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2011年普通高等学校招生全国统一考试广东卷文科数学试卷


绝密★ 绝密★启用前

试卷类型: 试卷类型:B

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。
1 参考公式:锥体体积公式 V = Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 参考公式 3

$ $ 线性回归方程 $ = bx + a 中系数计算公式 b = y $

∑ ( x ? x)( y ? y )
i =1 i i

n

∑ ( x ? x)
i =1 i

n

$ $ , a = y ? bx .

2

样本数据 x1 , x2 ,L , xn 的标准差 s = 其中 x, y 表示样本均值.

1 [( x1 ? x) 2 + ( x2 ? x)2 + L + ( xn ? x) 2 ] n

n 是正整数,则 a n ? b n = (a ? b)(a n ?1 + a n ? 2b + … + ab n ? 2 + b n ?1 ) . 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中 小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的.
1.设复数 z 满足 iz = 1 ,其中 i 为虚数单位,则 z =
A. ?i B. i C. ?1 D. 1 2.已知集合 A = {( x, y ) | x, y 为实数, x 2 + y 2 = 1} , = {( x, y ) | x, y 为实数, x + y = 1} , A I B 且 B 且 则

的元素个数为
B. 3 C. 2 D. 1 r r r r r r 3.已知向量 a = (1, 2) , b = (1, 0) , c = (3, 4) ,若 λ 为实数, (a + λ b)∥c,则 λ = A. 1 4 B. 1 2 C. 1 D. 2 A. 4

4.函数 f ( x) =

1 + lg(1 + x) 的定义域是 1? x B. (1, +∞) C. (?1,1) U (1, +∞) D. (?∞, +∞)

A. (?∞, ?1)

5.不等式 2 x 2 ? x ? 1 > 0 的解集是 1 A. (? ,1) 2 B. (1, +∞) C. (?∞,1) U (2, +∞) 1 D. (?∞, ? ) U (1, +∞) 2

?0 ≤ x ≤ 2 ? 6.已知平面直角坐标系 xoy 上的区域 D 由不等式组 ? x ≤ 2 给定,若 M ( x, y ) 为 D 上的动点, ?x ≤ 2 y ?

uuuu uuu r r 点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z = OM OA 的最大值为
A. 3 B. 4 C. 3 2
数学(文科)试题 B

D. 4 2
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7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个 正五棱柱对角线的条数共有 A. 20 B. 15 C. 12 D. 10

8.设圆 C 与圆 x 2 + ( y ? 3) 2 = 1 外切,与直线 y = 0 相切,则 C 的圆心轨迹为

A. 抛物线

B. 双曲线

C. 椭圆

D. 圆

9.如图 1-3,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形、等

腰三角形和菱形,则该几何体体积为
2 3

A. 4 3
C. 2 3

B. 4 D. 2
2

正俯图 图1

2 侧俯图 图2

俯俯图 图3

10.设 f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数,如下定义两个函数 ( f o g )( x) 和 ( f g )( x) 对任意
x ∈ R , ( f o g )( x) = f ( g ( x)) , ( f g )( x) = f ( x) g ( x) 则下列恒等式成立的是 A. (( f o g ) h)( x) = (( f h) o ( g h))( x) C. (( f o g ) o h)( x) = (( f o h) o ( g o h))( x) B. (( f g ) o h)( x) = (( f o h) ( g o h))( x) D. (( f g ) h)( x) = (( f h) ( g h))( x)

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 填空题: (一)必做题(11-13 题) 必做题(1111. 已知 {an } 是递增等比数列, a2 = 2 , a4 ? a3 = 4 ,则此数列的公比 q = 12. 设函数 f ( x) = x 3 cos x + 1 ,若 f (a ) = 11 ,则 f (? a ) =

.

.

13. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号

到 5 号每天打篮球时间 x ( 单位:小时 ) 与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为
6 小时篮球的投篮命中率为

,用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 .

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14-

数学(文科)试题 B

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14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为 5 2 ? ? x = 5 cos θ ?x = t ? (0 ≤ θ < π ) 和 ? 4 (t ∈ R ) , 它 们 的 交 点 坐 标 ? ? y = sin θ ? ?y = t ? . 为 15. ( 几何证明选讲选做题 ) 如图 4 ,在梯形 ABCD 中, AB // CD ,
AB = 4 , CD = 2 , E 、 F 分别为 AD 、 BC 上的点,且 EF = 3 , EF // AB ,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为

D E A

C F B

.

图4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. ( 本小题满分 12 分 )

1 π 已知函数 f ( x) = 2 sin( x ? ) , x ∈ R 3 6 (1)求 f (0) 的值; π π 10 6 (2)设 α , β ∈ [0, ] , f (3α + ) = , f (3β + 2π ) = .求 sin(α + β ) 的值. 2 2 13 5 17. ( 本小题满分 13 分 ) 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分,用 xn 表示编号为 n (n = 1, 2,L , 6) 的同学所 得成绩,且前 5 位同学的成绩如下:

编号 n 成绩 xn

1 70

2 76

3 72

4 70

5 72

(1)求第 6 位同学的成绩 x6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间 (68, 75) 中的概率.
18. ( 本小题满分 13 分 )

图 5 所示的几何体是将高为 2 ,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半 沿切面向右水平平移得到的, A, A′, B, B′ 分别为 CD, C ′D′, DE , D′E ′ 的中点, O1 , O1′ , O2 , O2′ 分别 为 CD, C ′D′, DE , D′E ′ 的中点. (1)证明: O1′ , A′ , O2 , B 四点共面; (2)设 G 为 AA′ 中点,延长 A′O1′ 到 H ′ ,使得 O1′ H ′ = A′O1′ ,证明: BO2′ ⊥ 平面 H ′B′G .
A' C' H' G A C O1 D 图5 B
数学(文科)试题 B 第 3 页 (共 4 页)

O1'

D' B'

O2'

E'

O2

E

19. ( 本小题满分 14 分 ) 设 a > 0 ,讨论函数 f ( x) = ln x + a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x 的单调性.
20. ( 本小题满分 14 分 )

设 b > 0 ,数列 {an } 满足 an = (1)求数列 {an } 的通项公式;

nban ?1 (n ≥ 2) . an ?1 + n ? 1

(2)证明:对于一切正整数 n , 2an ≤ b n +1 + 1 .
21. ( 本小题满分 14 分 )

在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l : x = ?2 交 x 轴于点 A ,设 P 是 l 上一点, M 是线段 OP 的 垂直平分线上一点,且满足 ∠MPO = ∠AOP . (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T (1, ?1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T (1, ?1) 且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的斜 率 k 的取值范围.

数学(文科)试题 B

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