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江苏省苏州市2011-2012学年度第一学期高一数学期末复习试卷

高一数学复习试卷(四)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题纸相应 ..... 位置上. ... 1. 2. 3. 4.
2 已知数集 M ? x ,1 ,则实数 x 的取值范围为

?

?



. ▲ ▲ ▲ . . .

设点 A? x, y ? 是 300 角终边上异于原点的一点,则
?

幂函数 f ? x ? 的图象经过点 3, 3 ,则 f ? x ? 的解析式是 方程 lg x ? 4 ? 2 x 的根 x ? ? k , k ? 1? , k ? Z ,则 k ? 求值: sin

?

?

y 的值为 x

5.

6. 7.

14? ? 25? ? ▲ . ? cos ? ? ?= 3 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? 已知向量 a ? ? ?1,1? , b ? ?1, 2 ? ,且 2a ? b / /(a ? ?b ) ,则 ? =

?

?





函数 y ? ln

1 的图像先作关于 x 轴对称得到图像 C1 ,再将 C1 向右平移一个单位得到图 x

像 C2 ,则 C2 的 解析式为 ▲ . 已知扇形的周长为 8cm ,则该扇形的面积 S 的最大值为 函数 y ? ▲ .

8. 9.

log 1 ? 2 ? x ? 的定义域为
3



. ▲ .

10. 若 a ? 1, b ?

?

?

? ? ? ? ? 2 ,且 a ? b ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为

?

?

? ? ? ? 3? ?cos x, ? ? ? x ? 0 ? 11. 设 f ? x ? 是定义域为 R ,最小正周期为 的函数,若 f ? x ? = ? ? 2 ?, 2 ?sin x, ? 0 ? x ? ? ? ?
则 f ??

? 15? ? ?? ? 4 ?





12. 已知 O 为原点,点 A、B 的坐标分别为 ? a,0? , ? 0, a ? 其中常数 a ? 0 ,点 P 在线段 AB 上,且 AP ? t AB ? 0 ? t ? 1? ,则 OA ? OP 的最大值为 13. 定 义 在 区 间 ? ?2 , 上 ? 2 的 偶 函 数 g ? x?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?





, 当 x ? 0 时 g ? x? 单 调 递 减 , 若 ▲ .

g ?1 ? m? ? g ? m? ,则实数 m 的取值范围是

1

14. 若 关 于 x 的 方 程 ▲ .

|x| ? kx 有 三 个 不 等 实 数 根 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 x?2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分)
2 2 设集合 A ? x | x ? 4a ? ? a ? 4 ? x, a ? R , B ? x | x ? 4 ? 5 x .

?

?

?

?

(1)若 A ? B ? A ,求实数 a 的值; (2)求 A ? B , A ? B .

16. (本小题满分 14 分)

? 3? ? sin ?? ? ? ? ? 2 ? sin ?? ? 3? ? 2 ? ? ? ;( 2 ) 已 知 t a n ? 2 ?? ? ? , ? , 求 : 1 ) ( ? , 2 ? cos ? 3? ? ? ? ? 1 ?
? ? ? sin ? ? ? ? ? . ? 4 ?

17. (本小题满分 15 分) 已知向量 a = ?1, ?2? , b ? ?3,4? . (1)若 ?3a ? b? / / ? a ? kb? ,求实数 k 的值; (2)若 a ? ? ma ? b? ,求实数 m 的值.

2

18. (本小题满分 15 分) 函数 f

? x? ? s i n??

?? ? x? ?? ? ?? 0, |? ?| ? 在 它 的 某 一 个 周 期 内 的 单 调 减 区 间 是 2? ?

? 5? 11? ? ? 12 , 12 ? . ? ?
(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)将 y ? f ? x ? 的图象先向右平移 的

? 个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来 6

1 ? ? 3? ? 倍 (纵坐标不变) 所得到的图象对应的函数记为 g ? x ? , , 求函数 g ? x ? 在 ? , 2 ?8 8 ? ?

上的最大值和最小值.

19. (本小题满分 16 分) 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查 研究中, 发现其在 40 分钟的一节课中, 注意力指数 p 与听课时间 t 单 ( 位:分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当 t ? ? 0,14? 时,曲线 是 二 次 函 数 图 象 的 一 部 分 , 当 t ??1 4 , 4?0时 , 曲 线 是 函 数

y ? loga ? x ? 5? ? 83? a ? 0, a ? 1? 图象的一部分.根据专家研究,
当注意力指数 p 大于 80 时学习效果最佳. (1)试求 p ? f ? t ? 的函数关系式; (2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.

20. (本小题满分 16 分)
x 已知函数 f ? x ? ? log 2 4 ? 1 ? kx, ? k ? R ? 是偶函数.

?

?

(1)求 k 的值; (2)设函数 g ? x ? ? log 2 ? a ? 2 ?
x

? ?

4 ? a ? ,其中 a ? 0. 若函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象有且 3 ?

只有一个交点,求 a 的取值范围.

3

2011~2012 学年第一学期期末复习试卷(4) 高一数学 1. {x | x ? R, 且 x ? ?1} 5. 2. ? 3 6. ? 3. f ( x) ? x 2 7. y ? ln( x ? 1)
1

4. 1 8. 4

3+ 2 2

1 2

9. [1, 2) 13. [ ?1, ) 15. (本题满分 14 分) 解:

10.

? 4
1 2

11.

2 2

12. a

2

1 2

14. (0, )

A ? ?x x ? 4或x ? a?,B ? ?1 4? ,

.

4分 8分 ; 10分 12分 14分 2分

(1) 因为 A ? B ? A ,所以 A ? B ,由此得 a ? 1 或 a ? 4 ; (2) 若 a ? 1 ,则 若 a ? 4 ,则
A ? B ? ?1 4? ,

,所以

A ? B ? ?1 4? ,



A ? B ? ?1 4? ,

A ? ?4?

,所以 A ? B ? {1,4} , A ? B ? {4} ; ,所以 A ? B ? {1,4,a} , A ? B ? {4} .

若 a ? 1且a ? 4 ,则

A ? ?4,a?

16. 解:∵ tan ? ? 2, ? ? (? ,

3? ?2 ?1 ) ,∴ sin ? ? , cos ? ? 2 5 5 2 2 ? ? sin ? ? 2 cos ? 5 5 ? 4 ? 5 ? 1. (1)原式= ………5 分= 1 ? cos ? ? 1 ?1 1? 5 5
(2) sin( ?

8分

? ? ) ? ? sin( ? ? ) ? ? sin cos ? ? cos sin ? 4 4 4 4 2 1 2 2 3 10 = ? ? ? ? 2 10 5 2 5

?

?

?

?

11 分 14 分

17. (1) 3a ? b ? (0, ?10) , a ? kb ? (1 ? 3k , ?2 ? 4k ) ,

4分

因为 (3a ? b) ∥ (a+kb) , 所以 ?10 ? 30k ? 0 ,所以 (2) ma ? b ? (m ? 3, ?2m ? 4) ,

k??

1 3.

7分

10分

4

因为 a ? (ma ? b) ,所以 m ? 3 ? 2(?2m ? 4) ? 0 , 所以 m ? ?1 . 18. 解: (1)由条件, 又 sin(2 ?

15分

5? ? ? ? ) ? 1, ∴ ? ? ? 12 3

T 11? 5? ? 2? ? ? ? , ∴ ??, 2 12 12 2 ?

∴? ? 2

2分 4分

∴ f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (2)将 y ? f ( x) 的图象先向右平移 ∴ g ( x ) ? sin(4 x ? 而 x ?[ ∴函数 g ( x) 在 [

?
3

)

6分 8分 10 分

? 3?
8 , 8
,

2? ) 3

? 2? ) 个单位,得 sin(2 x ? 6 3

], ??

?

? 3?
8 8

6

? 4x ?

2? 5? ? 3 6
1 2

12 分 15 分

] 上的最大值为 1,最小值为 ?

14] 19.【解】 (1)当 t ? [0, 时,
2 设 p ? f (t ) ? c(t ? 12) ? 82(c ? 0) ,………………2分

将(14,81)代入得 所以当
t ? [0, 14]

c ? ?1. 4

1 p ? f (t ) ? ? (t ? 12)2 ? 82 4 时, .
y ? log a ? x ? 5 ? ? 83

4分 ,得
a ? 1. 3

当 t ? [14,40] 时,将(14,81)代入

6分

?? 1 (t ? 12)2 ? 82, (0≤t ? 14), ? p ? f (t ) ? ? 4 ?log 1 (t ? 5) ? 83, (14≤t≤40). ? 3 于是

8分

?0≤t ? 14, ? ? 1 2 ?? 4 (t ? 12) ? 82 ? 80 12 ? 2 2 ? t ? 14. ? (2)解不等式组 得
?14≤t≤40, ? ?log (t ? 5) ? 83 ? 80 ? 1 ? 3

11分

解不等式组

得 14≤t ? 32.

14分

故当 12 ? 2 2 ? t ? 32 时, p(t ) ? 80 , 答:老师在

t ? ?12 ? 2 2, ? 32

时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳. 16分

20. 解: (1)∵ f ( x) ? log2 (4x ? 1) ? kx (k ?R) 是偶函数,
5

∴ f (? x) ? log2 (4? x ? 1) ? kx ? f ( x) 对任意 x ? R ,恒成立 即: log2 (4 ?1) ? 2x ? kx ? log2 (4 ?1) ? kx 恒成立,∴ k ? ?1
x x
x (2)由于 a ? 0 ,所以 g ( x) ? log 2 (a ? 2 ?

2分 5分

4 4 a) 定义域为 (log 2 , ?? ) , 3 3
7分

4 3 ∵函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有且只有一个交点,
也就是满足 2 ?
x

∴方程 log 2 (4 ? 1) ? x ? log 2 ( a ? 2 ?
x x

4 4 a) 在 (log 2 , ?? ) 上只有一解 3 3
9分

即:方程

4 4x ? 1 4 ? a ? 2 x ? a 在 (log 2 , ??) 上只有一解 x 3 2 3

x 令 2 ? t, 则 t ?

4 ,因而等价于关于 t 的方程 3
10 分

4 4 (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 (*)在 ( , ??) 上只有一解 3 3
① 当 a ? 1 时,解得 t ? ?

3 4 ? ( , ??) ,不合题意; 4 3
2

11 分

② 当 0 ? a ? 1 时,记 h(t ) ? (a ? 1)t ?

4 2a at ? 1 ,其图象的对称轴 t ? ?0 3 3(a ? 1)

∴函数 h(t ) ? (a ? 1)t ?
2

4 at ? 1 在 (0, ??) 上递减,而 h(0) ? ?1 3
13 分

∴方程(*)在 ( , ??) 无解

4 3

2 ③ 当 a ? 1 时,记 h(t ) ? (a ? 1)t ?

4 2a at ? 1 ,其图象的对称轴 t ? ?0 3 3(a ? 1)

所以,只需 h ( ) ? 0 ,即 ∴此时 a 的范围为 a ? 1

4 3

16 16 (a ? 1) ? a ? 1 ? 0 ,此恒成立 9 9
15 分 16 分

综上所述,所求 a 的取值范围为 a ? 1

6