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广州市2007年普通高中毕业班综合测试(一)数学(理)


2007 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数 学(理 科)

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将 答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号列表”内填写座 位号,并用 2B 铅笔将相应的信息点涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 B 、 C 互斥,那么 P B ? C A ? P B A ? P C A

?

?

?

?

?

?

第一部分
目要求的.

选择题(共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题

1.已知集合 A ? ?x, y ? x ? y ? 0, x, y ? R , B ? ?x, y ? x ? y ? 0, x, y ? R , 则集合 A ? B 的元素个数是 A.0 B. 1 C. 2 D. 3

?

?

?

?

2.已知向量 a ? ? m,1? ,若 a ? 2 ,则 m ? A.1 B. 3 C. ?1 D. ? 3

3. 函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?R? 的最小正周期是 A.

? 2

B.

?

C. 2?

D. 3?

4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A.

5 4

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

5. 如图 1 所示的算法流程图中(注: A ? 1 ”也可写成“ A :? 1 ” “ 或“ A ? 1 ”, 均表示赋值语句) ,第 3 个输出的数是 A.1 B.

3 2
2

C. 2

D.

5 2
D.

图1

6.如果一个几何体的三视图如图 2 所示(单位长度: cm) 则此几何体的表面积是 , A. 80 ? 16 2 cm

?

?

2

B. 96 cm

C.

?96 ? 16 2 ? cm
1

2

112 cm

2

7. 若函数 f ? x ? ? x3 ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 A. ? ?2, 2 ? C. B.

??2,2?

? ??, ?1?

D. ?1, ?? ? 图2

8.如图 4 所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为

ai ?i ? 1,2,3,4? ,此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi ?i ? 1, 2,3, 4? ,

4 a1 a2 a3 a4 2S ? ? ? ? k ,则 ? ? ihi ? ? .类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 1 2 3 4 k i ?1

Si ?i ? 1,2,3,4? , 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记
为 Hi ? i ? 1, 2,3, 4? ,若
4 S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? K , 则 ? ? iH i ? ? 1 2 3 4 i ?1

A.

4V K

B.

3V K

C.

2V K

D.

V K

图3

第二部分 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,其中 9~12 题是必做题,13~15 题是选做题. 每小题 5 分,满分 30 分. 9.命题“若 m ? 0, 则方程 x ? x ? m ? 0 有实数根”的逆命题是
2

. .

10.双曲线的中心在坐标原点,离心率等于 2, 一个焦点的坐标为 ?2,0? ,则此双曲线的方程是 11.已知数列 ?

?n ? 1, n为奇数, 则 a1 ? a100 ? , a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? ? ? a99 ? a100 ? n, n为偶数. ?

? x ? y ? 2 ? 0, ? 12.不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所确定的平面区域记为 D .若点 ? x, y ? 是区域 D 上的点, ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
则 2x ? y 的最大值是 ; 若圆 O : x ? y ? r 上的所有点都在区域 D 上,则圆 O 的面积的
2 2 2

最大值是 ▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分. 13. 如图 4 所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,

CD ? 4, BD ? 8 ,则圆 O 的半径等于



14. 在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6

?

?

图4

2

的距离的最小值是 15.设 a , b 为正数,且 a ? b ? 1 ,则



1 1 ? 的最小值是 2a b



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16.(本小题满分 12 分) A1 已知 tan ? ? 2 . (Ⅰ)求 tan ?

D1 C1

?? ? ? ? ? 的值; ?4 ?

B1

(Ⅱ)求 cos 2? 的值. 17.(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, 1 A E D C

AB ? BC ? 1, BB1 ? 2 , E 是棱 CC1 上的点,且
1 CE ? CC1 . 4
(Ⅰ)求三棱锥 C ? BED 的体积; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 BDE . 1 图5

B

18.(本小题满分 12 分) 甲箱的产品中有 5 个正品和 3 个次品, 乙箱的产品中有 4 个正品和 3 个次品. (Ⅰ)从甲箱中任取 2 个产品,求这 2 个产品都是次品的概率; (Ⅱ)若从甲箱中任取 2 个产品放入乙箱中, 然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品 的概率. 19.(本小题满分 14 分) 如图 6 所示,已知曲线 C1 : y ? x2 与曲线 C2 : y ? ?x ? 2ax ? a ? 1? 交于点 O 、 A ,
2

直线 x ? t ? 0 ? t ? 1? 与曲线 C1 、 C 2 分别相交于点 D 、 B ,连结 OD, DA , AB . (Ⅰ)写出曲边四边形 ABOD (阴影部分)的面积 S 与 t 的函数关系式 S ? f ? t ? ; ..... (Ⅱ)求函数 S ? f ? t ? 在区间 ? 0,1? 上的最大值.

图6

3

20. (本小题满分 14 分) 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l : y ? kx ,且 l 与 C 相交于 P 、 Q 两点,点 M ? 0, b ? , 且 MP ? MQ . (Ⅰ)当 b ? 1 时,求 k 的值; (Ⅱ)当 b ? ?1, ? ,求 k 的取值范围.

? 3? ? 2?

21. (本小题满分 14 分) 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n?N 总有 Sn ? qan ? 1? q ? 0, q ? 1? , m, k ? N *, 且 m ? k .
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)试比较 Sm? k 与

1 ? S2 m ? S2 k ? 的大小; 2

(Ⅲ)当 q ? 1 时,试比较

2 Sm?k



1 1 的大小. ? S2 m S2 k

2007 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题 号 答 案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 A 8 B

二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共 7 小题,其中 9~12 题是必做题,13~15 题是选做题. 每小题 5 分,满分 30 分. 第 11 小题的第一个空 2 分、第二个空 3 分.第 12 小题的第一 个空 2 分、第二个空 3 分. 9.若方程 x ? x ? m ? 0 有实数根, 则 m ? 0
2

y2 ?1 10。 x ? 3
2

11。100; 5000

4

12. 14 ;

4 ? 5

13。 5

14。1

15。 2 ?

3 2

三、解答题 16. 本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识,考查运算能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)∵ tan ? ? 2 ,

? tan ? ?? ? 4 ??2 分 ? tan ? ? ? ? ? ?4 ? 1 ? tan ? tan ? 4 sin ? ? 2 . ??6 分 (Ⅱ)? tan ? ? 2 ,∴ cos ? tan
2 2 ∴ sin ? ? 2 cos ? .∴ sin ? ? 4cos ? .

?

?

1? 2 ? ?3 . 1 ? 1? 2

??4 分

??8 分

1 . ??10 分 5 1 3 2 ∴ cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . ??12 分 5 5 sin ? ? 2 . ??6 分即 sin ? ? 2 cos ? . 另法:? tan ? ? 2 ,∴ cos ?
2 2 ∴ 1 ? cos ? ? 4cos ? . ∴ cos ? ?
2

? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,

??8 分

解?

?sin ? ? 2cos ? , 2 2 ?sin ? ? cos ? ? 1.

? ? 2 5 2 5 , , ?sin ? ? ?sin ? ? ? ? ? 5 5 得? 或 ? ?cos ? ? ? 5 . ?cos ? ? 5 , ? ? 5 5 ? ?
2 2

??10 分

? 5? 3 ∴ cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 5 ? ?1 ? ? 5 . ? ? ?
(Ⅰ)解:由 CE ? ∴ VC ? BDE ? VE ? BCD

??12 分

17.本小题主要考查空间线面关系,考查空间想象能力和推理运算能力. 满分 14 分。

1 1 CC1 = , 4 2
??2 分 B1

A1

D1 C1

1 1 1 1 1 ? S ?BCD ? ? ? ? 1? 1? ? . ?? 6 分 CE 3 3 2 2 12
(Ⅱ)证明:连 AC, B1C .∵ AB ? BC ,∴ BD ? AC . ∵ A1 A ? 底面 ABCD ,∴ BD ? A1 A .∵ A1 A ? AC ? A , ∴ BD ? 平面A AC . ∴ BD ? AC . 1 1 ??9 分

A F O B

E D C

5

∵ tan ?BB1C ?

CE 1 BC 1 ? ,∴ ?BB1C ? ?CBE . ? , tan ?CBE ? CB 2 B1 B 2

∵ ?BB1C ? ?BCB1 ? 90? ,∴ ?CBE ? ?BCB1 ? 90? .∴ BE ? B1C . ∵ BE ? A1B1 , A B1 ? B1C ? B1 ,∴ BE ? 平面A B1C . 1 1 ∴ BE ? AC . ??12 分 1

∵ BD ? BE ? B , BE ? 平面 BDE, BD ? 平面 BDE, ∴ AC ? 平面 BDE . ??14 分 1 证法二:以点 A 为原点, AB、AD、AA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系, 1 则 B ?1,0,0 ?、D ? 0,1,0 ?、E ?11 ?、A1 ? 0, 2 ?、C ?1,1,0 ? , , , 0,

? ?

1? 2?

??? ? ??? ? ? ???? ? 1? ? A1C ? ?1,1, ?2? , BD ? ? ?1,1, 0 ? , BE ? ? 0,1, ? . ??8 分 2? ? ???? ??? ? ? ? A1C ?BD ? ?1,1, ?2 ?? ?1,1,0 ? ? 1? ? ?1? ? 1?1 ? ? ?2 ? ? 0 ? 0 , ? ???? ??? ? ? 1? 1 ? A1C ?BE ? ?1,1, ?2 ?? 0,1, ? ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ? ? ?2 ? ? ? 0 ,??10 分 ? 2? 2 ?

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? AC ? BD, AC ? BE . 1 1
? A1C ? BE , A1C ? BD . ? A1C ? 平面 BDE .
解: (Ⅰ) 从甲箱中任取 2 个产品的事件数为 C8 ?
2

??12 分

? BE ? BD ? B , BE ? 平面 BDE , ED ? 平面 BDE ,
??14 分

18.本小题主要考查条件概率和互斥事件的概率计算,考查运用概率知识解决实际问题能力.满分 12 分.

8? 7 ? 28 , 2
3 . 28

2 这 2 个产品都是次品的事件数为 C3 ? 3 .? 这 2 个产品都是次品的概率为

答: 这 2 个产品都是次品的概率为

3 . 28

??4 分

(Ⅱ)设事件 A 为“从乙箱中取一个正品” ,事件 B1 为“从甲箱中取出 2 个产品都是正品” ,事件 B2 为 “从甲箱中取出 1 个正品 1 个次品” ,事件 B3 为“从甲箱中取出 2 个产品都是次品” ,则事件 B1 、事件 B2 、 事件 B3 彼此互斥. P ? B1 ? ?

C1C1 15 C2 C52 5 3 ? , P ? B2 ? ? 5 2 3 ? , P ? B3 ? ? 32 ? , 2 C8 14 28 C8 C8 28

??7 分

6

P ? A B1 ? ?

6 5 4 , P ? A B2 ? ? , P ? A B3 ? ? , 9 9 9

??10 分

? P ? A ? ? P ? B1 ? P ? A B1 ? ? P ? B2 ? P ? A B2 ? ? P ? B3 ? P ? A B3 ?

?

5 6 15 5 3 4 147 7 7 ? ? ? ? ? ? ? .答: 取出的这个产品是正品的概率为 . ??12 分 14 9 28 9 28 9 252 12 12

19.本小题主要考查函数、微积分基本定理和导数的应用,考查综合运用数学知识分析和解决问题能力. 满分 14 分. 解: (Ⅰ)由 ?

? y ? x2 , ? y ? ? x ? 2ax,
2

2 得点 O ? 0, 0 ? , A a, a .

?

?

2 2 又由已知得 B t , ?t ? 2at , D t , t .

?

? ?

?

??2 分 ??4 分

故S ?

? ??x
t 0

2

1 1 ? 2ax ? dx ? ? ? 2 ? ? ?t 2 ? 2at ? t 2 ? ? ? a ? t ? tt 2 2

1 ? 1 ? 2 ? ? ? x3 ? ax 2? t0 ? t 3? ? ?t ? at ? ? ? a ? t ? 2 ? 3 ?
?

? 1 ? 1 3 2 ? ? ? t 3 ? at 2? ? t 3? t ? 2at ? a t ? 3 ? 2

2

1 3 1 t ? a t2 ? a2 .? S ? f ? t ? ? t 3 ? at 2 ? a 2 t ? 0 ? t ? 1? . ?6 分 t 6 6 1 2 1 2 ' 2 2 (Ⅱ) f ? t ? ? t ? 2at ? a ,令 f ' ?t ? ? 0 ,即 t ? 2at ? a ? 0 , 2 2

? 2 ? a . ??8 分 ? 0 ? t ? 1, a ? 1 ,? t ? ? 2 ? 2 ? a 应舍去.
解得 t ? 2 ? 2 a 或 t ? 2 ? 若 2 ? 2 a ? 1即 a ?

?

?

?

?

1 2? 2 ' 时,? 0 ? t ? 1 ,? f ?t ? ? 0 . ? 2 2? 2

1 ? f ? t ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增, S 的最大值是 f ?1? ? a 2 ? a ? . ??10 分 6
若 2 ? 2 a ? 1, 即 1 ? a ?

?

?

2? 2 ' 时,当 0 ? t ? 2 ? 2 a 时, f ?t ? ? 0 , 2

?

?

' 当 2 ? 2 a ? t ? 1 时 , f ?t ? ? 0 . ? f ? t ? 在 区 间 0, 2 ? 2 a ? 上 单 调 递 增 , 在 区 间

? 2? ?

?

? ? 2 ? a,1? 上单调递减. ?

? ?
?

?

?

3 2 1 ? f ? t ? 的最大值是 f ? 2 ? 2 a ? ? ? 2 ? 2 a ? ? a ? 2 ? 2 a ? ? a 2 2 ? 2 a ? ? 6? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

2 2 ?2 3 a .??13 分 3

7

综上所述, ? f ? t ? ? ? ? max

? 2 1 2? 2 , ?a ? a ? , a ? ? 6 2 ?? ? 2 2 ? 2 a3 , 1 ? a ? 2 ? 2 . ? 3 2 ?

??14 分

20. 本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查综合运用数学知识分析和解决问题能力. 满分 14 分. 解: (Ⅰ)圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,当 b ? 1 时,点 M ? 0, b ? 在圆 C 上,
2 2

当且仅当直线 l 经过圆心 C 时, 满足 MP ? MQ .

??2 分 ??4 分

? 圆心 C 的坐标为 ?1,1? ,
(Ⅱ)由 ?

? k ? 1.

? y ? kx, ? 2 2 消去 y 得: ?1 ? k ? x ? 2 ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 . 2 2 ?? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1. ?
2 ?1 ? k ? 1 , x1 x2 ? . ?? 6 分 2 1? k 1? k 2



设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,? x1 ? x2 ?

? MP ? MQ ,? MP ? MQ ? 0 .

? ?x1 , y1 ? b? ? ?x2 , y2 ? b? ? 0 , 即 x1 x2 ? ? y1 ? b?? y2 ? b? ? 0 .? y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,

?? kx1 ? b?? kx2 ? b? ? x1x2 ? 0 , 即 ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? kb ? x1 ? x2 ? ? b 2 ? 0 .
2 ?1 ? k ? 2 1 ? ?1 ? k 2 ?? ? kb? ?b ? 0 , 2 1? k 1? k 2
令 f ?b? ? b ? 即

??8 分

2k ?1 ? k ? b2 ? 1 1 ? ?b? . 2 1? k b b

1 1 1 ? 3? ' ' , 则 f ? b ? ? 1 ? 2 .当 b ? ?1, ? 时, f ? b ? ? 1 ? 2 >0. b b b ? 2?
当 b ? ?1, ? 时, f ? b ? ? ? 2,

? 3? ? f ?b? 在区间 ?1, ? 上单调递增.? ? 2?

? 3? ? 2?

? 13 ? ?. ? 6?

??11 分

?2k ?1 ? k ? ? 2 ?1 ? k 2 ? , ?k ? 1, 2k ?1 ? k ? 13 ? ? ?2 ? ? .即 ? 解得 ? 2 13 2 1? k 6 ?k ? 6 ? 23或 k ? 6 ? 23. ? ?2k ?1 ? k ? ? ?1 ? k ? . 6 ?

?1 ? k ? 6 ? 23 或 k ? 6 ? 23 . ?13 分由①式得 ? ? ? 2 ?1 ? k ? ? ? 4 ?1 ? k 2 ? ? 0 , 解得 k ? 0 . ? ?
2

?1 ? k ? 6 ? 23 或 k ? 6 ? 23 .? k 的取值范围是 1, 6 ? 23 ? 6 ? 23, ?? . ??14 分
21. 本小题主要考查数列的概念和不等式等知识,考查综合运用数学知识分析和解决问题能力.满分 14 分.

?

? ?

?

8

解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? qa1 ? 1,? q ? 1,? a1 ?

1 . 1? q

??1 分

? Sn ? qan ? 1 ,
? Sn?1 ? qan?1 ? 1 .

① ②

②-①得 Sn?1 ? Sn ? qan?1 ? qan ,? an?1 ? qan?1 ? qan .

? ? q ? 1? an?1 ? qan ,? q ? 1,? an ?1 ?

q an . q ?1

??3 分
n ?1

1 ? q ? 1 q ?? ,公比为 的等比数列. ? an ? ? 数列 ?an ? 是首项为 ? 1? q ? q ?1 ? 1? q q ?1 ? q ? q ?? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n ? qan ? 1 ? ? 1? q ? q ?1?

n ?1 n

.??4 分

? q ? ?1 ? 1? ? ? . ??5 分 ? q ?1?

q ? t , 则 Sm?k ? 1 ? t m?k , S2m ? 1 ? t 2m , S2k ? 1 ? t 2k . q ?1

? Sm? k ?

1 1 ??7 分 ? S2m ? S2k ? ? ?1 ? t m?k ? ? ??1 ? t 2m ? ? ?1 ? t 2k ?? ? 2 2? 2 1 1 1 ? ?? t 2 m ? t 2 k ? ? 2t m ? k ? ? ? t m ? t k ? ? 0 .? Sm? k ? ? S2 m ? S2 k ? . ??9 分 ? ? 2 2 2

(Ⅲ)当 q ? 1 时, t ?

q ? 1, ? m ? k , q ?1

? t 2 m ? t 2 k , 1 ? t 2m ? 0,1 ? t 2k ? 0,1 ? t m?k ? 0 .

? 1 1 ? ? 1 ?? ? ? ? ? ?? ? S2 m S2 k ? ? S2 m

? ? 1 ? ??? ? ? S2 k

? ? 1 ?? 1 ? ? ? 2 ?? ?? ? ? ?2 ? ? S2m ?? S2k ?

?t

2m

? 1?? t 2k ? 1?
??11 分
2

1



? 0< ? t 2 m ? 1?? t 2 k ? 1? ? t 2 m? 2 k ? ? t 2 m ? t 2 k ? ? 1 ? t 2 m? 2 k ? 2 t 2 m ? t 2 k ? 1 ? ?1 ? t m? k ? .
?

?t

2m

? 1?? t

1

2k

? 1?

?

1

?1 ? t ?
m? k

2



??13 分

? 1 1 ? ??? ? ??2 ? S2 m S2 k ?

1

?1 ? t ?
m? k

2

?

2 t
m? k

?1

??

2 Sm ? k

.?

2 S m? k

?

1 1 ? .. S 2m S 2k

??14 分

9


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