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2010届高考数学复习指导


2010届高考数学复习 强化双基系列课件

19《三角函数两角和与差二倍角公式》

两角和与差, 两角和与差,二倍角公式 (一) 一

(一)两角和与差公式

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β tan α ± tan β tan (α ± β ) = 1 m tan α tan β

sin 2α = 2 sin α cos β 2 2 2 2 cos2α = cos α ? sin α = 2cos α ?1 = 1 ? 2sin α 2 tan α tan 2α = 2 1 ? tan α

(二)倍角公式

(1)两角和与差的三角函数公式能够解答的 ) 三类基本题型: 三类基本题型: 求值题,化简题,证明题。 求值题,化简题,证明题。 逆用” (2)对公式会“正用”,“逆用”,“变形使 )对公式会“正用” 用”。 (3)掌握“角的演变”规律,如 )掌握“角的演变”规律,

2α = (α + β ) + (α ? β ), β = (α + β ) ? α

(一)公式正用 例1、求值: 、求值:

? 5π ? (1)sin 555 (2)cot? ? 12 ? ? ?
o

例2

P(53 例1)

β? 1 ? ?α ? 2 设 . ? α ? ? = ? , sin ? ? β ? = , cos 2? 9 ? ?2 ? 3

π
2

< α < π ,0 < β <

π
2

, 求 cos(α + β ).

(二) 公式逆用 二 双基题1) 例1.P(53) ( 双基题

cos(π + β ) > 0, 求 sin(β ? 3π )

tan (α + β ) ? tan α ? tan β 3 例2、已知 、 = , tan α ? tan (α + β ) 4

(三).用边角关系的公式解三角形 三 用边角关系的公式解三角形 在三角形ABC中,角A..B.C对边 对边a,b,c 例4、(P53例2)在三角形 、 例 在三角形 中角 对边

a ?b sin( A ? B ) 证明 : = 2 sin C c
2 2

(四)综合 四 综合 例5、(P53例3) 、 例

α + β + γ ∈ (0, ),sin α + sin γ = sin β
2 cos β + cos γ = cosα , 求β ? α

π

三、课堂小结 在运用公式时,要注意公式成立的条件, 在运用公式时,要注意公式成立的条件,熟 练掌握公式的顺用、逆用、变形用, 练掌握公式的顺用、逆用、变形用,还要注 意各种的做题技巧。 意各种的做题技巧。

四、作业:

三角函数式的求值

三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应 用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”:给出非特殊角求式子的值。仔细 给角求值” 给出非特殊角求式子的值。 给角求值 观察非特殊角的特点,找出和特殊角之间的关系, 利用公式转化或消除非特殊角 (2)“给值求值”:给出一些角得三角函数式的 “给值求值” 求另外一些角得三角函数式的值。 值,求另外一些角得三角函数式的值。找出已知 角与所求角之间的某种关系求解 (3)“给值求角”:转化为给值求值,由所得函 “给值求角” 数值结合角的范围求出角。

(4)“给式求值”:给出一些较复杂的三角式的 “给式求值” 求其他式子的值。 值,求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简, 再求之 三角函数式常用化简方法:切割化弦、高次化低次 切割化弦、 切割化弦 注意点: 注意点:灵活角的变形和公式的变形 重视角的范围对三角函数值的影响, 对角的 重视角的范围对三角函数值的影响 , 范围要讨论

给角求值. 一.给角求值 给角求值 例1、计算 sin 40 、
0

(tan 10 ? 3 ) 的值。 的值。
0

练习:(全国高考) 练习 (全国高考)tan20°+4sin20°

[点评 “给角求值” 观察非特殊角的 点评] 给角求值 点评 给角求值” 特点,找出和特殊角之间的关系 注意特殊值象1、等,有时需将其转化 成某个角的三角函数,这种技巧在化 简求值中经常用到。

二.给值求值 给值求值 例2、例2、(P(55) 已知 、 、

3π π 1 sin( x ? ) cos( x ? ) = ? 4 4 4
求cos4x的值 的值. 的值

[点评 “给值求值” 关注: 点评] 给值求值 点评 给值求值” π 3π π (x? ),(x? ),与 , 等 系x与 x, π 关 , 2 4 4 2 2x与 x的 系 4 关

三.给值求角 给值求角 7 1 cos , tanβ = ? , 例3若α , β ∈ (0, π ) , α = ? 若

50

3

求α+2β。
[点评 “给值求角”:求角的大小,常分两步 点评] 给值求角 点评 给值求角” 求角的大小, 完成:第一步, 完成:第一步,先求出此角的某一三角函数 第二步,再根据此角的范围求出此角。 值;第二步,再根据此角的范围求出此角。 在确定角的范围时, 在确定角的范围时,要尽可能地将角的范围 缩小,否则易产生增解。 缩小,否则易产生增解。

四.给式求值 给式求值 例4:P(55例3)已知a为第二象限角,且

和sin2a+cos2a的值

5 α α cos + sin = ? 求sin ? con 2 2 2 2 2

α

α

“给式求值”:注意到公式中的特点 给式求值” 注意到公式中的特点 给式求值 用解方程组的方法得到。 用解方程组的方法得到
1 1 练习:已知 练习 已知 sin( + β) = ,sin( ? β) = α α 3 的值。 求tanα:tanβ的值。 2 α tanβ的值

三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: 三角函数式的求值的类型一般可分为 (1)“给角求值”: 给角求值” 给角求值 (2)“给值求值”: “给值求值” (3)“给值求角”: “给值求角” (4)“给式求值”:三角函数式常用化简方法: “给式求值” 切割化弦、高次化低次 注意点: 注意点:灵活角的变形和公式的变形 重视角的范围对三角函数值的影响, 对角的 重视角的范围对三角函数值的影响 , 范围要讨论 【作业布置】

三角函数的化简与证明

一、知识点 1、化简 、 (1)化简目标:项数习量少,次数尽量低,尽量 )化简目标:项数习量少,次数尽量低, 不含分母和根号 (2)化简三种基本类型: )化简三种基本类型: 1) 根式形式的三角函数式化简 ) 2) 多项式形式的三角函数式化简 ) 3)分式形式的三角函数式化简 (3)化简基本方法:用公式;异角化同角;异名 )化简基本方法:用公式;异角化同角; 化同名; 化切割为弦; 化同名 ; 化切割为弦 ; 特殊值与特殊角的三角函 数值互化。 数值互化。

2、证明及其基本方法 、 (1)化繁为简法 ) (2)左右归一法 ) (3)变更命题法 ) (4)条件等式的证明关键在于分析已知条件与求 ) 证结论之间的区别与联系 3、无论是化简还是证明都要注意: 、无论是化简还是证明都要注意: (1)角度的特点 ) (2)函数名的特点 ) (3)化切为弦是常用手段 ) (4)升降幂公式的灵活应用 )

范例解析

一.给式求值 给式求值

例4:P(55例3)已知a为第二象限角,且

和sin2a+cos2a的值

5 α α cos + sin = ? 求sin ? con 2 2 2 2 2

α

α

“给式求值”:注意到公式中的特点 给式求值” 注意到公式中的特点 给式求值 用解方程组的方法得到。 用解方程组的方法得到
1 1 练习:已知 练习 已知 sin( + β) = ,sin( ? β) = α α 3 的值。 求tanα:tanβ的值。 2 α tanβ的值

二.化简与证明 为第四象限角,化简: 例1:(1)已知 α 为第四象限角,化简: : )

1 ? sin α 1 ? cos α cos α + sin α 1 + sin α 1 + cos α
(2)书例1 书例1

sin(2α + β) sin β 求 : 证 ?2cos(α + β) = sinα sinα
练习: 练习:已知

270 < α < 360
o

o

,化简

1 1 + 2 2

1 1 + cos 2α 2 2

三.求三角最值 例2、P(55 例1) 试求函数 Y=sinx+cosx+2sinx cosx +2 的最大值 最小值 的最大值,最小值 最小值. π 若 x ∈ [0, ] 呢? 2 练习: 练习:已知

y = 2a sin x ? 2 2a sin x + a + b
2

? π? a,b的值 的定义域是 ?0, ? ,值域是 [? 5,1] ,求a,b的值 ? 2?

四.综合 例5、 P57例2 、 例 P是以 是以F1, F2 为焦点的椭圆上一点 且 为焦点的椭圆上一点,且 是以

∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = 2α
求证:椭圆的离心率 求证 椭圆的离心率 e=2cosa-1

三、小结
1、化简的三种基本类型:根式形式;分式形;多项形式 、化简的三种基本类型:根式形式;分式形; 2、化简方法:用公式;化同角;化同名;化切割为弦; 、化简方法:用公式;化同角;化同名;化切割为弦; 3、证明等式方法:化繁为简;左右归一;变更命题。 、证明等式方法:化繁为简;左右归一;变更命题。 4、条件等式的证明要注意条件与结论之间的区别与联 、 系,选用适当方法。 选用适当方法。 5、无论是化简还是求证,务必非常注意角度的特点。 、无论是化简还是求证,务必非常注意角度的特点。

四、作业: 作业:


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