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高中数学必修4知识总结(完整版)


学习数学要多做习题,边做边思考,先知其然而后知其所以然,实事求是,循序渐进,不怕艰难,持之以恒。 学习数学要多做习题,边做边思考,先知其然而后知其所以然,实事求是,循序渐进,不怕艰难,持之以恒。 —— 苏步青

高中数学必修四知识点总结
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?

2、角 α 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 α 为第几 象限角.第一象限角的集合为 α k ? 360o < α < k ? 360o + 90o , k ∈ Ζ

{

}

{ } 第三象限角的集合为 {α k ? 360 + 180 < α < k ? 360 + 270 , k ∈ Ζ} 第四象限角的集合为 {α k ? 360 + 270 < α < k ? 360 + 360 , k ∈ Ζ} 终边在 x 轴上的角的集合为 {α α = k ?180 , k ∈ Ζ} 终边在 y 轴上的角的集合为 {α α = k ?180 + 90 , k ∈ Ζ} 终边在坐标轴上的角的集合为 {α α = k ? 90 , k ∈ Ζ} 3、与角 α 终边相同的角的集合为 {β β = k ? 360 + α , k ∈ Ζ}
第二象限角的集合为 α k ? 360o + 90o < k ? 360o + 180o , k ∈ Ζ
o o o o o o o o o o o o o

4、已知 α 是第几象限角,确定

α
n

( n ∈ Ν ) 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正
*

半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 α 原来是第几象限对应的标号即为 所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 6、半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ,则角 α 的弧度数的绝对值是 α = 7、弧度制与角度制的换算公式: 2π = 360o , 1o =
? 180 ? o ,1 = ? ? ≈ 57.3 . 180 ? π ?
l . r

α
n

终边

π

o

8、若扇形的圆心角为 α (α 为弧度制) ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S , 则 l = r α , C = 2r + l ,
1 1 S = lr = α r 2 . 2 2

9、 (一) α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么:(1) y 叫做 α 的正弦,记做 sin α , 设
y 即 sin α = y ; (2) x 叫做 α 的余弦,记做 cos α ,即 cos α = x ; (3) 叫做 α 的正切,记做 tan α ,即 x y tan α = ( x ≠ 0) 。 x

(二)设 α 是一个任意大小的角, α 的终边上任意一点 Ρ 的坐标是 ( x, y ) ,它与原点的距离是

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y x y , cos α = , tan α = ( x ≠ 0 ) . r r x 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象 限余弦为正. 11、三角函数线: sin α = ΜΡ , cos α = ΟΜ , tan α = ΑΤ . y 12、同角三角函数的基本关系式:
r r = x 2 + y 2 > 0 ,则 sin α =

(

)

(1) sin 2 α + cos 2 α = 1 ( sin 2 α = 1 ? cos 2 α , cos 2 α = 1 ? sin 2 α ) ;
sin α = tan α ( 2) cos α

P T O M A x

sin α ? ? sin α = tan α cos α , cos α = tan α ?

? ?. ?

13、三角函数的诱导公式:

(1) sin ( 2kπ + α ) = sin α , cos ( 2kπ + α ) = cos α , tan ( 2kπ + α ) = tan α ( k ∈ Ζ ) . ( 2 ) sin (π + α ) = ? sin α , cos (π + α ) = ? cos α , tan (π + α ) = tan α . ( 3) sin ( ?α ) = ? sin α , cos ( ?α ) = cos α , tan ( ?α ) = ? tan α . ( 4 ) sin (π ? α ) = sin α , cos (π ? α ) = ? cos α , tan (π ? α ) = ? tan α .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

( 5 ) sin ? ?

? ?π ? ?π ? ?π ? ? α ? = cos α , cos ? ? α ? = sin α . ( 6 ) sin ? + α ? = cos α , cos ? + α ? = ? sin α . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

π

口诀:函数名改变,符号看象限. 14、图像变换的两种方式: 图像变换的两种方式: 图像变换的两种方式 (一)函数 y = sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y = sin ( x + ? ) 的图象 ( ? >0 是左移;? <0 是右移) ;再将函数 y = sin ( x + ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原 来的
1

ω

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有

点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 Α 倍(横坐标不变) ,得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象

( Α > 0, ω > 0 ) .
(二)函数 y = sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

ω

倍(纵坐标不变) ,得到函

数 y = sin ω x 的图象;再将函数 y = sin ω x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度( ? >0 是 ω

左移;? <0 是右移) ;得到函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的 (横坐标不变) 得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象 ( Α > 0, ω > 0 ) . , 纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 Α 倍

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的性质: 函数 y = Α sin ( ω x + ? )( Α > 0, ω > 0 ) 的性质: ①振幅 Α ; ②周期: Τ =


ω

; ③频率: f =

1 ω = ; ④相位: ω x + ? ; ⑤初相: ? . Τ 2π

函数 y = Α sin ( ω x + ? ) + Β ,当 x = x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x = x2 时,取得最大值为 ymax ,则
1 1 Τ ( ymax ? ymin ) , Β = ( ymax + ymin ) , = x2 ? x1 ( x1 < x2 ) . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

Α=



函 质



y = sin x

y = cos x

y = tan x

图象

定义域 值域

R

R

? π ? ? x x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ? 2 ? ?
R

[ ?1,1]
当 x = 2k π +

[ ?1,1]
π
2

( k ∈ Ζ ) 时,
π
2

当 x = 2kπ ( k ∈ Ζ ) 时,
ymax = 1 ;当 x = 2kπ + π

最值

ymax = 1 ;当 x = 2kπ ?

既无最大值也无最小值

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .
周期 奇偶性
2π 奇函数

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .
2π 偶函数

π
奇函数

π π? ? 在 ? 2 kπ ? , 2 k π + ? 2 2? ?

( k ∈ Ζ ) 上是增函数;在
单调性

在 [ 2kπ ? π , 2kπ ] ( k ∈ Ζ ) 上是 增函数;在 [ 2kπ , 2kπ + π ]

π π? ? 在 ? kπ ? , kπ + ? 2 2? ?

π 3π ? ? ? 2 kπ + 2 , 2 kπ + 2 ? ? ?

( k ∈ Ζ ) 上是减函数.

( k ∈ Ζ ) 上是增函数.

( k ∈ Ζ ) 上是减函数.
对称中心 ( kπ , 0 )( k ∈ Ζ ) 对称性 对称轴 x = kπ +

π
2

(k ∈ Ζ)

π ? ? 对称中心 ? kπ + , 0 ? ( k ∈ Ζ ) 2 ? ?
对称轴 x = kπ ( k ∈ Ζ )

? kπ ? 对称中心 ? , 0 ? (k ∈ Ζ) ? 2 ?

无对称轴

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16.三角函数奇偶性规律总结( A ≠ 0, ω ≠ 0


π
2 ,k ∈Z ,k ∈Z .

函数 y = A sin(ω x + φ ) 为奇函数的条件为 φ = kπ , k ∈ Z 函数 y = A sin(ω x + φ ) 为偶函数的条件为 φ = kπ + 函数 y = A cos(ω x + φ ) 为奇函数的条件为 φ = kπ +

π
2

函数 y = A cos(ω x + φ ) 为偶函数的条件为 φ = kπ , k ∈ Z 函数 y = A tan(ω x + φ ) 为奇函数的条件为 φ = 17.向量:既有大小,又有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 规定:零向量与任一向量平行.

kπ π , k ∈ Z 它不可能是偶函数. 2
数量:只有大小,没有方向的量. 零向量:长度为 0 的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零 非零向量. 非零

相等向量:长度相等且方向相同 方向相同的向量. 相反向量:长度相等且方向相反的向量. 方向相反 方向相同 方向相 18、向量加法:⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点.
C r a

r r r r r r ⑶三角形不等式: a ? b ≤ a ± b ≤ a + b .

r r r r ⑷运算性质:①交换律: a + b = b + a ;
r r r r r r ②结合律: a + b + c = a + b + c ;

Α

r b

Β

(

)

(

)

r r r r r ③a +0 = 0+a = a .

r r r r uuur uuu uuu a ? b = ΑC ? ΑΒ = ΒC

r r r r ⑸坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) .

19、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向减向量的终点指向被减向量终点. 见上图) (见上图) r r r r ⑵坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .
uuu r 设 Α 、 Β 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则 ΑΒ = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

20、向量数乘运算: r r ⑴实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 λ a . r r r r r r ① λ a = λ a ;②当 λ > 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ < 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相反;

r r r r 当 λ = 0 时, λ a = 0 .0 a = 0
r r r r ③ λ a + b = λ a + λb .

⑵运算律:

r r ① λ ( ? a ) = ( λ? ) a ;

r r r ② (λ + ? ) a = λa + ?a ;

(

)

r r ⑶坐标运算:设 a = ( x, y ) ,则 λ a = λ ( x, y ) = ( λ x, λ y ) .

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r r ur a r (4) a ≠ 0,则 r 表示与a同方向的单位向量,a

r a r r 表示与a反方向的单位向量。 a

r r r r r r 21 向量共线条件:(1)向量 a a ≠ 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使 b = λ a .

(

)

r r r r r (2)共线的坐标表示, a = ( x1 , y1 ) ,b = ( x2 , y2 ) , 设 其中 b ≠ 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 = 0 时, 向量 a 、
r r r b b ≠ 0 共线.
uuur

(

)

如图,OA、 不共线, 且 AP = t AB (t ∈ R), 用 OA, 表示 OP ; OB OB OP ? OA=t(OB ? OA),则OP =(1-t)OA + tOB 结论:已知O、A、B三点不共线, 若点 P 在直线 AB 上,则 OP = mOA + nOB, 且 m + n = 1.
ur uu r 22、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任 ur uu r ur uu r r r 意向量 a ,有且只有一对实数 λ1 、 λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2 . 不共线 (不共线 不共线的向量 e1 、 e2 叫做这一平面内所
有向量的一组基底) ur uu r ur uu r ur uu r 小结论: (1)若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量, xe1 + ye2 = me1 + ne2 , 则x=m,y=n
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur

uuur

uuuur

uuur uuur

uuur

ur uu r ur uu ur r (2)若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量, xe1 + ye2 = 0,则x=y=0 uuu r uuur Ρ Ρ 当 23、 分点坐标公式: 设点 Ρ 是线段 Ρ1Ρ 2 上的一点, 1 、 2 的坐标分别是 ( x1 , y1 ) , x2 , y2 ) , Ρ1Ρ = λ ΡΡ 2 分点坐标公式: (
? x + λ x2 y1 + λ y2 ? 时,可推出点 Ρ 的坐标是 ? 1 (会写出向量坐标,会运算。 ) , ?. 1+ λ ? ? 1+ λ

24、平面向量的数量积: r r r r r r r r ⑴定义: a ? b = a b cos θ a ≠ 0, b ≠ 0, 0o ≤ θ ≤ 180o .零向量与任一向量的数量积为 0 .

(

)

r r r a cos θ : a 在 b 方向上的投影

r r r b cos θ : b 在 a 方向上的投影 r uuu r r uuu r
r

注意:务必要算对两个非零向量的夹角:设两个非零向量 a = OA 与 b = OB , 称 ∠AOB = θ 为向量 a 与 b 的夹 注意:务必要算对两个非零向量的夹角: 算对两个非零向量的夹角 角 (0o ≤ θ ≤ 180o ) ,注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的。

r

r r r r r r ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ⊥ b ? a ? b = 0 .
r r r r r r r r r r r r ②当 a 与 b 同向时, a ? b = a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b = ? a b ;

r r r r2 r r r a ? a = a2 = a 或 a = a ? a .

r r r r ③ a ?b ≤ a b .

r r r r r r r r r r r r r r r r r ⑶运算律:① a ? b = b ? a ;② ( λ a ) ? b = λ a ? b = a ? λ b ;③ a + b ? c = a ? c + b ? c .

(

)

( )

(

)

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r r r r ⑷坐标运算:设两个非零向量 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 .

r r2 r (5)若 a = ( x, y ) ,则 a = x 2 + y 2 ,或 a = x 2 + y 2 .
r r r r (6)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ⊥ b ? x1 x2 + y1 y2 = 0 .
r r r r r r (7)设 a 、 b 都是非零向量, a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , θ 是 a 与 b 的夹角, r r a ?b x1 x2 + y1 y2 则 cosθ = r r = . 2 2 2 a b x1 + y12 x2 + y2

25、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β ;⑵ cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; ⑶ sin (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ;⑷ sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; ⑸ tan (α ? β ) = ⑹ tan (α + β ) =

tan α ? tan β 1 + tan α tan β tan α + tan β 1 ? tan α tan β

变形: tan α ? tan β = tan (α ? β )(1 + tan α tan β ) ) ( ; 变形: tan α + tan β = tan (α + β )(1 ? tan α tan β ) ) ( .

26、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2α = 2sin α cos α . 变形:
1 sin α cos α = sin 2α 2

⑵ cos 2α = cos2 α ? sin 2 α = 2cos2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α = (cos α + sin α )(cos α ? sin α ) 变形得到降幂公式: 1 + cos 2α cos 2 α = , 2 ⑶ tan 2α =
sin 2 α = 1 ? cos 2α . 2 tan 2 α = 1 ? cos 2α 1 + cos 2α

2 tan α . 1 ? tan 2 α
Β sin 2α 1 ? cos 2α . tan α = = Α 1 + cos 2α sin 2α

27、 Α sin α + Β cos α = Α 2 + Β 2 sin (α + ? ) ,其中 tan ? =
[2010 高考题解析,规范解题步骤 高考题解析 规范解题步骤]已知函数 f ( x ) = 解析, 其图象过点(

1 1 ?π ? sin 2 x sin ? + cos 2 x cos ? ? sin ? + ? ? ( 0<?<π ) , 2 2 ?2 ?

π 1 1 , )(Ⅰ)求 ? 的值; . (Ⅱ)将函数 y = f ( x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标 6 2 2 π 不变,得到函数 y = f ( x ) 的图象,求函数 g ( x ) 在[0, ]上的最大值和最小值. 4 1 1 π 2 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) = sin 2 x sin ? + cos x cos ? ? sin( + ? ) (0 < ? < π ) 2 2 2 1 1 + cos 2 x 1 cos ? ? cos ? 所以 f ( x ) = sin 2 x sin ? + 2 2 2
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1 1 = sin 2 x sin ? + cos 2 x cos ? 2 2 1 = (sin 2 x sin ? + cos 2 x cos ? ) 2 1 = cos(2 x ? ? ) 2
又 所以 即 又 函数图像过点 (

π 1

1 1 π = cos(2 × ? ? ) 2 2 6 cos( ? ? ) = 1 3
0 <? <π
所以 ? =

, ) 6 2

π

π
3

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x ) =

1 π 1 cos(2 x ? ) ,将函数 y = f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标 2 3 2

不变,得到函数 y = g ( x ) 的图像,可知

g ( x) = f (2 x) =
因为 所以

x ∈ [0, ] 4 4 x ∈ [0, π ]

π

1 π cos(4 x ? ) 2 3

因此 4 x ? 故 ?

π
3

∈ [?

π 2π
3 , 3

]
所以 y = g ( x ) 在 [0,

1 π ≤ cos(4 x ? ) ≤ 1 2 3

π

1 1 ] 上的最大值和最小值分别为 和 ? 4 2 4

为什么要学习数学? 为什么要学习数学? ——数学来源于生活 生活离不开数学。数学对个人,社会,世界都会产生影响! 数学来源于生活, ——数学来源于生活,生活离不开数学。数学对个人,社会,世界都会产生影响! 数学与人类文明一样古老, 有文明就一定有数学。 数学在其发展的早期就与人类的生活及社会活动有着密切 的关系,解决着各种各样的问题:食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换,房屋、仓库的建造,丈量 土地,兴修水利,编制历法等。随着数学的发展和人类文明的进步,数学的应用逐渐扩展到更一般的技术和科学 领域。从古希腊开始,数学就与哲学建立了密切的联系。近代以来,数学又进入了人文科学领域,并使人文科学 的数学化成为一种强大的趋势。 当今社会,数学的发展,计算机技术的广泛应用,可以说数学的足迹已经遍及人类知识体系的全部领域。从 卫星到核电站,高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点,无不是通过数学模型和数学方法并 借助计算机的控制来实现的。产品、工程的设计与制造,产品的质量控制,经济和科技中的预测和管理,信息处 理,资源开发和环境保护,经济决策等,无不需要数学的应用。数学在现代社会中有许多出人意料的应用,在许 多场合,它已经不再单纯是一种辅助性的工具,它已成为许多重大问题的关键性的思想与方法,由此产生的许多 成果,又悄悄的遍布在我们身边,改变着我们的生活方式。可以说数学对现代社会已产生了深远的影响,我们生 活在数学的时代。数学对社会发展的影响,一方面说明了数学在社会发展中的地位和作用,同时,也反映出在未 来社会中,社会的主体——人在数学方面所应具备的素养和素质。

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