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线性代数考题及答案A

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2005 级线性代数考试试题

院系_____________________;学号__________________;姓名___________________

一、单项选择题(每小题 2 分,共 40 分) 。

?1 4 ? ?1 2? ?1 2 3? ? ? 1.设矩阵 A ? ? ?, B ? ? 4 5 6 ?, C ? ?2 5? ,则下列矩阵运算无意义の是 3 4 ? ? ? ? ? ?3 6 ? ?
A. BAC B. ABC
2





C. BCA

D. CAB 】

2.设 n 阶方阵 A 满足 A –E =0,其中 E 是 n 阶单位矩阵,则必有【 A. A=A
-1

B.A=-E

C. A=E

D.det(A)=1 ,则 det(-2A)= D.1 】 【 】

3.设 A 为 3 阶方阵,且行列式 det(A)= A.4 B.-4 C.-1

1 2

4.设 A 为 3 阶方阵,且行列式 det(A)=0,则在 A の行向量组中【 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量,其对应分量成比例 C. 存在一个行向量,它是其它两个行向量の线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量の线性组合 5.设向量组 a1 , a2 , a3 线性无关,则下列向量组中线性无关の是【 A. a1 ? a2 , a2 ? a3 , a3 ? a1 C. a2 ,2a3 ,2a2 ? a3 B. a1 , a2 ,2a1 ? 3a2 D. a1 , a2 , a1 ? a3



6.向量组(I): a1 ,?, am (m ? 3) 线性无关の充分必要条件是【 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零の常数 k1 ,?, k m , 使k1a1 ? ? ? k m am ? 0



7.设 a 为 m ? n 矩阵,则 n 元齐次线性方程组 Ax ? 0 存在非零解の充分必要条件是





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A. A の行向量组线性相关 C. A の行向量组线性无关

B. A の列向量组线性相关 D. A の列向量组线性无关

8.设 a i 、 bi 均为非零常数( i =1,2,3) ,且齐次线性方程组 ? の基础解系含 2 个解向量,则必有 【 】

?a1 x1 ? a 2 x 2 ? a3 x3 ? 0 ? b1 x1 ? b2 x 2 ? b3 x3 ? 0
a1 a3 b1 b2

a1 a2 ?0 A. b2 b3

B.

a1 a2 b1 b2

?0

a a a C. 1 ? 2 ? 3 b1 b2 b3

D.

?0

? 2 x1 ? x 2 ? x3 ? 1 ? x1 ? 2 x 2 ? x3 ? 1 9.方程组 ? ? 3 x ? 3x ? 2 x ? a 1 2 3 ?
A. a=-3 B. a=-2

有解の充分必要の条件是





C. a=3

D. a=2

10. 设η 1,η 2,η 3 是齐次线性方程组 Ax = 0 の一个基础解系,则下列向量组中也为该方程组の一个基础 解系の是 【 】 B. 与η 1,η 2,η 3 等秩の向量组 D. η 1,η 1+η 3,η 1+η 2+η 】
3

A. 可由η 1,η 2,η 3 线性表示の向量组 C.η 1-η 2,η 2-η 3,η 3-η
1

11. 已知非齐次线性方程组の系数行列式为 0,则 【 A. 方程组有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解

B. 方程组可能无解,也可能有无穷多解 D. 方程组无解 【 】

12.n 阶方阵 A 相似于对角矩阵の充分必要条件是 A 有 n 个 A.互不相同の特征值 C.线性无关の特征向量

B.互不相同の特征向量 D.两两正交の特征向量 【 】 B. {( a1 , a 2 , ?, a n ) | D. {( a1 , a 2 , ?, a n
n

13. 下列子集能作成向量空间 Rn の子空间の是 A. {(a1 , a2 ,?, an ) | a1a2 ? 0} C. {(a1 , a2 ,?, an ) | ai ? z, i ? 1,2,?, n}

?a ) | ?a
n1 i? i ?1

i i

? 0} ? 1}

14. F3 の两个子空间 V1={(x1,x2,x3)|2x1-x2+x3=0}, V2={(x1,x2,x3)|x1+x3=0}, 则子空间 V1 ? V2 の维数为 【 】 A. 二维 C. 三维 B. 一维 D. 零维 】

15. 设 Mn(R)是 R 上全体 n 阶矩阵の集合, 定义 ? ( A) ? det A, A ? M n ( R) , 则 ? 是 Mn(R)到 R の【

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A. 一一映射 C. 一一对应

B. 满射 D. 既不是满射又不是一一对应 】

15. 令 ? ? ( x1 , x2 , x3 ) 是 R3 の任意向量,则下列映射中是 R3 の线性变换の是 【 A. ? (? ) ? ? ? ? , ? ? 0
2 3 C. p(? ) ? ( x1 , x2 , x2 )

B.

? (? ) ? (2x1 ? x2 ? x3 , x2 ? x3 ,0)

D. w(? ) ? (cosx1 , cos x2 ,0) 】 B.

17.下列矩阵中为正交矩阵の是 【

?1 0 0 ? ? ? A. 0 1 1 ? ? ? ? 0 1 1 ? ?

1 ?1 2? ? 5? ?2 - 1?

?1 C. ? ?0

- 1? 1? ?

18.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B ? ? A. ?

?1 ?1

0? 4? ?

?1 0 ? ? ,E 为 2 阶单位矩阵,则方阵 E–A 必相似于矩阵【 ?2 - 3? 0? 0? ?- 1 0 ? ?0 ?- 1 B. ? C. ? D. ? ? ? ? 4? ? 1 - 4? ?- 2 ?- 2 - 4 ?


? 2 - 2 1? 1? 2 1 - 2? D. ? 3? ? ?1 2 2? ?



2 19.二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x1 ? 2x1 x2 ? 2x2 x3 の秩等于【

A.0

B.1

C.2

D.3 】

?1 0 0 ? ? ? 20.若矩阵 A ? 0 2 a 正定,则实数 a の取值范围是【 ? ? ? ? 0 a 8 ? ?
A. a < 8 C. a <-4 B. a >4 D.-4 < a <4

二、填空题(每小题 2 分,共 20 分) 。 21.设矩阵 A ? ?

?1 - 1 3? ?2 0? ,B ? ? , 记 A T 为 A の转置,则 AT B = ? ? ?2 0 1? ?0 1?
.



?1 2 ? T ? 则行列式 det( AA )の值为 3 5 ? ? 4 3 8 23.行列式 9 5 1 の值为 2 7 6
22.设矩阵 A ? ?

.

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24.若向量组 a1 ? ( 1, 2, 3 ), a2 ? ( 4, t, 6 ), a 3 ? ( 0, 0, 1 ) 线性相关,则常数 t = 25.向量组(1,2) , (3,4) , (4,6)の秩为 26.齐次线性方程组 ? .

.

? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 の基础解系所含解向量の个数为 ?2 x1 ? x 2 ? 3 x3 ? 0

27.已知 x1 ? (1, 0, 2)T 、 x2 ? (3, 4, 5)T 是 3 元非齐次线性方程组 Ax ? b の两个解向量,则对应齐次 线性方程 Ax ? 0 有一个非零解 ? = .

?1 2 3 ? ? ? 28.矩阵 A ? 0 4 5 の全部特征值为 ? ? ? ?0 0 - 6 ? ?



29.设λ 是 3 阶实对称矩阵 A の一个一重特征值,ξ 1 ? ( 1, 1, 3 ) T 、ξ 2 ? ( 4, a, 12 ) T 是 A の属于特征值 λ の特征向量,则实常数 a= .

2 2 30. f ( x1 , x2 , x3 ) ? x1 ? 2x1 x2 ? 2x2 ? 4x1 x3 の相伴矩阵 A=

三、计算题(每小题 8 分,共 40 分)

0 -3 31.计算行列式 0 6

3 4 2 -2

4 1 2 7

5 0 の值。 -2 2

? 1 - 4 - 3? ? 1 - 5 - 3? 求 A-1。 32.设 A ? ? ? ? 1 6 4 ? ?

x1 ? 2 x 2 ? x3 ? x 4 ? 0 ? ? 33.求方程组 ? 3 x1 ? 6 x 2 ? x3 ? 7 x 4 ? 0 の基础解系与通解。 ? 2x ? 4x ? 2x ? 2x ? 0 2 3 4 ? 1

x1 ? 2 x 2 ? 3 ? ? 34.a 取何值时,方程组 ?4 x1 ? 7 x 2 ? x3 ? 10 有解?在有解时求出方程组の通解。 ? x 2 ? x3 ? a ?
35.设向量组 a1 , a2 , a3 线性无关。试证明:向量组 ?1 ? a1 ? a2 ? a3 , ? 2 ? a1 ? a2 , ? 3 ? a3 线性无关。

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2005 级线性代数考试试题参考答案及评分标准

一、单项选择题(本大题共 20 小题,每小题 2 分,共 40 分) 1.A 11.B 2.A 12.C 3.B 13.B 4.C 14.B 5.D 15.B 6.A 16.B 7.B 17.C 8.C 18.D 9.D 19.D 10.D 20.D

二、填空题(本大题共 10 空,每空 2 分,共 20 分)

? 2 ? 21. - 2 ? ? ? 6
26. 1

2? 0? ? 1? ?

22. 1

23. 360

24. 8

25. 2

27.(2,4,3) (或它の非零倍数)

T

28. 1、4、-6

29. 4

?1 ? 30. - 1 ? ? ?2

-1 2 0

2 ? 0? ? 0? ?

三、计算题(每小题 8 分,共 40 分)

0 3 4 5 3 4 5 ?3 4 1 0 31. …………1 分 ? 3 2 2 - 2 …………3 分 ? 96 . …………6 分 D? 0 2 2 ?2 6 9 2 0 6 9 2 ? 1 -4 -3 1 0 0 ? ? 1 ?5 ?3 0 1 0? 32. 解法 1: ( A | E ) ? ? ? ? ? ? 1 6 4 0 0 1 ? ? ?1 - 4 - 3 1 0 0 ? ?1 0 - 3 5 - 4 0 ? ? ? ? ?? ? 0 - 1 0 - 1 1 0 ? …………2 分 ? ? 0 - 1 0 - 1 1 0 ? …………4 分 ? ? ?0 2 1 1 0 1? ? ? 0 0 1 -1 2 1 ? ?
?1 0 0 2 2 3 ? ? ?? ? 0 1 0 1 - 1 0 ? …………5 分 ? ? 0 0 1 - 1 2 1? ?
解法 2: det(A)=-1

? 2 2 3? ? ?A ? ? ? 1 - 1 0 ? ,……6 分. ? ? -1 2 1? ?
?1

?- 2 - 2 - 3? ? A ?? ? - 1 1 0 ? …………5 分 ? ? -1 2 1? ?
*

? 2 2 3? ? ?A ?? ? 1 - 1 0? …………6 分 ? ? - 1 2 1? ?
-1

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27.

?- 2 - 2 - 3? ? A ?? ? - 1 1 0 ? …………2 分 ? ? -1 2 1? ?
*
T T

一个基础解系: ? =(-2, 1, 0, 0) , ? =(2, 0, -1, 1) …………5 分 通解为 x ? k1?1 ? k 2? 2 ( k 1 、 k 2 是任意常数)…………6 分

33.

3? ?1 2 0 ? A ? ? 0 -1 1 -2 ? ?, ? ? 0 0 0 a-2 ? ?
故当且仅当 a=2 时,有解。 当 a ? 2 时,得 ?

? x1 ? 3 ? 2 x 2 ( x 是任意) , ? x 3 ? ?2 ? x 2
或?

? 3? ? ? 2? ? ? ? ? (k是任意常数) …………6 分 所以 x ? 0 ? k 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?1 ? ?

? x1 ? ?1 ? 2 x3 ? x 2 ? 2 ? x3

( x3 任意 ),

?? 1? ? ? 2? ? ? ? ? (k是任意常数). …………6 分 即x ? 2 ?k 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ?1 ? ?
35.证一:设有数 x1 , x2 , x3 使 x1 ?1 ? x2 ? 2 ? x3 ? 3 ? 0, …………1 分 即 ( x1 ? x2 )a1 ? ( x1 ? x2 )a2 ? ( x1 ? x3 )a3 ? 0 由 a1 , a2 , a3 线性无关,有

? x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ?x ? 1

?0 ? 0 …………1 分 ? x3 ? 0

该方程组只有零解 x1 ? x2 ? x3 ? 0 故 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关。…………5 分 证二:因 a1 , a2 , a3 线性无关, ?1 , ? 2 , ? 3 用 a1 , a2 , a3 线性表出の系数行列式

1

1

1

? ? 1 -1 0 ? 0 0 1

1

1

1 -1

? ?2 ? 0 故线性无关。 (若只证明△≠0, 不强调 a1 , a2 , a3 线性无关这一条件

就得出 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关の结论,扣 2 分) 。故命题得证。

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