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浙江专版2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数


第四节

二次函数与幂函数

1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=ax +bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h) +k(a≠0),顶点坐标为(h,k); 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为 f(x)的零点. (2)二次函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 R
2 2

y=ax2+bx+c(a>0)

y=ax2+bx+c(a<0)

?4ac-b ,+∞? ? 4a ? ? ?
在?-∞,- ?上减, 2a? ? 在?- ,+∞?上增 ? 2a ?

2

?-∞,4ac-b ? ? ? 4a ? ?
在?-∞,- ?上增, 2a? ? 在?- ,+∞?上减 ? 2a ?

2

?

b?

?

b?

单调性

?

b

?

?

b

?

对称性 2.幂函数

函数的图象关于 x=- 对称 2a

b

(1)定义:形如 y=x (α ∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. (2)五种常见幂函数的图象与性质 函数 特征 性质 图象 1 2

α

y=x

y=x2

y=x3

y=x

y=x-1

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

1

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性







非奇非偶



单调性



(-∞,0)减, (0,+∞)增





(-∞,0)和 (0,+∞)减

公共点

(1,1)

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二次函数 y=ax +bx+c,x∈R,不可能是偶函数.(
2 2

)
2

4ac-b (2)二次函数 y=ax +bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 .( 4a (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).(
n

)

) )

(4)当 n>0 时,幂函数 y=x 在(0,+∞)上是增函数.( [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(教材改编)已知幂函数 f(x)=x 的图象过点(4,2),若 f(m)=3,则实数 m 的值为 ( ) A. 3 C.± 9 D B.± 3 D.9

α

1 α 2α [由题意可知 4 =2 =2,所以 α = . 2

1 所以 f(x)=x = x, 2 故 f(m)= m=3? m=9.] 3.已知函数 f(x)=ax +x+5 的图象在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( 1? ? A.?0, ? ? 20? C.? 1? ? B.?-∞,- ? 20? ?
2

)

? 1 ,+∞? ? ?20 ?
? ?a>0, [由题意知? ?Δ <0, ?

? 1 ? D.?- ,0? ? 20 ?
? ?a>0, 即? ?1-20a<0, ?

C

1 得 a> .] 20

2

4.(2017·衢州市适应性考试 (二))二次函数 f(x)=2x +bx-3(b∈R)零点的个数是 ( ) A.0 C.2 C
2

2

B.1 D.4

[因为判别式 Δ =b +24>0,所以原二次函数有 2 个零点,故选 C.]
2

5.若二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(4,0)且函数的最大值为 9,则这个二次函数的表达式是________. 【导学号:51062031】

y=-x2+2x+8 [设 y=a(x+2)(x-4),对称轴为 x=1,
当 x=1 时,ymax=-9a=9,∴a=-1, ∴y=-(x+2)(x-4)=-x +2x+8.]
2

求二次函数的解析式 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试 确定此二次函数的解析式. [解] 法一(利用一般式): 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0).4 分 4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 4ac-b ? ? 4a =8,
2 2

10 分

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7.
∴所求二次函数为 f(x)=-4x +4x+7.15 分 法二(利用顶点式): 设 f(x)=a(x-m) +n. ∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 ∴抛物线的图象的对称轴为 x= = .4 分 2 2 1 ∴m= .又根据题意函数有最大值 8,∴n=8. 2
2 2

? 1?2 ∴y=f(x)=a?x- ? +8.8 分 ? 2? ? 1?2 ∵f(2)=-1,∴a?2- ? +8=-1,解得 a=-4, ? 2?
3

? 1?2 2 ∴f(x)=-4?x- ? +8=-4x +4x+7.15 分 ? 2?
法三(利用零点式): 由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1,2 分 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax -ax-2a-1.10 分 4a?-2a-1?-?-a? 又函数的最大值是 8,即 =8, 4a 解得 a=-4, ∴所求函数的解析式为 f(x)=-4x +4x+7.15 分 [规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式, 关键是灵活选取二次函数解析式的形 式,选法如下
2 2 2

[变式训练 1] 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3),它在 x 轴上截得的线段长为 2, 并且对任意 x∈R,都有 f(2-x)=f(2+x),求 f(x)的解析式. [解] ∵f(2-x)=f(2+x)对 x∈R 恒成立, ∴f(x)的对称轴为 x=2.2 分 又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2, ∴f(x)=0 的两根为 1 和 3.8 分 设 f(x)的解析式为 f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又∵f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,a=1.12 分 ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)=(x-1)(x-3), 即 f(x)=x -4x+3.15 分 二次函数的图象与性质 ?角度 1 二次函数图象的识别及应用 (1)设 abc>0,则二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是(
2 2

)

A

B

C

D

4

(2)已知函数 f(x)=x +mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实 数 m 的取值范围是________. (1)D (2)?-

2

? ?

2 ? ,0? [(1)由 A,C,D 知,f(0)=c<0. 2 ?

∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴 x=- >0,知 A,C 错误,D 符合要求.由 B 知 f(0) 2a =c>0,∴ab>0,∴x=-

b

b <0,B 错误. 2a

(2) 作出二次函 数 f(x) 的图象, 对于任 意 x ∈ [m , m + 1] ,都 有 f(x) < 0 , 则有
? ?f?m?<0, ? ?f?m+1?<0, ? ?m +m -1<0, ? 即? 2 ??m+1? +m?m+1?-1<0, ?
2 2

解得-

2 <m<0.] 2

?角度 2 二次函数的最值问题 (1)(2017·绍兴一模)若 xlog52≥-1, 则函数 f(x)=4 -2 ( ) A.-4 C.-1 B.-3 D.0
2

x

x+1

-3 的最小值为

(2)(2017·浙江五校第一次联考)已知函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在区间[0,1]上的最 大值为 2,则 a 的值为( A.2 C.2 或-3 (1)A ) B.-1 或-3 D.-1 或 2

1 x -1 x (2)D [(1)xlog52≥-1? log52 ≥log55 ? 2 ≥ , 5

1? x? 2 2 令 t=2 ?t≥ ?,则有 y=t -2t-3=(t-1) -4, ? 5? 1 当 t=1≥ ,即 x=0 时,f(x)取得最小值-4.故选 A. 5 (2)函数 f(x)=-(x-a) +a -a+1 图象的对称轴为 x=a,且开口向下,分三种情况 讨论如下: ①当 a≤0 时,函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在区间[0,1]上是减函数, ∴f(x)max=f(0)=1-a,由 1-a=2,得 a=-1. ②当 0<a≤1 时,函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在区间[0,a]上是增函数,在[a,1]上
5
2 2 2 2

是减函数, ∴f(x)max=f(a)=-a +2a +1-a=a -a+1, 1+ 5 1- 5 2 由 a -a+1=2,解得 a= 或 a= .∵0<a≤1,∴两个值都不满足,舍去. 2 2 ③当 a>1 时,函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在区间[0,1]上是增函数, ∴f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,∴a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2.] ?角度 3 二次函数中的恒成立问题 已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3 在 x∈[-1,1]上恒小于零,则实数
2 2 2 2

a 的取值范围为________. 【导学号:51062032】

?-∞,1? [由题意知 2ax2+2x-3<0 在[-1,1]上恒成立. ? ? 2? ?
当 x=0 时,适合; 3?1 1?2 1 当 x≠0 时,a< ? - ? - . 2?x 3? 6 1 1 1 因为 ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当 x=1 时,右边取最小值 ,所以 a< . x 2 2 1? ? 综上,实数 a 的取值范围是?-∞, ?.] 2? ? [规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解, 三点是指区间两 个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,用函数的单调性及分类讨论的思想即可完 成. 2.由不等式恒成立求参数的取值范围,常用分离参数法,转化为求函数最值问题,其 依据是 a≥f(x)?a≥f(x)max,a≤f(x)?a≤f(x)min.

与二次函数有关的综合问题 (2015·浙江高考)已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R),记 M(a,b)是|f(x)| 在区间[-1,1]上的最大值. (1)证明:当|a|≥2 时,M(a,b)≥2; (2)当 a,b 满足 M(a,b)≤2 时,求|a|+|b|的最大值. [解] (1)证明:由 f(x)=?x+ ? +b- , 4 ? 2? 得对称轴为直线 x=- .2 分 2 由|a|≥2,得?- ?≥1,故 f(x)在[-1,1]上单调, ? 2?
2

?

a?2

a2

a

? a?

6

所以 M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}. 当 a≥2 时,由 f(1)-f(-1)=2a≥4, 得 max{f(1),-f(-1)}≥2,即 M(a,b)≥2. 当 a≤-2 时, 由 f(-1)-f(1)=-2a≥4, 得 max{f(-1),-f(1)}≥2,即 M(a,b)≥2. 综上,当|a|≥2 时,M(a,b)≥2.8 分 (2)由 M(a,b)≤2 得 |1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2, 故|a+b|≤3,|a-b|≤3.12 分
?|a+b|,ab≥0, ? 由|a|+|b|=? ?|a-b|,ab<0, ?

得|a|+|b|≤3.

当 a=2,b=-1 时,|a|+|b|=3, 且|x +2x-1|在[-1,1]上的最大值为 2,14 分 即 M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为 3.15 分 [规律方法] (1)解决含参数的二次函数的最值问题,要形成分类讨论的习惯,重点在 “轴与区间”的位置关系,其次是“端点值”的大小关系. (2)解决|f(x)|的相关问题,可利用数形结合思想. (3)求解过程中,求出的参数值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要 求. [变式训练 3] (2016·浙江冲刺卷二)设二次函数 f(x)=ax -4x+c(a≠0). (1)当 c=4-a 时,讨论函数 g(x)=|f(x)|的单调性; (2)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),且 f(1)≤4,求 u= [解] (1)当 c=4-a 时,
2 2

a c + 的最大值. c2+4 a2+4

f(x)=ax2-4x+4-a=a(x-1)?x-

? ?

4-a?

(a≠0), a ? ?

? ? 4-a??(a≠0).4 分 则 g(x)=|f(x)|=|a|??x-1??x- ?? ? ?
a ??
当 4-a 4-2a >1,即 >0,也即 0<a<2 时,

a

a

? 2? ?2 4-a?上 函数 g(x)在区间(-∞,1]上为减函数,在区间?1, ?上为增函数,在区间? , ? ?
a?

?a

a ?

为减函数,在区间?

?4-a,+∞?上为增函数.6 分 ? ? a ?
2

当 a=2 时,g(x)=|f(x)|=2(x-1) ,则函数 g(x)在区间(-∞,1]上为减函数,在区
7

间[1,+∞)上为增函数. 当 a<0 或 a>2 时,有 4-a? 4-a ? <1,则函数 g(x)在区间?-∞, ?上为减函数,在区间

a

?

a ?

?4-a,2?上为增函数,在区间?2,1?上为减函数,在区间[1,+∞)上为增函数.9 分 ? a ?a ? a? ? ? ? ?
4ac-16 (2)由二次函数 f(x)的值域为[0,+∞)知 a>0,且 =0,即 a>0,c>0,且 ac= 4a 4.
2 a2+c2 ?a+c? -2ac 1 u = 2 + 2 = 2 + 2 = = = c +4 a +4 c +ac a +ac ac?a+c? 4?a+c? 4

a

c

a

c

??a+c?- 8 ?,令 x=a+c,由 f(1)≤4,得 a+c≤8,又 a>0,c>0,且 ac=4,所以 a ? a+c? ? ?
+c≥2 ac=4,13 分 1? 8? a c 1 故 4≤x≤8,而 u= ?x- ?在区间[4,8]上是增函数,故 u= 2 + 2 的最大值为 4? x? c +4 a +4 4

? 8? 7 ×?8- ?= .15 分 ? 8? 4
幂函数的图象与性质

(1)幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图象是(

)

A
2

B
*

C

D

(2)已知幂函数 f(x)=xm -2m-3(m∈N )的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减 函数,则 m 的值为________. (1)C 1 α α (2)1 [(1)令 f(x)=x ,则 4 =2,∴α = , 2

1 ∴f(x)=x . 2 (2)∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴m -2m-3<0,解得-1<m<3. 又 m∈N ,∴m=1 或 m=2. 由于 f(x)的图象关于 y 轴对称. ∴m -2m-3 的值应为偶数, 又当 m=2 时,m -2m-3 为奇数, ∴m=2 舍去.因此 m=1.] [规律方法] 1.幂函数的形式是 y=x (α ∈R),其中只有一个参数 α ,因此只需一个
8
α 2 2 * 2

条件即可确定其解析式. 2.若幂函数 y=x (α ∈R)是偶函数,则 α 必为偶数.当 α 是分数时,一般将其先化 为根式,再判断. 3.若幂函数 y=x 在(0,+∞)上单调递增,则 α >0,若在(0,+∞)上单调递减, 则 α <0. [变式训练 4] (1)设 a=0.5 , b=0.9 ,c=log50.3,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>c>b C.a>b>c (2)若(a+1) (1)D <(3-2a) B.c>a>b D.b>a>c ,则实数 a 的取值范围是________. )
α α

2? ? (2)?-1, ? [(1)a=0.5 =0.25 ,b=0.9 ,所以根据幂函数的性质知 b>a 3? ?

>0,而 c=log50.3<0,所以 b>a>c. (2) 易 知 函 数 y = x 的 定 义 域 为 [0 , + ∞) , 在 定 义 域 内 为 增 函 数 , 所 以

a+1≥0, ? ? ?3-2a≥0, ? ?a+1<3-2a,

2 解得-1≤a< .] 3

9

[思想与方法] 1.二次函数的三种形式的选法 (1)已知三个点的坐标时,宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时,常使用顶点 式. (3)已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f(x)更方便. 2.研究二次函数的性质要注意 (1)结合图象分析; (2)含参数的二次函数,要进行分类讨论. 3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借 助其单调性进行比较. 4.幂函数 y=x (α ∈R)图象的特征 α >0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;
10
α

α <0 时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立. [易错与防范] 1. 对于函数 y=ax +bx+c, 若是二次函数, 就隐含着 a≠0, 当题目条件中未说明 a≠0 时,就要分 a=0,a≠0 两种情况讨论. 2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现 在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果 幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 课时分层训练(六) 二次函数与幂函数
2

A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 2? ?1 α 1.已知幂函数 f(x)=k·x 的图象过点? , ?,则 k+α =( ?2 2 ? A. C. C 3 .] 2 2.函数 f(x)=2x -mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当 x∈(-∞,-2] 时,f(x)是减函数,则 f(1)的值为( A.-3 C.7 B
2 2

)

1 2 3 2

B.1 D.2 2 2 1 ?1? ?1?α [由幂函数的定义知 k=1.又 f? ?= ,所以? ? = ,解得 α = ,从而 k+α = 2 2 ?2? 2 ?2?

) B.13 D.5

[函数 f(x)=2x -mx+3 图象的对称轴为直线 x= , 由函数 f(x)的增减区间可知 = 4 4
2

m

m

-2,∴m=-8,即 f(x)=2x +8x+3,∴f(1)=2+8+3=13.] 3.若幂函数 y=(m -3m+3)·xm -m-2 的图象不过原点,则 m 的取值是 ( A.-1≤m≤2 C.m=2 B
2 2 2

)

B.m=1 或 m=2 D.m=1
2

[由幂函数性质可知 m -3m+3=1,∴m=2 或 m=1.又幂函数图象不过原点,∴m

-m-2≤0,即-1≤m≤2,∴m=2 或 m=1.] 4.已知函数 y=ax +bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是(
2

)

11

A D

B

C

D

[由 a+b+c=0,a>b>c 知 a>0,c<0,则 <0,排除 B,C.又 f(0)=c<0,所

c a

以也排除 A.] 5.若函数 f(x)=x -ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于(
2

)

【导学号:51062033】 A.-1 C.2 B
2

B.1 D.-2

[∵函数 f(x)=x -ax-a 的图象为开口向上的抛物线,

∴函数的最大值在区间的端点取得. ∵f(0)=-a,f(2)=4-3a,
?-a≥4-3a, ? ∴? ? ?-a=1, ?-a≤4-3a, ? 或? ? ?4-3a=1,

解得 a=1.]

二、填空题 6.(2017·金华十校联合测试改编)已知函数 f(x)=ax -2ax+1+b(a>0).若 f(x)在 [2,3]上的最大值为 4,最小值为 1,则 a=________,b=________. 【导学号:51062034】 1 0 [因为函数 f(x)的对称轴为 x=1,又 a>0,
? ?f?2?=1, ? ?f?3?=4,
2

所以 f(x)在[2,3]上单调递增,所以?
?a·2 -2a·2+1+b=1, ? 即? 2 ?a·3 -2a·3+1+b=4, ?
2

解方程得 a=1,b=0.]

7.已知 P=2

?2?3 ?1?3 ,Q=? ? ,R=? ? ,则 P,Q,R 的大小关系是________. ?5? ?2?
3 2 2 1 2 ? 2?3 3 ? ,根据函数 y=x 是 R 上的增函数且 2 >2>5, ?2?

P>R>Q [P=2- =?
得?

? 2?3 ?1?3 ?2?3 ? >? ? >? ? ,即 P>R>Q.] ? 2 ? ?2? ?5?
2

8.已知函数 f(x)=x -2ax+5 在(-∞,2]上是减函数,且对任意的 x1,x2∈[1,a+ 1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数 a 的取值范围是________. [2,3] [f(x)=(x-a) +5-a ,根据 f(x)在区间(-∞,2]上是减函数知,a≥2,则
2 2

f(1)≥f(a+1),
12

从而|f(x1)-f(x2)|max=f(1)-f(a)=a -2a+1, 由 a -2a+1≤4,解得-1≤a≤3, 又 a≥2,所以 2≤a≤3.] 三、解答题 9. 已知幂函数 f(x)=
x(m +m)
2 -1 2

2

(m∈N )经过点(2, 2), 试确定 m 的值, 并求满足条件 f(2

*

-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围. 【导学号:51062035】 [解] 幂函数 f(x)经过点(2, 2), ∴ 2=2
2 2 -1 (m +m)

,即 2 =2

2 -1 (m +m)



∴m +m=2,解得 m=1 或 m=-2.4 分 又∵m∈N ,∴m=1. ∴f(x)=x ,则函数的定义域为[0,+∞), 并且在定义域上为增函数. 2-a≥0, ? ? 由 f(2-a)>f(a-1),得?a-1≥0, ? ?2-a>a-1, 3 解得 1≤a< . 2
*

10 分

? 3? ∴a 的取值范围为?1, ?.15 分 ? 2?
10.已知函数 f(x)=x +(2a-1)x-3, (1)当 a=2,x∈[-2,3]时,求函数 f(x)的值域; (2)若函数 f(x)在[-1,3]上的最大值为 1,求实数 a 的值. [解] (1)当 a=2 时,f(x)=x +3x-3,x∈[-2,3], 3 对称轴 x=- ∈[-2,3],2 分 2 21 ? 3? 9 9 ∴f(x)min=f?- ?= - -3=- , 4 ? 2? 4 2
2 2

f(x)max=f(3)=15,

? 21 ? ∴值域为?- ,15?.7 分 ? 4 ?
2a-1 (2)对称轴为 x=- . 2 2a-1 1 ①当- ≤1,即 a≥- 时, 2 2

f(x)max=f(3)=6a+3,
13

1 ∴6a+3=1,即 a=- 满足题意;10 分 3 2a-1 1 ②当- >1,即 a<- 时, 2 2

f(x)max=f(-1)=-2a-1,
∴-2a-1=1,即 a=-1 满足题意. 1 综上可知 a=- 或-1.15 分 3 B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.(2017·浙江学军中学期中)函数 f(x)=(m -m-1)x
2 9 5 4m -m -1

是幂函数,对任意的 x1,

f?x1?-f?x2? x2∈(0,+∞),且 x1≠x2,满足 >0,若 a,b∈R,且 a+b>0,ab<0, x1-x2
则 f(a)+f(b)的值( A.恒大于 0 C.等于 0 A [∵f(x)=(m -m-1)x
2 2 4m -m -1 9 5

) B.恒小于 0 D.无法判断 是幂函数,

∴m -m-1=1,解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,指数 4×2 -2 -1=2 015>0,满足题意. 当 m=-1 时,指数 4×(-1) -(-1) -1=-4<0,不满足题意, ∴f(x)=x
2 015 9 5 9 5

.
2 015

∴幂函数 f(x)=x

是定义域 R 上的奇函数,且是增函数.

又∵a,b∈R,且 a+b>0,∴a>-b, 又 ab<0,不妨设 b<0, 则 a>-b>0,∴f(a)>f(-b)>0, 又 f(-b)=-f(b), ∴f(a)>-f(b),∴f(a)+f(b)>0.故选 A.] 2.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x ∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b] 称为“关联区间”.若 f(x)=x -3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为________. 【导学号:51062036】
2

?-9,-2? [由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m 在[0,3] ? 4 ? ? ?
上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数 y=m 与 y=x -5x
2

14

+4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知, 当 x∈[2,3]时,

? ? y=x2-5x+4∈?- ,-2?,
9 ? 4

?

? 9 ? 2 故当 m∈?- ,-2?时,函数 y=m 与 y=x -5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.] ? 4 ?
3.(2017·湖州市调测)已知函数 f(x)=e (其中 e 是自然对数的底数),g(x)=x +ax +1,a∈R. (1)记函数 F(x)=f(x)·g(x),且 a>0,求 F(x)的单调递增区间; (2)若对任意 x1,x2∈[0,2],x1≠x2,均有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,求实数
x
2

a 的取值范围.
[解] (1)因为 F(x)=f(x)·g(x)=e (x +ax+1), 所以 F′(x)=e [x+(a+1)](x+1).2 分 令 F′(x)>0,因为 a>0,得 x>-1 或 x<-(a+1),5 分 所以 F(x)的单调增区间为(-∞,-a-1)和(-1,+∞).6 分 (2)因为对任意 x1,x2∈[0,2]且 x1≠x2, 均有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立, 不妨设 x1>x2,根据 f(x)=e 在[0,2]上单调递增, 所以有 f(x1)-f(x2)>|g(x1)-g(x2)|对 x1>x2 恒成立,8 分 所以 f(x2)-f(x1)<g(x1)-g(x2)<f(x1)-f(x2)对 x1,x2∈[0,2],x1>x2 恒成立, 即?
?f?x1?+g?x1?>f?x2?+g?x2?, ? ? ?f?x1?-g?x1?>f?x2?-g?x2?
x x x
2

对 x1,x2∈[0,2],x1>x2 恒成立,

所以 f(x)+g(x)和 f(x)-g(x)在[0,2]上都是单调递增函数.11 分 当 f′(x)+g′(x)≥0 在[0,2]上恒成立时, 得 e +(2x+a)≥0 在[0,2]上恒成立, 得 a≥-(e +2x)在[0,2]上恒成立. 因为-(e +2x)在[0,2]上为单调减函数, 所以-(e +2x)在[0,2]上取得最大值-1,解得 a≥-1.13 分 当 f′(x)-g′(x)≥0 在[0,2]上恒成立时, 得 e -(2x+a)≥0 在[0,2]上恒成立,即 a≤e -2x 在[0,2]上恒成立, 因为 e -2x 在[0,ln 2]上单调递减,在[ln 2,2]上单调递增, 所以 e -2x 在[0,2]上取得最小值 2-2ln 2, 所以 a≤2-2ln 2,14 分 所以实数 a 的取值范围为[-1,2-2ln 2].15 分
x x x x x x x x

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