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双曲线及其标准方程(修改版)


2.3.1 双曲线及其标准方程 肇庆市第一中学 姚河生 二0一三年12月 探索研究 椭圆的定义? Y 平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点轨迹叫做椭圆。 M ? x, y ? F1 ?? c, 0 ? O F2? c, 0 ? X 思考:如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”,那么点的轨迹是怎样的曲线? 即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么? 看图分析动点M满足的条件: ①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。 双曲线的定义 平面内与两定点F ,F 的距离的差的绝对值等 于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 1 2 F1,F2 -----焦点 |F1F2| -----焦距记为2c | |MF1| - |MF2| | = 2a (这里c>a) F1 M F2 1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点o为原点建立直角 如何求这优美的曲线的方程? 坐标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) F1 y M O F2 x 常数为2a 3.列式. |MF1| 2 | - |MF2||= 2a 2 2 2 即 ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a. 4.化简. ? 想一想 焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么? F1 (0,-c) , F2 (0,c) y M F2 x F1 | ( y ? c) ? x ? ( y ? c) ? x |? 2a. 2 2 2 2 化简为: c ? a ?b 2 2 2 三.双曲线两种标准方程的比较 2 2 x y y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b y y M M F2 x F1 O F1 O F2 x ① 方程用“-”号连接。 ② 分母是 a ③ 2 , b2 , a ? 0, b ? 0 但 a , b 大小不定。 c ? a ?b 2 2 。 2 2 ④如果 x 的系数是正的,则焦点在 焦点在 y轴上。 x 轴上;如果 y 2的系数是正的,则 四、双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭 定义 圆 双曲线 ||MF1|-|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a 方程 2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 焦点 F(±c,0) F(±c,0) F(0,±c) a.b.c的关 系 F(0,±c) a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2 a>b>0,a2=b2+c2 ? 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______ 3 5 4 (2

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