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集合与不等式:专题二 不等关系与不等式 Word版含解析


?

主干知识互联,提纲挈领

1.比较法原理: a ? b ? 0 ? a ? b , a ? b ? 0 ? a ? b , a ? b ? 0 ? a ? b . 2. a ? b ? b ? a (反对称性) ; 3.若 a ? b , b ? c , 则 a ? c (传递性) 4.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; 5.若 a ? b , c ? 0 ,则 ac ? bc ;若 a ? b , c ? 0 ,则 ac ? bc ; 6.若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d ; 7.若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,则 ac ? bd ; 8.若 a ? b ? 0 ,则

1 1 1 1 ? ;若 a ? b ? 0 ,则 ? ; a b a b

9.若 a ? b ? 0 ,则 an ? bn ? n ? N , n ? 2? ; 10.若 a ? b ? 0 ,则 n a ? n b ? n ? N , n ? 2 ? . ? 重点难点突破,抓住核心

考向 1

利用不等式的性质判定大小
? 方法规律提升,融会贯通

【例 1】 (1) 【2016 高考北京理数】已知 x ,

y ? R ,且 x ? y ? 0 ,则
( A. )

比较大小常用的方法 (1) 作差法, 其步骤: ①作差; ②变形; ③判断差与 0 的大小;④得出结论.

1 1 ? ?0 x y

B. sin x ? sin y ? 0 D. ln x ? ln y ? 0

注意:含根号的式子作差时一般先乘方 再作差. (2) 作商法, 其步骤: ①作商; ②变形; ③判断商与 1 的大小;④结论. (3)特例法

1 x 1 y C. ( ) ? ( ) ? 0 2 2

(2) 【2016 高考新课标 I】若 a ? b ? 1 ,0 ? c ? 1, 则 ( A. a c ? b c C. a logb c ? b loga c B. abc ? bac D. loga c ? logb c )

若是选择题,还可以用特殊值法比较大 小,若是解答题,也可以用特殊值法探 路.

【答案】 (1)C; (2)C. 【解析】 (1) A :考查的是反比例函数 y ?
1 在 x

?0 ,

? ? ? 单调递减, 所以

1 1 1 1 ? 即 ? ? 0 所以 x y x y

A 错; B :考查的是三角函数 y ? sin x 在

?0 ,

? ? ? 单调性,不是单调的,所以不一定有

sin x ? sin y , B 错; C :考查的是指数函数

?1? y ? ? ? 在 ? 0 , ? ? ? 单调递减,所以有 ?2? ?1? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? 0 所以 C 对; D : ? 2? ? 2? ?2? ?2?
x y x y

x

考查的是对数函数 y ? ln x 的性质 ln x ? ln y ? ln xy , 当 x ? y ? 0 时, xy ? 0 不一定有 ln xy ? 0 ,所以

D 错.故选 C.
(2)用特殊值法.令 a ? 3 , b ? 2 , c ?
1 2 1 2 1 2 1 2

1 , 2

得 3 ? 2 ,选项 A 错误; 3 ? 2 ? 2 ? 3 ,选项 B 错误; 3log 2

1 ? 2 log 3 2 ,选项 C 正确; 2

log 3

1 1 ? log 2 ,选项 D 错误,故选 C. 2 2

【变式训练】 【2016 届河南新乡名校学术联盟高三高考押题四文数学】已知 x , y , z 均为正实数,且

2x ? ? log2 x , 2? y ? ? log2 y , 2? z ? log2 z ,则
( ) B. z ? x ? y C. z ? y ? x D. y ? x ? z

A. x ? y ? z 【答案】A

【 解 析 】 ? x , y , z 均 为 正 实 数 , ?2x ? ? log2 x ? 1 , 即 l o2 x g? ?

, 1

1 ?y ?1? ?1? ?0 ? x ? . 即 0 ??o l g ? 0 ? ? ? ? 1, 2 ? ? log 2 y ? ? ? , 2 ?2? ?2?
z

y

y

2

1 ? y

, ??1 ? log2 y ? 0 ,



1 ?1? ?1? ? y ? 1 . 2? z ? log 2 z ? ? ? , ? 0 ? ? ? ? 1 , ?0 ? log2 z ? 1 , 即 1 ? z ? 2 , 所 以 2 ?2? ?2?

z

x ? y ? z ,选 A.

考向 2

不等式性质的应用

利用不等式性质进行命题的判断是经常考查的考向,另外,不等式性质与充要条件 相结合判断条件是一个重要的考向,主要以选择题和填空题为主.
【例 2】 【2016 押题卷 2 课标Ⅱ卷】 已知命题 p : ? 方法规律提升,融会贯通

?x ? R , 32 x ?1 ? 0 ,命题 q : “ 0 ? x ? 2 ”是” 不等式性质应用问题的常见类型及解

log2 x ? 1”的充分不必要条件,则下列命题为
真命题的是( )

题策略 (1)利用不等式性质比较大小.熟记 不等式性质的条件和结论是基础,灵活 运用是关键,要注意不等式性质成立的 前提条件. (2)与充要条件相结合问题.用不等 式的性质分别判断 p?q 和 q?p 是否正 确,要注意特殊值法的应用. (3)与命题真假判断相结合问题.解 决此类问题除根据不等式的性质求解 外,还经常采用特殊值验证的方法.

A. ?p B. p ? q C. p ? (?q ) D. (?p) ? q 【答案】C. 【解析】根据指数函数性质得命题 p 为真命题; 由 log 2 x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ,所以“ 0 ? x ? 2 ” 是“ log2 x ? 1”的充要条件,所以命题 q 为假 命题,所以 p ? (?q ) 为真命题,故选 C.

【变式训练】 【2016 全国大联考 1 课标Ⅱ卷】设 x, y ? R ,则 ( x ? y) x4 ? 0 是 x ? y 的( A.充分不必要条件 【答案】A
4 x4 ? 0 , x ? y ? 0, 【解析】 由 ( x ? y) x4 ? 0 得, 故 x ? y ? 0, 即x ? y; 当 x ? y 时, 而x ?0,

) .

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

故 ( x ? y) x4 ? 0 ,所以 ( x ? y) x4 ? 0 是 x ? y 的充分不必要条件,故选 A.

考向 3
【例 3】已知 ? 范围. 【答案】 ? 【解析】

求代数式的取值范围问题

?
2

?? ? ? ?

?
2

,求的

? ?? ? ??
2 , 2

取值

?

方法规律提升,融会贯通

利用不等式性质求代数式的 取值范围

?
2

?

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2

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?
2

;?

?
2

?

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2

? 0.

当 a<f1(x, y)<b, c<f2(x, y)<d, 求 f3(x,y)的取值范围,可利

??

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2

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2

, ??

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4

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2

?

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4

,?

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4

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2

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4



用待定系数法解决, 即设 f3(x, y)=pf1(x,y)+qf2(x,y),

两式相加得 ?

?

??

?
4

4 4 2 4 2 2 ? ?? ? ? ?? ? 0 , ?? ? ?0. 又? ? ? ,? 2 2 2
【变式训练】

?

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2

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2 ?

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2 ?

?

?

, ??

??

2 ? ?
?



用恒等变形求得 p,q,再利用
, ??

?

?

? ??

?

?
2

不等式的性质求得 f3(x,y)的
.

取值范围.

已知 a ? b ?[0,1], a ? b ?[2, 4] ,则 4a ? 2b 取值范围是 【答案】【2,7】



【解析】? a ? b ?[0,1], a ? b ?[2, 4],? 4a ? 2b ? (a ? b) ? 3(a ? b) ? [2, 4] ? 3[0,1] ? [2,7],

? 4a ? 2b ?[2, 7].

2. 【2016 保定统测】已知 2≤x≤3,6≤y≤9,求 【答案】

3x 的取值范围. 2y

?

专题综合强化,能力拔高 ( )

1. 【2016 高考北京理数】 已知 x ,y ? R , 且x? y?0, 则

A.

1 1 ? ?0 x y

B. sin x ? sin y ? 0

C. ( ) ? ( ) ? 0
x y

1 2

1 2

D. ln x ? ln y ? 0

【答案】C 【解析】A : 考查的是反比例函数 y ?
1 1 1 1 1 在 ? 0 , ? ? ? 单调递减, 所以 ? 即 ? ? 0 所以 A 错; x y x y x

考查的是三角函数 y ? sin x 在 ? 0 , ? ? ? 单调性, 不是单调的, 所以不一定有 sin x ? sin y ,B B:
?1? ?1? ?1? ?1? ?1? C: 错; 考查的是指数函数 y ? ? ? 在 ? 0 , ? ? ? 单调递减, 所以有 ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? 0 ?2? ? 2? ? 2? ?2? ?2?
x x y x y

所以 C 对; D :考查的是对数函数 y ? ln x 的性质, ln x ? ln y ? ln xy ,当 x ? y ? 0 时, xy ? 0 不 一定有 ln xy ? 0 ,所以 D 错. 2. 【2016 年江西师大附中高三最后冲刺】已知 f ( x) 是定义域,值域都为 (0, ??) 的函数, 满足

2 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,则下列不等式正确的是(
A. 2016 f (2016) ? 2015 f (2015) C. 20153 f (2015) ? 20163 f (2016)

) .

B. 2016 f (2016) ? 2015 f (2015) D. 20153 f (2015) ? 20163 f (2016)

【答案】C 【解析】构造函数 g ( x) ? x 2 f ( x), g?( x) ? 2xf ( x) ? x 2 f ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0,??) 单调递 增,
2 所以 2015 f (2015 ) ? 20162 f (2016 ) ,结合不等式性质.故 C 正确.

3. 【长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二)理科数学】若实数 a, b ? R 且 a ? b ,则下列 不等式恒成立的是 A. a ? b
2 2

B.

a ? 1 C. 2a ? 2b D. lg(a ? b) ? 0 b

【答案】C

4. 【广西钦州市钦州港经济技术开发区 2016 届高三上学期期末数学(理)试题】若 a>b>0, 则下列不等式中总成立的是( A.a+ >b+ 【答案】A 【解析】∵a>b>0,∴ > .又 a>b,∴a+ >b+ ,故选 A. 5. 【2016 届四川内江市高三第五次模拟考试数学(文)试卷】设 a ? 0, b ? 0 ,则以下不等式 中不恒成立的是( ) B. > ) C.a+ >b+ D. >

A . ( a ? b)( ? ) ? 4 D. | a ? b | ? a ? b 【答案】B

1 a

1 b

B .

a3 ? b3 ? 2ab2

C . a ? b ? 2 ? 2a ? 2b
2 2

3 3 2 3 3 2 【解析】当 a ? b 时, a ? b ? 2ab ,故 a ? b ? 2ab 不恒成立,选项为 B.
10

6. 【2016 届河南新乡名校学术联盟高三高考押题四文数学】已知 x , y , z 均为正实数,且 8

2x ? ? log2 x , 2? y ? ? log2 y , 2? z ? log2 z ,则(
A. x ? y ? z 【答案】A B. z ? x ? y C. z ? y ? x


6

D. y ? x ? z
4

【 解 析 】 ? x , y , z 均 为 正 实 数 , ?2x ? ? log2 x ? 1 , 即 l o2 x g? ? 2

, 1

?0 ? x ?

y 1 ?1? . 2? y ? ?15 log 2 y ? ? ? 。 2 ?2?

10

5

5

2

4

1 ?1? ?1? ? 0 ? ? ? ? 1 ,即 0 ? ? log2 y ? 1 ,??1 ? log2 y ? 0 ,即 ? y ? 1 . 2? z ? log 2 z ? ? ? , 2 ?2? ?2?

y

z

?1? ? 0 ? ? ? ? 1,?0 ? log2 z ? 1 ,即 1 ? z ? 2 ,所以 x ? y ? z ,选 A. ?2?
7. 【2015-2016 学年贵州思南高二下学期期末数学文试卷】设 a ? log 0.2 3, b ? log 2 则这三个数的大小关系是( A. a ? c ? b 【答案】B 【解析】由题意得 a ? log 0.2 3 ? log 0.2 1 ? 0, b ? log 2 ) C. a ? b ? c D. b ? c ? a

z

3 , c ? 30.2 , 2

B. c ? b ? a

3 ? log 2 2 ? 1 , c ? 30.2 ? 30 ? 1 ,所以 2

c ? b ? a,
故选 B. 8. 【2016 届四川省绵阳市南山高三下学期入学考试文科数学】 2 , 3 , log 2 5 三个数中最大 数的是 【答案】 log 2 5 【解析】由题意得, 2?3 ? 1,1 ? 32 ? 2,log 2 5 ? log 2 4 ? 2 ,所以最大的数为 log 2 5 . 9. 【2015-2016 学年河南省周口中英文学校高二上学期期中考试】若 A=(x+3) (x+7) ,B= (x+4) (x+6) ,则 A、B 的大小关系为________. 【答案】 A ? B . 【解析】由题意得, , ,? A ? B ? ?3 ? 0 , ? A ? B .
1
?3
1 2



10. 【2016 届湖北省荆门市高三元月调研考试】已知 b 克糖水中含有 a 克糖( b ? a ? 0 ) ,若再 添加 m 克糖 (m ? 0) , 则糖水就变得更甜了. 试根据这一事实归纳推理得一个不等式 【答案】 .

a a?m ? (b ? a ? 0 且m ? 0) ; b b?m

11.若 m ? n, p ? q 且 ( p ? m)( p ? n) ? 0,(q ? m)(q ? n) ? 0 ,则 m, n, p , q 从小到大的顺序是 _______. 【答案】 m ? p ? q ? n 【解析】 根据 m ? n 画在数轴上, 又因为 ( p ? m)( p ? n) ? 0,(q ? m)(q ? n) ? 0 , 所以 p 在 m, n 之间,

q 也在 m, n 之间,且 p ? q ,标在数轴上,显然,从左到右依次是: m, p , q , n ,所以 m, n, p , q
从小到 大的顺序是: m ? p ? q ? n . 12. 【2016 届黑龙江省大庆铁人高三第一阶段考试】设 1 ? x ? 2 ,则 大小关系是__________________. (用“ ? ”连接) 【答案】 (

ln x ln x 2 ln x 2 ) , 2 的 ,( x x x

ln x 2 ln x ln x 2 ) ? ? 2 x x x
1 x ?1 ? ?0, ∴函数 y ? f ( x)(1 ? x ? 2) x x ln x ln x 2 ln x ? 1 ,∴ ( ) ? ,又 x x x

' 【解析】 令 f ( x) ? x ? ln x(1 ? x ? 2) , 则 f ( x) ? 1 ?

为增 函数,∴ f ( x) ? f (1) ? 1 ? 0 ,∴ x ? ln x ? 0 ,∴ 0 ?

ln x 2 ln x 2ln x ? x ln x (2 ? x) ln x ln x 2 ln x ln x 2 ? ? ? ? 0 ( ) ? ? 2 . ,∴ x2 x x2 x2 x x x
13. 【2015-2016 学年上海师大附中高一上期中】给出下列四个命题:
2 2 (1)若 a ? b, c ? d ,则 a ? d ? b ? c ; (2)若 a x ? a y ,则 x ? y ;

(3) a ? b ,则

1 1 1 1 2 ? ; (4)若 ? ? 0 ,则 ab ? b . a ?b a a b
. (填所有正确命题的序号)

其中正确命题的是 【答案】 (1) (2) (4)

14. 【2015-2016 学年吉林省扶余市一中高二上学期期中考试】若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下 列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是____________. (写出所有正确命题的编号) ① ab ? 1 ; ② a ? b ? 【答案】①③⑤ 【解析】 ( 1 ) ? a ? 0, b ? 0 , ? a ? b ? 2 ab ( 当 且 仅 当 a ? b ? 1 时 取 等 号 ) ,即

2 ; ③ a 2 ? b2 ? 2 ; ④ a 3 ? b3 ? 3 ;



1 1 ? ?2 a b

2 ? 2 ab ,?ab ? 1 .所

以①正确; (2)当 a ? b ? 1 时 a ? b ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ,所以②不正确; (3)a ? b ? ? a ? b ? ? 2ab ? ? a ? b ? ? a ? b
2 2 2 2 2

?

2

? ,整理可得 2 ? a

2

? b 2 ? ? ? a ? b ? ? 4 ,即
2

a2 ? b2 ? 2 , 当 且 仅 当 a ? b ? 1 时 取 等 号 . 所 以 ③ 正 确 ;( 4 ) 当 a ? b ? 1 时 a3 ? b3 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ,
所以④不正确; (5)? a ? 0, b ? 0 ,

1 1 1?1 1? 1? b a? 1? b a? ? ? ? ? ? ? ? a ? b? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2, a b 2?a b? 2? a b? 2? a b ? ?
当且仅当 a ? b ? 1 时取等号,所以⑤正确.综上可得正确的有①③⑤. 15. 【2016 届浙江省衢州市五校高三上学期期中联考】已知实数 a , b 满足等式 log3 a ? log4 b , 给出下列五个关系式: ① a ? b ? 1 ;② b ? a ? 1 ;③ a ? b ? 1 ;④ b ? a ? 1 ;⑤ a ? b . 其中可能关系式是 【答案】②④⑤. .

16 . 【 2016 届 浙 江 省 桐 乡 一 中 高 三 下 学 期 联 盟 学 校 高 考 仿 真 测 试 理 科 】 已 知 函 数

? 2? x ? 1, x ? 0 ? f ( x) ? ? 1 , 则 f (? 若 f (a 则实数 a 的取值范围是_________. 1 ) ? ________, ) ? 1 , 2 ? x , x ? 0 ?
【答案】 1 ; ? 1 ? a ? 1 【解析】

?a ? 0 ì ? a? 0, ? - 1 < 0 ,\ í - a 解得 - 1 < a ? 0 ,或 ? 1 ,解得 0 ? a ? 1 ,所以最后 ? 1 ? a ? 1 . ? 2 ? 2 - 1 <1 , ? a ? 1 ?


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