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2016-2017学年高中数学苏教版选修2-3学业测评:1.5.2 二项式系数的性质及应用 Word版含解析


学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1. (a-b)7 的展开式中, 二项式系数最大的项是第________________________ 项,系数最大的项是第________项. 【解析】 展开式共 8 项,二项式系数最大的项是第 4,第 5 项,系数最大 的项为第 5 项. 【答案】 4或5 5

2.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n 的所有二项式的各项系数和是________. 【解析】 【答案】 令 x=1,得 2+22+23+…+2n=2n+1-2. 2n+1-2 x- 1 4x 6 的展开式中,x2 的系数为________. - 1 4x r=

3.(2015·天津高考)在 【解析】 Cr 6 -

6-r 设通项为 Tr+1=Cr 6x

1 - 4 rx6 2r. 1 15 4 2= . 16

令 6-2r=2 得 r=2, ∴x 的系数为
2

C2 6



【答案】

15 16
1 10 10 ∵C0 10+C10+…+C10=2 ,

3 5 7 9 4.C1 10+C10+C10+C10+C10=________. 【导学号:29440030】

【解析】

3 5 7 9 0 2 4 6 8 10 又 C1 10+C10+C10+C10+C10=C10+C10+C10+C10+C10+C10, 3 5 7 9 9 ∴C1 10+C10+C10+C10+C10=2 .

【答案】

29

5.233 除以 9 的余数是________. 【解析】
2 8 10 233=811=(9-1)11=911-C1 119 +C119 -…-1,

∴233 除以 9 的余数是 8. 【答案】 8

6.如图 1?5?6,在“杨辉三角”中,斜线 l 的上方,从 1 开始按箭头所示的 数组成一个锯齿形数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记此数列为{an},则 a21=________.

图 1?5?6
1 2 1 2 1 2 1 2 【解析】 此数列依次为 C2 2;C3,C3;C4,C4;C5,C5;…;C12,C12;…;

a21=C2 12=

12×11 =66. 2 66

【答案】

7.设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512 016+a 能被 13 整除,则 a=________. 【 解析】
2 016 2015 512 016 + a = (52 - 1)2 016 + a = C 0 -C1 +…+ 2 016 52 2 016 52

015 2 015 016 2 016 C2 +C2 + a. 因为 52 能被 13 整除,所以只需 2 016 ×52×( - 1) 2 016 ×( - 1) 016 2 016 C2 +a 能被 13 整除,即 a+1 能被 13 整除,所以 a=12. 2 016×(-1)

【答案】

12

8.在“杨辉三角”中,每一个数都是它“肩上”两个数的和,它开头几行 如图 1?5?7 所示.那么,在“杨辉三角”中,第________行会出现三个相邻的数, 其比为 3∶4∶5. 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 1 5 1 4 10 1 3 6 1 2 3 4 10 1 1 1 1 1 5 1

图 1?5?7 【解析】 根据题意,设所求的行数为 n,则存在正整数 k,
-1 Ck 3 Ck 4 n n k-1 k k+1 Cn ,Cn,Cn ,有 k = 且 k+1= . 5 Cn 4 Cn

使得连续三项

化简得

k 3 k+1 4 = , = ,联立解得 k=27,n=62. n-k+1 4 n-k 5

故第 62 行会出现满足条件的三个相邻的数. 【答案】 二、解答题 9.已知(1+2x)100=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a100(x-1)100,求 a1+a3+ a5+…+a99 的值. 【解】 令 x=2,可以得到 5100=a0+a1+a2+…+a100,① 62

令 x=0,可以得到 1=a0-a1+a2-…+a100,② 1 由①②得 a1+a3+a5+…+a99= (5100-1). 2 4 1 3 + x2 n 10.已知 的展开式中的倒数第三项的系数是 45. x (1)求含 x3 的项; (2)求系数最大的项. 【解】
2 2 已知展开式中倒数第三项的系数为 45,则 Cn n =45,即 Cn=45,


所以 n2-n-90=0,解得 n=-9(不合题意,舍去)或 n=10. 4 1 3 + x2 (1)即求 x 由通项
- Tr+1=Cr 10(x

10 1 4

展开式中含 x3 的项. (x3)
2 r
- =Cr 10x

)

10-r

10-r 2r


4

3

,得-

10-r 2r + =3,-30+3r+ 3 4

8r=36,11r=66,得 r=6.
3 3 故含有 x3 的项是第 7 项 T7=C6 10x =210x .

4 1 3 + x2 (2)∵ x
1

10 2

的展开式共有 11 项,系数最大项是第 6 项.
25

- 5 5 ∴T6=C5 10(x ) ·(x ) =252x . 4 3 12

[能力提升] 1.设 m 是正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=________. 【解析】
m 1 由题意可知 13Cm 2m=7C2m+1,


?2m?! ?2m+1?! ∴13· =7· , m!m! ?m+1?!m! ∴m=6. 【答案】 6 x- 3 x n 的展开式的各项系数绝对值之和为 1 3 5-3r x , x r=(-3)rCr 5 2

2 . (2016· 杨州高二检测 ) 若

024,则展开式中 x 项的系数为________. 【解析】 令 由 4 =1 024,得
n

n=5.∴Tr+1=Cr 5(

x)

5- r

·



5-3r =1,解得 r=1, 2
1 ∴T2=C1 5(-3) x=-15x,故其系数为-15.

【答案】

-15

3.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则 a0+a1 +a2+…+a11 的值为________. 【导学号:29440031】 【解析】 令 x=-1,则原式化为[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=-2=a0+a1(2

-1)+a2(2-1)2+…+a11(2-1)11,∴a0+a1+a2+…+a11=-2. 【答案】 -2

4.(1)求证:5151-1 能被 7 整除; (2)求 1.9975 精确到 0.001 的近似值. 【解】
51 1 50 (1) 证明 :因为 5151 -1 = (49 +2)51-1 = C 0 51 49 + C 51 49 ·2 + … +

51 51 51 51 50 C50 5149·2 +C51·2 -1,易知除 C512 -1 以外其余各项都能被 7 整除.

又因为 251-1=(23)17-1=(7+1)17-1
1 16 16 17 17 =C0 177 +C177 +…+C177+C17-1 16 1 15 16 =7(C7 177 +C177 +…+C17)

显然能被 7 整除,所以 5151-1 能被 7 整除. (2)1.9975=(2-0.003)5
5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 1 4 =C0 5 2 - C 5 ×2 ×0.003 + C 5 ×2 ×0.003 - C 5 ×2 ×0.003 + C 5 ×2 ×0.003 0 5 -C5 5×2 ×0.003 ≈32-0.24+0.000 72≈31.761.


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