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高三数学(理)【江苏专用】二轮专题复习名师制作课件专题三 第3讲推理与证明_图文

专题三 第3讲 第3讲 【高考考情解读】 推理与证明 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用;直接证 明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法, 本 讲 栏 目 开 关 常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题.数学归纳 法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推 理方法.考查“归纳—猜想—证明”的模式,常与数列结合 考查. 2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考 查,多以填空题的形式出现,难度中等;而考查证明问题的 知识面广,涉及知识点多,题目难度较大,主要考查逻辑推 理能力、归纳能力和综合能力,难度较大. 主干知识梳理 专题三 第3讲 1.合情推理 本 讲 栏 目 开 关 (1)归纳推理 ①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的思维过程如下: 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 (2)类比推理 ①类比推理是由特殊到特殊的推理 ②类比推理的思维过程如下: 观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论 主干知识梳理 2.演绎推理 专题三 第3讲 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般性原理. ②小前提——所研究的特殊情况. 本 讲 栏 目 开 关 ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是 由部分到整体、个别到一般的推理;类比是由特殊到特殊 的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得 的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证 明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提 下,得到的结论一定正确. 主干知识梳理 3.直接证明 (1)综合法 专题三 第3讲 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示 本 讲 栏 目 开 关 所要证明的结论,则综合法可用框图表示为 P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →…→ Qn?Q (2)分析法 用 Q 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为 得到一个明显 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →…→ 成立的条件 主干知识梳理 专题三 第3讲 4.间接证明 反 证 法的 证明 过 程可以 概 括为 “否 定 —— 推 理 —— 否 定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛 本 讲 栏 目 开 关 盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法 证明命题“若 p 则 q”的过程可以用如图所示的框图表示. 主干知识梳理 专题三 第3讲 5.数学归纳法 数学归纳法证明的步骤 本 讲 栏 目 开 关 (1)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时结论成立. (2)假设 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论成立,证明 n=k+1 时结论也成立. 由(1)(2)可知,对任意 n≥n0,且 n∈N*时,结论都成立. 热点分类突破 专题三 第3讲 考点一 例1 本 讲 栏 目 开 关 归纳推理 (2013· 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种 多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为 n?n+1? 1 2 1 = n + n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以 2 2 2 下列出了部分k边形数中第n个数的表达式: 1 2 1 三角形数 N(n,3)= n + n, 2 2 正方形数 五边形数 N(n,4)=n2, 3 2 1 N(n,5)= n - n, 2 2 热点分类突破 专题三 第3讲 六边形数 N(n,6)=2n2-n ……………………………………… 可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=______. 1 000 本 讲 栏 目 开 关 解析 由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,…,可以推测: k-2 2 4-k 当 k 为偶数时,N(n,k)= 2 n + 2 n, 24-2 4-24 ∴N(10,24)= 2 ×100+ 2 ×10 =1 100-100=1 000. 热点分类突破 专题三 第3讲 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别事物发 本 讲 栏 目 开 关 现某些相同的性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表 述的一般性命题. 并且在一般情况下, 如果归纳的个别事物越 多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠. 热点分类突破 专题三 第3讲 (1)在数列{an}中,若 a1=2,a2=6,且当 n∈N*时, 2 an+2 是 an· an+1 的个位数字,则 a2 014=________. 本 讲 栏 目 开 关 解析 由a1=2,a2=6, 得 a3=2,a4=2,a5=4,a6=8,a7=2,a8=6,…, 据此周期为 6, 又 2 014=6×335+4, 所以 a2 014=a4=2. 热点分类突破 专题三 第3讲 (2)如图所示:有三根针和套在一根针上的 n 个金属片,按下 列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 本 讲 栏 目 开 关 a.每次只能移动一个金属片; b.在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小 的金属片上面. 将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移 动的次数记为 f(n). 则①f(3)=________;②f(n)=________. 热点分类突破 解析 ①f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2f(2)+1=7. 专题三 第3讲 ②先把上面的 n-1 个金属片移到 2 号针, 需要 f(n-1)次,然后把最下面的一个金属片移到 3 号针, 本 讲 栏 目 开 关 需要 1 次,再把 2 号针上的 n-1 个金属片移到 3 号针, 需要 f(n-1)次,所以 f(n)=2f(n-1)+1, 得 f(n)+1=2[ f(n