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三角形形状的判断2017-2018学年高二数学(理)人教版(上学期期末复习) Word版 含解析


12 月 26 日 三角形形状的判断 高考频度:★★★☆☆ 难易程度:★★★☆☆ 典例在线 (1)在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 cos A.直角三角形 C.等腰三角形 2 B a?c ? ,则 △ABC 是 2 2c B.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (2)在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 a 2 tanB ? b2 tanA ,则 △ABC 是 A.等腰三角形 C.等腰三角形或直角三角形 【参考答案】 (1)A; (2)C. 【试题解析】 (1)因为 cos 所以 C ? 2 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 B 1 ? cosB a ? c a 2 ? c 2 ? b2 a ? ? ,所以 cosB ? ? ,即 a 2 ? b2 ? c2 , 2 2 2c 2ac c ? ,所以 △ABC 是直角三角形,故选 A. 2 【名师点睛】 (1)依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:①利用正、余 弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状; ②利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系, 从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A ? B ? C ? ? 这个结论. 注意:在上述两种解法中,一般等式两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解. (2)三角形形状的判断要从角度或边长之间的关系上来考虑,除了应用正弦定理外,还要注意三角函数中 公式的灵活应用和三角函数性质的应用. 学霸推荐 1.在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 cosB ? A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 a ,则 △ABC 是 c 2.在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 2cos B sin A ? sin C ,则 △ABC 一定是 A.等腰直角三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等边三角形 2 3.在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 sin (1)判断 △ABC 的形状并加以证明; (2)当 c ? 1 时,求 △ABC 周长的最大值. A c ?b ? . 2 2c 3. 【答案】 (1) △ABC 为直角三角形,证明见解析; (2) 1 ? 2 . 【解析】 (1) △ABC 为直角三角形,证明如下: A c ?b 1 ? cosA 1 b ? ? ? , ,所以 2 2c 2 2 2c b 化简可得 cos A ? ,即 b ? ccosA , c 因为 sin 2 所以由余弦定理可得 b ? c ? b2 ? c 2 ? a 2 ,即 c 2 ? b2 ? a 2 , 2bc 所以 C ? ? ,所以 △ABC 为直角三角形. 2

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