线x+2y=8于点A(4,2),作直线 l:z=2x+y,则z为直线l在y轴上的截距,当直 线经过可行域上的点A时,直线l在y轴上的截距

最大,此时z取最大值,即zmax=2×4+2=10.
故选C.

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主干考 点梳理

4.(2014· 重庆卷)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a +b 的最小值是( D ) A.6+2 3 C.6+4 3 B.7+2 3 D.7+4 3

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主干考 点梳理

解析:
0,b>0.

由题意,ab>0,且 3a+4b>0,所以 a>

又 log4(3a+4b)=log2 ab,所以 3a+4b=ab, 4 3 所以 + =1. a b
?4 3? 4b 3a ? ? 所 以 a + b = (a + b) a+b = 7 + + ≥ 7 + a b ? ?

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2

4b 3a a · b =7+4 3,

4b 3a 当且仅当 a = b 时,等号成立.故选 D.

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高考热 点突破

突破点1

不等式正、误的辨别与大小比较问题

例 1(1)设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确 的是( C ) A.b-a>0 C.b+a>0 B.a3+b3<0 D.a2-b2<0

栏 栏 目 目 链 链 接 接

2 (2)已知 a> b> 0,且 ab= 1,设 c= , p= logca, m = a+b

p< m < n . logc(ab),n=logcb,则 m,n,p 的大小关系是________

高考热 点突破

思路点拨: (1)可以根据a-|b|>0去掉绝对值号得到
a与b的大小关系,从而作出判断,亦可以在a, b∈R的前提下取满足a-|b|>0的特殊实数a,b验

证.
(2)可以由已知先得到a,b,ab三者的大小关系,

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再判定c与1的大小关系,最后利用对数函数的单
调性比较大小.亦可以用特殊值法比较.

高考热 点突破

解析: (1)解法一 由 a-|b|>0,得 a>|b|,
∴-a<b<a,∴a+b>0 且 a-b>0, ∴b-a<0,A 错. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
?? b?2 3 ? =(a+b)??a- ? + b2 ?>0,∴B 错. 2? 4 ? ??

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而 a2-b2=(a-b)(a+b)>0,∴D 错.故选 C. 解法二(特殊值法) ∴取 a=2,b=-1. ∵a,b∈R 且 a-|b|>0,

高考热 点突破

则 b-a=-1-2=-3<0,∴A 错. a3+b3=8-1=7>0,∴B 错. a2-b2=22-(-1)2=3>0,∴D 错.故选 C. (2)解法一 ∵a>b>0 且 ab=1,

∴a>1,0<b<1. ∴a>ab>b>0, 2 2 又 0<c= = < 1 a+ b a+a 2 2 1 a·a = 1,

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高考热 点突破

∴y=logcx 在(0,+∞)为减函数,∴p<m<n. 解法二(特殊值法) ∵a>b>0 且 ab=1,

1 2 4 ∴取 a=2,b= .∴c= = <1, 2 a+b 5 1 p=log42<0,m=log41=0,n=log4 >0, 2 5 5 5 ∴p<m<n.

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高考热 点突破 规律方法

(1)判断不等式的正误,常利用不等式的性质、
基本不等式、函数的单调性和特殊值法、作差法

等.
(2)比较大小常利用:①函数的单调性法;②图 象法;③不等式的性质或基本不等式法;④作差法; ⑤特殊值法.

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高考热 点突破

? 跟踪训练
c c 1. 设 a>b>1, c<0, 给出下列三个结论: ①a>b; ②ac <bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是 ( D ) A.① C.②③ B.①② D.①②③

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高考热 点突破

c c 解析: 由 a>b>1,c<0 得a>b,故① 正确;由幂函数的单调性知: ac< bc,故 ② 正确;由对数函数的单调性知: logb(a -c)>loga(b-c),故③正确.故选 D.

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高考热 点突破

突破点2

线性规划问题

例2某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产 品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,

乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知
设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为 300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品 2 300 元. 140件,所需租赁费最少为________

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高考热 点突破 解析:设甲种设备需要生产x天, 乙种设备需要生 产y天, 该公司所需租赁费为z元,则z=200x+ 300y,甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况

如下表所示:
产品 设备 甲设备 乙设备 A类产 品 /件 5 6 B类产 品 /件 10 20 租赁 费 /元 200 300

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高考热 点突破

? ? ? 则满足的关系为?10x+20y≥140,即?x+2y≥14, ? ?x≥0,y≥0, ? ?x≥0,y≥0.
?5x+6y≥50,

6 x+ y≥10, 5

作出不等式表示的平面区域,当 z=200x+300y 对应的 6 直线过两直线 x+ y=10,x+2y=14 的交点(4,5)时,目标 5 函数 z=200x+300y 取得最小值,为 2 300 元. 误区警示:本题易由于画图不准,而将顶点确定错.

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高考热 点突破 规律方法 (1)线性规划问题一般有三种题型:一是求最值; 二是求区域面积;三是由最优解确定目标函数的字母系 数的取值范围. (2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意

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目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数达
到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图 一定要准确,整点问题要验证解决.

高考热 点突破

? 跟踪训练

2.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲
产品1桶需耗A原料1千克,B原料2千克;生产乙产品1桶 需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300 元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品 的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通 过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中, 公司共可获得的最大利润是( C ) A.1 800元 B.2 400元

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C.2 800元 D.3 100元

高考热 点突破

解析: 设公司每天生产甲种产品 x 桶,乙种产品 y 桶,公
司共可获得利润为 z 元,则由已知,得 z=300x+400y,

? ?2x+y≤12, 且? x≥0, ? ?y≥0,
x+2y≤12, 画可行域(如图所示),

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高考热 点突破
3 z 目标函数 z=300x+400y 可变形为 y=- x+ ,这 4 400 是随 z 变化的一组平行直线.
? ?2x+y=12, ? ?x=4, 解方程组? 得? 即 A(4,4). ? ?x+2y=12, ? ?y=4,

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∴zmax=300×4+400×4=2 800.

高考热 点突破

点评: 解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出 约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函 数变形式的平行线)、四求(求出最优解).

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高考热 点突破

突破点3

利用基本不等式求最值问题

例3下图所示的是自动通风设施,该设施的下 部ABCD是等腰梯形,其中AB=1米,梯形的高为 0.5米,CD=3米,上部CmD是个半圆,固定点E为

CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三
角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施 边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆.

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高考热 点突破

(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗
EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x). (2)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗 的通风面积最大?并求出这个最大面积.

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高考热 点突破

解析: (1)①当 0≤x<1时,由平面几何知识,得
2 MN-1 x = ,所以 MN = 2(3 - 1)x + 1 = 4x + 1 , S = f(x) = 1 3-1 2
?1 ? 1 1 1 ? ? - x ·MN· 2 =-2x2+ x+ . 2 2 4 ? ?

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1 1 ② 当 < x < 2 时 , S = f(x) = × 2 2 2
? 1? 9 ? 1?2 -?x- ? ×?x-2 ?, 4 ? 2? ? ?

? 1? 9 ? 1?2 ? ? ? - x- 2 × x- 2? = 4 ? ? ? ?

高考热 点突破
所以 S=f(x)=

? ? ? ? ?

? 1? 1 1 ? ?, 0 , -2x2+ x+ ,x∈ 2 2 4 ? ? ? ?1 ? 1?2 1? 9 ? -?x- 2? ×?x- 2?,x∈ ?2,2 ?. 4 ? ? ? ? ? ?

1 1 1 (2)①当 0≤x< 时,f(x)=-2x2+ x+ = 2 2 4
? 1?2 9 9 1 -2?x- 8? + ≤ ,当 x= 时,等号成立; 32 32 8 ? ?

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1 ②当 <x<2 时,f(x)= 2

9 ? 1?2 ? 1? -?x- ? ×?x-2 ?≤ 4 ? 2? ? ?

高考热 点突破
9 ? 1?2 ? 1?2 -?x- 2? +?x-2? 4 ? 9 9 ? 1?2 ? 1?2 ? ? ? = ,当 -?x- 2? =?x- 2? ,即 x 2 8 4 ? ? ? ? 2+3 2 = 时,等号成立. 4 2+ 3 2 9 所以当 x= 时,f(x)max= . 4 8 2+ 3 2 综上所述, 当 MN 与 AB 之间的距离为 x= 米时, 4 9 三角通风窗 EMN 的通风面积最大,最大面积为 平方米. 8

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高考热 点突破 规律方法 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、 拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条 件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定 值)、“等”(等号取得的条件)的条件,才能应用,否则

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会出现错误.而“定”条件往往是整个求解过程中的一
个难点和关键.解题时应根据已知条件适当进行添(拆) 项,创造应用均值不等式的条件.

高考热 点突破

? 跟踪训练

3.为了保护环境,实现城市绿化.某房地产公司
要在拆迁地长方形ABCD上规划出一块长方形地面建造 公园,公园一边落在CD上,但不得越过文物保护区 △AEF的EF,问如何设计才能使公园占地面积最大?并 求这个最大面积(其中AB=200 m,BC=160 m,AE=

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60 m,AF=40 m).

高考热 点突破 解析:
设 CG=x,矩形 CGPH 面积为 y. 2x-280 EN x-140 作 EN⊥PH 于点 N, 则 = ?EN= . 40 60 3 2x-280 760-2x ∴HC=160- = . 3 3

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高考热 点突破
760-2x 1 1 ?760 ? 2 y = x· = · 2x(760 - 2x)≤ ? 2 ? = 3 6 6? ? 72 200 . 3 当 2x=760-2x?x=190,即 CG 长为 190 m 时,最 72 200 大面积为 m2. 3

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高考热 点突破

小结反思
1.应用均值不等式解题常用到“和定积最大,积定 和最小” ,其解题步骤是“一正、二定、三相等” , “二定” 指含变数的两项的和(积)为常数,合理拆添项或拼凑因式 是常用的技巧,而拆和凑的前提是要求等号能够成立. 2.当用均值不等式求最值取不到等号时,常利用函 a 数 y=x+ (a>0)的单调性求解. x

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高考热 点突破

1 3. 注意函数 y=x+ (x<0)的单调性及推导方法. x 4. 线性规划问题应特别注意目标函数最值的几何 意义是与直线的截距符号相同还是相反. 5.作差法的依据是 a>b?a-b>0,证明中常用 到配方法、分解因式、均值不等式等方法;作商法的 a 依据是 a,b∈R+,a>b?b>1,适用于指数、幂的 形式.

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