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广东省揭阳市第三中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试数学(文)试题


广东省揭阳市第三中学 2014-2015 学年高二下学期第一次阶段考试数学(文)试题 一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知集合 M ? ? x | ?1 ? x ? 1? , N ? x | y ? x ,则 M ? N ? ( A.

?

?

) D.

? x | 0 ? x ? 1?

B.

? x | 0 ? x ? 1?


C.

? x | x ? 0?

? x | ?1 ? x ? 0?

2.设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i

3 ? 4i =( i B. ?4 ? 3i
2

C. ? ? ?i )
2

D. ? ? ?i

3.已知命题 p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0 ,则( A. ?p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0
2

B. ?p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0

2 D. ?p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0 ? ? ? ? 4. 设向量 a ? ? x,1? , b ? ? 4, x ? , a ? b ? ?1 ,则实数 x 的值是( ) 2

C. ?p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0

A. ?2

B. ?1

C. ?

1 3

D. ?

1 5

?y ? 0 ? 5. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3 x ? 5 y 的取值范围是( ?x ? 4 y ? 3 ? 0 ?

)

? ?? A. ?3,

B.

3? ? ?8,

C.

? ??,9?

D.

9? ? ?8,

6. 一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的 体积为 10 3 ,则 h ? ( )

A.

3 2

B.

3

C. 3 3

D. 5 3 ) D.以上答案都不对

7.在 ???C 中, ? ? 60? , a ? 4 3 , b ? 4 2 ,则( A. ? ? 45? 或 135?
2

B. ? ? 135?

C. ? ? 45?

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的 8.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 3
准线方程为( A. x ? ?1 ) B. x ? ?2 C. x ? 1 D. x ? 4 )

9.如图所示的程序框图,若输出的 S ? 41 ,则判断框内应填入的条件是( A. k ? 3? B. k ? 4? C. k ? 5? D. k ? 6?

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10. 已知 f1 ? x ? ? sin x ? cos x , f n ?1 ? x ? 是 f n ? x ? 的导函数,即 f 2 ? x ? ? f1? ? x ? ,

f3 ? x ? ? f 2? ? x ? ,…, f n ?1 ? x ? ? f n? ? x ? , n ? N * ,则 f 2015 ? x ? ? (
A. sin x ? cos x B. ? sin x ? cos x C. sin x ? cos x



D. ? sin x ? cos x

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11. 不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 12.函数 y ? .

sin x 的导数为_________________; x


13.已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3 , a5 ? a6 ? a7 ? 9 ,则 a4 ? 14. 函数 y ? x ? x ? x 的单调递增区间为____________。
3 2

三、解答题:(本题共 6 小题,共 80 分) 15. (12 分)已知函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ?

? ?

??

? , x?R . 6?

? 的值; ? 12 ? 4 ?? ? 5? ? ?? ? . ? 2 ? 若 sin ? ? , ? ? ? ? 0, ? ,求 f ? 5 ? 2? ? 12 ?
16.(12分)为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,

?1? 求 f ? ?

? ?

将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成 5 组,如表所示: (1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一 步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 组别 一 二 三 四 五 候车时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) 人数 2 6 4 2 1

17. (14 分)如图 3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、

B 的一点. ⑴求证:平面 PAC⊥平面 PBC; ⑵若 PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥 P-ABC 的体积.

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18.(14 分)已知 ?a n ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, S n 表示 ?a n ? 的前 n 项和。 (1)求 a n 及 S n ; (2) 设数列 ?

?1? n 成立。 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:当 n ? N ? 都有 Tn ? n ?1 ? Sn ?

19. (14 分)设函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为
3

6x ? y ? 4 ? 0 .
(1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值。

20. (14 分)椭圆的两个焦点分别为 F1 (0, ?2 2), F2 (0, 2 2) ,离心率 e ? (1)求椭圆方程;

2 2 。 3

(2)一条不与坐标轴平行的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 中点的横坐标 为?

1 ,求直线 l 倾斜角的取值范围。 2

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揭阳第三中学 2014-2015 年第二学期 第一次阶段考高二文科数学答案
一选择题(每题 5 分,共 40 分) 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) x cos x ? sin x 11. ? ?1,3? 12. x2 1? ? 13. 2 14. +? ? ? ??, ? ? 和?1, 3? ? 三解答题(共 80 分)
15 解: (1) f (

? ?? ? 3 3 ? …………………4 分 ) ? 3sin ? 2 ? ? ? ? 3sin ? 12 3 2 ? 12 6 ?
2

?

4 3 ? ?? ?4? (2)? sin ? ? , ? ? ? 0, ?,? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? …6 分 5 5 ? 2? ?5?

? ? 5? ? 5? ? ? ?? f? ? ? ? ? 3 sin ?2? ? ? ? ? ? ? 3 sin ?? ? 2? ? ? 3sin2θ ……………10 分 ? 12 ? ? 6? ? ? 12 ……12 分 4 3 72 ? 6 sin ? cos ? ? 6 ? ? ? 5 5 25

16

. 解析: (1)由频率分布表可知:
………2 分

这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8, 所以,这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数大约等于 60 ? (2)设第三组的乘客为 a, b, c, d ,第四组的乘客为 1,2; “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件 A .………………………………5 分 所得基本事件共有 15 种,即:

8 ? 32 人.…4 分 15

ab, ac, ad , a1, a 2, bc, bd , b1, b 2, cd , c1, c 2, d1, d 2,12 …………………8 分
其中事件 A 包含基本事件 a1, a 2, b1, b 2, c1, c 2, d1, d 2 ,共 8 种,………10 分 由古典概型可得 P ( A) ?

8 , ………………………12 分 15

17

.

证明与求解:⑴设⊙O 所在的平面为 ? , 依题意,PA ? ? ,BC ? ? ,∴PA ? BC……2 分 ∵AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上不同于 A、B 的一点,∴AC ? BC……3 分
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∵PA∩AC=A,∴BC ? 平面 PAC……5 分 ∵BC ? 平面 PBC,∴平面 PAC⊥平面 PBC……7 分

1 ⑵∵PA ? ? ,∴三棱锥 P-ABC 的体积 V ? S ?ABC ? PA ……9 分 3
∵AB=2,∠ABC=30°,AC ? BC,∴AC=1,BC= 3 ……11 分
S ?ABC ?
V?

1 3 ……13 分 ? AC ? BC ? 2 2

1 1 3 3 ……14 分 S ?ABC ? PA ? ? ?2? 3 3 2 3

3 (2) f ( x) ? 2 x ? 12 x 。

f '( x) ? 6 x 2 ? 12 ? 6( x ? 2)( x ? 2) ,………… 7分
(? 2, 2) ( 2, ??)

列表如下:

x
f '( x)

(??, ? 2)

? 2

2

?
单调递增

0
极大

?
单调递减

0
极小

?
单调递增 ………… 9分

f ( x)

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) ,………… 10分

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∵ f (?1) ? 10 , f ( 2) ? ?8 2 , f (3) ? 18 ,………… 13分 ∴ f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 …… 14分

20.解: (1)设椭圆方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 。 a 2 b2

由已知, c ? 2 2, e ?

c 2 2 ? ,? a ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 a 3



y2 ? x 2 ? 1 为所求椭圆方程。 9

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,点 M , N 的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由方程组 ? y 2 消去 y ,并化简,得 (k ? 9) x ? 2kmx ? m ? 9 ? 0 2 ? ? x ?1 ?9

?? ? 4k 2 m 2 ? 4(k 2 ? 9)(m 2 ? 9) ? 0,? m 2 ? k 2 ? 9
又 x1 ? x2 ? ?

x1 ? x2 1 2km k2 ? 9 2km ,而 ? ? , ?? ? ? 1, ? m ? 2 2 k2 ? 9 2k k2 ? 9

?(

k2 ? 9 2 ) ? k 2 ? 9,? k 2 ? 3,? k ? 3 或 k ? ? 3 2k
? ? ? ? ? ? 2? , ? U? , ?3 2? ?2 3 ? ?。 ?

故直线 l 倾斜角的取值范围是 ?

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