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2015-2016学年江西省名校高三(上)第三次联考数学试卷(理科)


2015-2016 学年江西省名校高三(上)第三次联考数学试卷
一、选择题 1. (5 分) (2015 秋?江西月考)设函数 f(x)=lgx 的定义域为 A,函数 g(x)= 定义域为 B,则 A∪B 等于( ) A.[﹣1,+∞) B.[﹣1,1] C. (0,1] 的

D.[1,+∞)

2. (5 分) (2015 秋?江西月考)在公比为 q 的等比数列{an}中,若 5a4=1,a5=5,则 q 等于 ( ) A. B. C.5 D.25

3. (5 分) (2015 秋?内蒙古月考)设向量 、 均为单位向量且夹角为 120°,则( +2 )? ( ﹣ )等于( A. B.0 ) C.﹣ D.﹣

4. (5 分) (2015 秋?江西月考)设 a,b,l 均为不同直线,α,β 均为不同平面,给出下列 3 个命题: ①若 α⊥β,a?β,则 a⊥α; ②若 α∥β,a?α,b?β,则 a⊥b 可能成立; ③若 a⊥l,b⊥l,则 a⊥b 不可能成立. 其中,正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5. (5 分) (2015 秋?江西月考)设 sin10°+cos10°=mcos(﹣325°) ,则 m 等于( A.1 B. C.﹣1 D.﹣ 6. (5 分) (2015 秋?江西月考)曲线 f(x)= )

+ +1 在(1,6)处的切线经过过点 A(﹣ )

1,y1) ,B(3,y2) ,则 y1 与 y2 的等差中项为( A.﹣6 B.﹣4 C.4 D.6

7. (5 分) (2015 秋?江西月考)设命题 p:?x0∈(0,+∞) ,e +∞) , +x≥2 ﹣1.那么,下列命题为真命题的是( )

+x0=5.命题 q:?x∈(0,

A.¬q B. (¬p)∨(¬q) C.p∧q D.p∧(¬q)

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8. (5 分) (2015 秋?江西月考)若函数 f(x)=2sin(ωx﹣ ﹣x) ,则|ω|的最小值为( A. B. C. ) D.

) (ω≠0) ,且 f(2+x)=f(2

9. (5 分) (2015 秋?江西月考)若二次函数 y=ax (a>0)的图象与不等式组

2



示的平面区域无公共点,则实数 a 的取值范围为(



A. ( ,2) B. ( , ) C. (0, )∪( ,+∞) D. (0, )∪(2,+∞)

10. (5 分) (2015 秋?江西月考)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 an(4+cosnπ)=n(2﹣ 2 cosnπ) ,S2n=an +bn,则 ab 等于( ) A. B. C. D.

11. (5 分) (2015 秋?江西月考)设函数 f(x)=log +f(log x)≥2 的解集为( B.[ ,2] )

(x +1)+

2

,则不等式 f(log2x)

A. (0,2]

C.[2,+∞) D. (0, ]∪[2,+∞)

12. (5 分) (2015 秋?江西月考)“

≤ k≤

”是“关于 x 的不等式 lnx+x+1>x +kx

2

有且仅有 2 个正整数解”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

二、填空题 13. (5 分) (2015 秋?江西月考)已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=﹣6x+2 , 则 f(f(﹣1) )= . 14. (5 分) (2015 秋?江西月考)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 Sn=5an﹣1,则 an= . 15. (5 分) (2015 秋?江西月考)一个几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、俯视 图均为直角三角形,且面积分别为 ,3,1,则该几何体外接球的表面积为
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x



16. (5 分) (2015 秋?江西月考) 在△ ABC 中, A=2B, 且 3sinC=5sinB, 则 cosB=



三、解答题 17. (10 分) (2015 秋?江西月考)设向量 (1)若 A、B、C 三点共线,求 cos(θ+ (2)若 ? < ,求 θ 的取值范围. =(2,6) , ) ; =(sinθ,1) ,θ∈(0,π) .

18. (12 分) (2015 秋?江西月考)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 3 (sin B+sin C﹣sin A)=2 sinBsinC. (1)求 tanA; (2)若△ ABC 的面积为 + ,求 a 的最小值. 19. (12 分) (2015 秋?江西月考)已知在公差不为零的等差数列{an}中,a5=3a2﹣1,且 a1, a2,a4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{(﹣1) ?bn}的前 n 项和 Sn.
n 2 2 2

20. (12 分) (2014?广西模拟) 如图, 已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AB=5, AC=4, BC=3, AA1=4,点 D 在 AB 上. (1)若 D 是 AB 中点,求证:AC1∥平面 B1CD; (2)当 = 时,求二面角 B﹣CD﹣B1 的余弦值.

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21. (12 分) (2015 秋?江西月考)已知函数 f(x)=ke ﹣ x (k∈R) . (1)若 x 轴是曲线 y=f(x)的一条切线,求实数 k 的值; 2x (2)设 k<0,求函数 g(x)=f′(x)+e +x 在区间(﹣∞,ln 2]上的最小值. 22. (12 分) (2015 秋?江西月考)设 a,b∈R,曲线 f(x)=ax +lnx+b(x>0)在点(1,f (1) )处的切线方程为 4x+4y+1=0. (1)若函数 g(x)=f(ax)﹣m 有 2 个零点,求实数 m 的取值范围; 3 2 (2)当 p≤2 时,证明:f(x)<x ﹣px .
2

x

2

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2015-2016 学年江西省名校高三(上)第三次联考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题 1. (5 分) (2015 秋?江西月考)设函数 f(x)=lgx 的定义域为 A,函数 g(x)= 定义域为 B,则 A∪B 等于( ) A.[﹣1,+∞) B.[﹣1,1] C. (0,1] D.[1,+∞) 【考点】并集及其运算;函数的定义域及其求法. 【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用;集合. 【分析】求出函数 f(x)和 g(x)的定义域 A、B,计算 A∪B 即可. 【解答】解:函数 f(x)=lgx 的定义域为 A, ∴A={x|x>0}=(0,+∞) ;
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又函数 g(x)=
2

的定义域为 B,

∴B={x|1﹣x ≥0}={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1,1]; ∴A∪B=[﹣1,+∞) . 故选:A. 【点评】本题考查了求函数的定义域以及集合的简单运算问题,是基础题目. 2. (5 分) (2015 秋?江西月考)在公比为 q 的等比数列{an}中,若 5a4=1,a5=5,则 q 等于 ( ) A. B. C.5 D.25
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【考点】等比数列的通项公式. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式能求出公比 q. 【解答】解:∵在公比为 q 的等比数列{an}中, 5a4=1,a5=5, ∴ ,解得 q=25.

故选:D. 【点评】本题考查等比数列的公比的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的 性质的合理运用.

3. (5 分) (2015 秋?内蒙古月考)设向量 、 均为单位向量且夹角为 120°,则( +2 )? ( ﹣ )等于( A. B.0 ) C.﹣ D.﹣
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【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;平面向量及应用. 【分析】根据平面向量的乘法运算展开解答即可.
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【解答】解:因为 、 均为单位向量且夹角为 120°,所以 )= =1﹣2﹣ = ;

=

,则( +2 )?( ﹣

故选:D. 【点评】本题考查了平面向量的运算;属于基础题. 4. (5 分) (2015 秋?江西月考)设 a,b,l 均为不同直线,α,β 均为不同平面,给出下列 3 个命题: ①若 α⊥β,a?β,则 a⊥α; ②若 α∥β,a?α,b?β,则 a⊥b 可能成立; ③若 a⊥l,b⊥l,则 a⊥b 不可能成立. 其中,正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】在①中,a 与 α 平行、相交或 a?α;在②中,a,b 有可能异面垂直;在③中,由 正方体中过同一顶点的三条棱得到 a⊥b 有可能成立. 【解答】解:由 a,b,l 均为不同直线,α,β 均为不同平面,得: 在①中,若 α⊥β,α?β,则 a 与 α 平行、相交或 a?α,故①错误; 在②中,若 α∥β,a?α,b?β, 则 a,b 有可能异面垂直,故 a⊥b 可能成立,故②正确; 在③中,若 a⊥l,b⊥l,则 a⊥b 有可能成立, 例如正方体中过同一顶点的三条棱,故③错误. 故选:B. 【点评】本题考查命题真假的判断, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意空间中线线、线面、 面面间的位置关系的合理运用.
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5. (5 分) (2015 秋?江西月考)设 sin10°+cos10°=mcos(﹣325°) ,则 m 等于( ) A.1 B. C.﹣1 D.﹣ 【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用诱导公式、两角和差的正弦公式求得 sin(45°+10°)=mcos35°,即 cos35°=mcos35°,从而求得 m 的值. 【解答】解:∵sin10°+cos10°=mcos(﹣325°)=mcos 325°=mcos(﹣45°)=mcos35°, 即 sin(45°+10°)=mcos35°,即 cos35°=mcos35°,m= , 故选:B. 【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用,属于基础题.
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6. (5 分) (2015 秋?江西月考)曲线 f(x)=

+ +1 在(1,6)处的切线经过过点 A(﹣

1,y1) ,B(3,y2) ,则 y1 与 y2 的等差中项为( ) A.﹣6 B.﹣4 C.4 D.6 【考点】等差数列的通项公式;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;综合法;导数的概念及应用;等差数列与等比数列.
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【分析】由导数的几何意义求出曲线 f(x)=

+ +1 在(1,6)处的切线为 y=﹣



由此求出 y1,y2,从而能求出 y1 与 y2 的等差中项. 【解答】解:∵f(x)= ∴f′(1)= ∴曲线 f(x)= =﹣ , + +1 在(1,6)处的切线为:y﹣6=﹣ ,即 y=﹣ , + +1,∴ ,

∵切线经过过点 A(﹣1,y1) ,B(3,y2) , ∴ , =﹣1,

∴y1 与 y2 的等差中项: A= = =6.

故选:D. 【点评】本题考查等差中项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数的几何意义的 合理运用.

7. (5 分) (2015 秋?江西月考)设命题 p:?x0∈(0,+∞) ,e +∞) , +x≥2 ﹣1.那么,下列命题为真命题的是( )

+x0=5.命题 q:?x∈(0,

A.¬q B. (¬p)∨(¬q) C.p∧q D.p∧(¬q) 【考点】复合命题的真假. 【专题】函数思想;定义法;简易逻辑. 【分析】 利用函数零点存在定理以及基本不等式分别判断两个命题的真假, 然后结合复合命 题真假之间的关系是解决本题的关键.
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【解答】解:设 f(x)=e +x﹣5,则 f(x)=1﹣5=﹣4<0,f(5)=e +5﹣5=e >0, 则:?x0∈(0,+∞) ,使 f(x0)=0,即 e +x= 当且仅当 +x+1﹣1≥2 =x+1,即 x+1= +x≥2 ,x= +x0=5 成立,即命题 p 是真命题, ﹣1,

x

5

5

﹣1=2

时取等号,

故:?x∈(0,+∞) ,

﹣1 成立,即命题 q 为真命题.
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则 p∧q 为真命题,其余为假命题, 故选:C 【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系的判断,利用条件判断 p,q 的真假性是解 决本题的关键.

8. (5 分) (2015 秋?江西月考)若函数 f(x)=2sin(ωx﹣ ﹣x) ,则|ω|的最小值为( A. B. C. ) D.
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) (ω≠0) ,且 f(2+x)=f(2

【考点】正弦函数的图象. 【专题】计算题;方程思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由题意可得函数关于 x=2 对称,可得 2ω﹣ 可得|ω|的最小值. 【解答】解:由题意,函数关于 x=2 对称,可得 2ω﹣ 则 k=﹣1 时,|ω|的最小值为 , =kπ+ ,k∈Z,求得 ω= kπ+ , =kπ+ ,k∈Z,求得 ω 的解析式,

故选:A. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性,属于基础题.

9. (5 分) (2015 秋?江西月考)若二次函数 y=ax (a>0)的图象与不等式组

2



示的平面区域无公共点,则实数 a 的取值范围为(



A. ( ,2) B. ( , ) C. (0, )∪( ,+∞) D. (0, )∪(2,+∞) 【考点】简单线性规划. 【专题】函数思想;数形结合法;不等式. 【分析】先画出满足条件的平面区域,求出临界点的坐标,从而求出 a 的范围即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:
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将 A(1,2)代入 y=ax ,解得:a=2, 将 B(3,2)代入 y=ax ,解得:a= ,
2

2

若二次函数 y=ax (a>0)的图象与不等式组

2

表示的平面区域无公共点,

则 a∈(0, )∪(2,+∞) , 故选:D. 【点评】本题考查了二次函数的性质,考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一 道基础题. 10. (5 分) (2015 秋?江西月考)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 an(4+cosnπ)=n(2﹣ 2 cosnπ) ,S2n=an +bn,则 ab 等于( ) A. B. C. D.
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【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】an(4+cosnπ)=n(2﹣cosnπ) ,分别令 n=1,2,3,4,可得 a1,a2,a3,a4.由于 2 S2n=an +bn,可得 S2=a+b=a1+a2,S4=4a+2b=a1+a2+a3+a4,联立解出即可得出. 【解答】解:∵an(4+cosnπ)=n(2﹣cosnπ) , ∴a1=1,a2= ,a3=3,a4= . ∵S2n=an +bn, ∴S2=a+b=a1+a2= , S4=4a+2b=a1+a2+a3+a4=1+ +3+ = 联立解得 b= ,a= . 则 ab= . .
2

故选:A. 【点评】本题考查了数列的通项公式及其前 n 项和公式及其性质、三角函数的求值,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题.

11. (5 分) (2015 秋?江西月考)设函数 f(x)=log +f(log x)≥2 的解集为( B.[ ,2] )

(x +1)+

2

,则不等式 f(log2x)

A. (0,2]

C.[2,+∞) D. (0, ]∪[2,+∞)
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【考点】对数函数的图像与性质;对数的运算性质. 【专题】数形结合;换元法;函数的性质及应用. 【分析】∵f(﹣x)= (x +1)+
2

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=f(x) ,∴f(x)为 R 上的偶函数,且在区间

[0,+∞)上单调递减,再通过换元法解题. 【解答】解:∵f(﹣x)= (x +1)+
2

=f(x) ,

∴f(x)为 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减, 令 t=log2x,所以, 则不等式 f(log2x)+f( 即 2f(t)≥2,所以,f(t)≥1, 又∵f(1)= 2+ =1, =﹣t, )≥2 可化为:f(t)+f(﹣t)≥2,

且 f(x)在[0,+∞)上单调递减,在 R 上为偶函数, ∴﹣1≤t≤1,即 log2x∈[﹣1,1], 解得,x∈[ ,2], 故选:B. 【点评】本题主要考查了对数型复合函数的性质,涉及奇偶性和单调性的判断及应用,属于 中档题.
2

12. (5 分) (2015 秋?江西月考)“

≤ k≤

”是“关于 x 的不等式 lnx+x+1>x +kx

有且仅有 2 个正整数解”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;其他不等式的解法. 【专题】数形结合;转化思想;数形结合法;综合法;简易逻辑. 2 【分析】由图可求得“关于 x 的不等式 lnx+x+1>x +kx 有且仅有 2 个正整数解”的 k 的取值 范围,结合充要条件的定义,可得答案.
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【解答】解:关于 x 的不等式 lnx+x+1>x +kx 即 设 y= ﹣x>k, ﹣x,

2

则 y′=



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令 y′=﹣

的零点为 a,则 a∈(0,1) ,且

当 x∈(0,a)时,y′>0,y= 当 x∈(a,+∞)时,y′>0,y= 故函数 y=

﹣x 为增函数, ﹣x 为减函数,

﹣x 的图象如下图所示:

要使 则 k∈[ 即 故“

﹣x>k 有且仅有 2 个正整数解, , ≤k< ≤ k≤ ”, ”是“关于 x 的不等式 lnx+x+1>x +kx 有且仅有 2 个正整数解”的必要
2

) ,

不充分条件, 故选:B. 【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义,存在性问题,数形结合思想,其中求出“关 2 于 x 的不等式 lnx+x+1>x +kx 有且仅有 2 个正整数解”的充要条件,难度较大. 二、填空题 x 13. (5 分) (2015 秋?江西月考)已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=﹣6x+2 , 则 f(f(﹣1) )= ﹣8 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】由已知中函数 f(x)为奇函数,可得 f(﹣1)=﹣f(1) ,进而可得 f(f(﹣1) )的 值. x 【解答】解:∵函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=﹣6x+2 , ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(﹣6+2)=4,
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∴f(f(﹣1) )=f(4)=﹣24+16=﹣8, 故答案为:﹣8 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数求值,难度中档. 14. (5 分) (2015 秋?江西月考)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 Sn=5an﹣1,则 an= . 【考点】数列递推式. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
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【分析】 由已知的数列递推式求出首项, 再由数列递推式得到数列{an}是以 为首项, 以 为 公比的等比数列.则 an 可求. 【解答】解:由 Sn=5an﹣1,取 n=1,得 a1=5a1﹣1,∴ 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=5an﹣1﹣5an﹣1+1, ∴4an=5an﹣1,即 (n≥2) . ;

则数列{an}是以 为首项,以 为公比的等比数列. ∴ 故答案为: . .

【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的性质,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 15. (5 分) (2015 秋?江西月考)一个几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、俯视 图均为直角三角形,且面积分别为 ,3,1,则该几何体外接球的表面积为 14π .

【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;转化思想;综合法;立体几何.
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【分析】由正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形,且面积分别为 ,3,1,我们可以把 它看成其外接球即为长宽高分别为 1,2,3 的长方体的外接球.
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【解答】解:由正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形,且面积分别为 ,3,1, 故其外接球即为长宽高分别为 1,2,3 的长方体的外接球, 则 2R= = , 2 ∴外接球的表面积 S=4πR =14π, 故答案为:14π. 【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积,其中利用补足法,将该几何体的外接球,转 化为其外接球即为长宽高分别为 1,2,3 的长方体的外接球是解答的关键. 16. (5 分) (2015 秋?江西月考)在△ ABC 中,A=2B,且 3sinC=5sinB,则 cosB=
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【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 2 2 【分析】 由已知及两角和正弦函数公式, 倍角公式可得 sinC=2sinBcos B+ (2cos B﹣1) sinB, 2 2 结合已知可得 6cos B+3(2cos B﹣1)=5,即可解得 cosB 的值. 【解答】解:∵A=2B,A+B+C=π,可得:C=π﹣3B, ∴sinC=sin3B=sin(2B+B)=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos B+(2cos B﹣1)sinB, ∵3sinC=5sinB, 2 2 ∴6sinBcos B+3(2cos B﹣1)sinB=5sinB, ∵sinB≠0, ∴解得:6cos B+3(2cos B﹣1)=5,解得:cos B= , ∵A=2B,B 为锐角, ∴cosB= . .
2 2 2 2 2

故答案为:

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了一元二次方程的解法,考查了计 算能力和转化思想,属于中档题. 三、解答题 17. (10 分) (2015 秋?江西月考)设向量 (1)若 A、B、C 三点共线,求 cos(θ+ (2)若 ? < ,求 θ 的取值范围.
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=(2,6) , ) ;

=(sinθ,1) ,θ∈(0,π) .

【考点】运用诱导公式化简求值;平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值;平面向量及应用. 【分析】 (1)由条件利用三点共线的条件,求得 sinθ 的值,可得 cos(θ+ (2)由条件利用两个向量的数量积的运算,求得 2sinθ+sin θ+7< 由此求得 θ 的范围.
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2

)的值.

,求得﹣ <sinθ< ,

【解答】解: (1)向量 则有 (2)∵

=(2,6) ,

=(sinθ,1) ,θ∈(0,π) ,若 A、B、C 三点共线, )=sinθ= .
2

= ,求得 sinθ= ,∴cos(θ+ ?

=(2+sinθ,7)?(sinθ,1)=2sinθ+sin θ+7< <θ<2kπ+ ,2kπ+ ,k∈Z. ) ,k∈Z.



求得﹣ <sinθ< ,∴2kπ﹣

即要求的 θ 的取值范围为( 2kπ﹣

【点评】本题主要考查三点共线的条件,两个向量的数量积的运算,解三角不等式,属于中 档题. 18. (12 分) (2015 秋?江西月考)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 3 2 2 2 (sin B+sin C﹣sin A)=2 sinBsinC. (1)求 tanA; (2)若△ ABC 的面积为 + ,求 a 的最小值. 【考点】余弦定理的应用;正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形;不等式的解法及应用.
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【分析】 (1)运用正弦定理和余弦定理,可得 cosA=

,由同角的基本关系式,即可得到

tanA; (2)运用三角形的面积公式,求得 bc,再由余弦定理结合基本不等式,即可得到 a 的最小 值. 【解答】解: (1)由正弦定理可得,3(sin B+sin C﹣sin A)=2 2 2 2 3(b +c ﹣a )=2 bc, 由余弦定理可得 cosA= sinA= tanA= = ; + , = , = ,
2 2 2

sinBsinC,即为

(2)△ ABC 的面积为 即有 bcsinA= 即 bc=6+2
2 2 2

+



, bc=(2﹣ ) (6+2 )=8,

a =b +c ﹣2bccosA≥2bc﹣

即有 a , 则当 b=c 时,a 取得最小值,且为 2 . 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理,以及面积公式的运用,考查基本不等式求最值的方 法,属于中档题.

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19. (12 分) (2015 秋?江西月考)已知在公差不为零的等差数列{an}中,a5=3a2﹣1,且 a1, a2,a4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{(﹣1) ?bn}的前 n 项和 Sn.
n

【考点】数列递推式;数列的求和. 【专题】计算题;分类讨论;分类法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由已知利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组,求出首项与公差, 由此能求出数列{an}的通项公式.
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(2)由 bn=
n n

=

=

,得(﹣1) ?bn=(﹣1) ?(
n

n

n

)=(﹣1)

+(﹣1) ?

,由此根据 n 的奇偶性进行分类,能求出数列{(﹣1) ?bn}的前 n 项和.

【解答】解: (1)∵公差不为零的等差数列{an}中,a5=3a2﹣1,且 a1,a2,a4 成等比数列,





解得 a1=1,d=1, ∴an=1+(n﹣1)×1=n. ∴数列{an}的通项公式 an=n. (2)∵bn=
n

=
n

=


n n

∴(﹣1) ?bn=(﹣1) ?(
n

)=(﹣1)

+(﹣1) ?



∴当 n 是奇数时,数列{(﹣1) ?bn}的前 n 项和: Sn=(﹣ =﹣1﹣ =﹣ .
n

…+

)+(﹣



当 n 是偶数时,数列{(﹣1) ?bn}的前 n 项和: Sn=(﹣ =﹣1+ =﹣ . …+ ﹣ + )+(﹣ …+ )

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【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时 要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质和分类讨论思想的合理运用. 20. (12 分) (2014?广西模拟) 如图, 已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AB=5, AC=4, BC=3, AA1=4,点 D 在 AB 上. (1)若 D 是 AB 中点,求证:AC1∥平面 B1CD; (2)当 = 时,求二面角 B﹣CD﹣B1 的余弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)通过作平行线,由线线平行证明线面平行; (2)建立空间直角坐标系,求得两平面的法向量,利用向量法求二面角的余弦值. 【解答】解: (1)证明:连接 BC1,交 B1C 于 E,连接 DE. ∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,D 是 AB 中点 ∴侧面 BB1C1C 为矩形,DE 为△ ABC1 的中位线 ∴DE∥AC1, 又∵DE?平面 B1CD,AC1?平面 B1CD ∴AC1∥平面 B1CD. 2 2 2 (2)∵AB=5,AC=4,BC=3,即 AB =AC +BC ∴AC⊥BC,所以如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C﹣xyz.则 B (3,0,0) ,A (0, 4,0) , A1 (0,4,4) ,B1 (3,0,4) . 设 D (a,b,0) (a>0,b>0) ,
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∵点 D 在线段 AB 上,且 ∴a= ∴ 显然 ,b= (7 分)

= ,即

=

=(﹣3,0,﹣4) ,

=(

, ,0)

=(0,0,4)是平面 BCD 的一个法向量

设平面 B1CD 的法向量为 =(x,y,z) ,那么
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? =0,

? =0,得



令 x=1,得 =(1,﹣3,﹣ ) (10 分) ∴cos = = =﹣ (12 分)

又二面角 B﹣CD﹣B1 是锐角,故其余项值为



【点评】本题考查线面平行的判定及二面角的求法.求二面角的方法:法一、作二面角的平 面角﹣﹣证明符合定义﹣﹣解三角形求解; 法二、向量法,求得两平面的法向量,根据 cos = 求解.

21. (12 分) (2015 秋?江西月考)已知函数 f(x)=ke ﹣ x (k∈R) . (1)若 x 轴是曲线 y=f(x)的一条切线,求实数 k 的值; 2x (2)设 k<0,求函数 g(x)=f′(x)+e +x 在区间(﹣∞,ln 2]上的最小值. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算. 【专题】计算题;分类讨论;换元法;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 (1)求出函数的导数,设切点为(m,0) ,求得切线的斜率,解方程可得 k 的值;
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x

2

(2)求得 g(x)=ke +e ,令 t=e (0<t≤2) ,即有 y=g(x)=t +kt,对称轴为 t=﹣ >0, 讨论区间(0,2]与对称轴的关系,结合单调性可得最小值. 【解答】解: (1)f(x)=ke ﹣ x 的导数为 f′(x)=ke ﹣x, 设切点为(m,0) ,即有 ke ﹣m=0,ke ﹣ m =0,
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m m 2 x 2 x

x

2x

x

2

解方程可得 m=0,k=0,或 m=2,k= 则 k=0 或 ;
2x x



(2)函数 g(x)=f′(x)+e +x=ke +e , x 2 令 t=e (0<t≤2) ,即有 y=g(x)=t +kt, 对称轴为 t=﹣ >0, 当 0<﹣ ≤2,即﹣4≤k<0 时,函数的最小值为(﹣ ) ﹣
2

2x

=﹣



当﹣ >2,即 k<﹣4 时,函数在(0,2]递减,最小值为 4+2k. 综上可得,在﹣4≤k<0 时,g(x)的最小值为﹣ ;

k<﹣4 时,函数 g(x)的最小值为 4+2k. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查可化为二次函数的最值的求法,注意讨 论对称轴和区间的关系,考查运算能力,属于中档题. 22. (12 分) (2015 秋?江西月考)设 a,b∈R,曲线 f(x)=ax +lnx+b(x>0)在点(1,f (1) )处的切线方程为 4x+4y+1=0. (1)若函数 g(x)=f(ax)﹣m 有 2 个零点,求实数 m 的取值范围; 3 2 (2)当 p≤2 时,证明:f(x)<x ﹣px . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】分类讨论;转化思想;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 (1)求出导数,求得切线的斜率和切点,由切线的方程可得 a,b,进而得到 f(x) 的解析式,函数 g(x)=f(ax)﹣m 有 2 个零点,即为 f(﹣x)=m 有两个不等的实根.求 得 f(﹣x)的导数和单调区间,可得最大值,即可得到 m 的范围; (2)对 p 讨论,当 p≤0 时,当 0<p≤2 时,求出 f(x)的导数,可得单调区间,即有最大 3 2 值,再求 y=x ﹣px 的导数,单调区间,求得最小值,比较即可得证.
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2

【解答】解: (1)f(x)=ax +lnx+b 的导数为 f′(x)=2ax+ , 由在点(1,f(1) )处的切线方程为 4x+4y+1=0,可得 切线的斜率为 2a+1=﹣1,切点为(1,﹣ ) ,可得 a+b=﹣ , 解方程可得 a=﹣1,b=﹣ , 即 f(x)=﹣x +lnx﹣ , 函数 g(x)=f(ax)﹣m 有 2 个零点,即为 f(﹣x)=m 有两个不等的实根. 由 f(﹣x)=﹣x +ln(﹣x)﹣ 的导数为﹣2x+ = 可得 x<﹣ 时,f(﹣x)递增,﹣
2 2

2

(x<0) ,

<x<0 时,f(﹣x)递减,

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即有 x=﹣

处取得最大值,且为﹣ +ln ;



可得 m<﹣ +ln

(2)证明:f(x)的导数为﹣2x+ = 可得 0<x< 即有 x= 时,f(﹣x)递增,x>

(x>0) , 时,f(﹣x)递减, <0,
3 2

处取得最大值,且为﹣ +ln
3 2

当 p≤0 时,x ﹣px >0,即有 f(x)<x ﹣px ; 3 2 2 当 0<p≤2 时,y=x ﹣px 的导数为 3x ﹣2px, 当 x> 即有 x= 由﹣ +ln 时,函数递增,当 0<x< 处取得最小值,且为﹣ <﹣
3

时,函数递减, p,
3 2 3

p ,可得 f(x)<x ﹣px .
3 2

综上可得当 p≤2 时,f(x)<x ﹣px . 【点评】 本题考查导数的运用: 求切线的斜率和单调区间、 最值, 考查函数方程的转化思想, 同时考查分类讨论的思想方法,属于中档题.

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