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山东省日照一中2014届高三12月月考 文科数学试题


山东省日照一中 2014 届高三 12 月月考 文科数学试题 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 第 I 卷(共 60 分) 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡 规定的位置。 2.第 I 卷共 2 页。答题时,考生须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。在试卷上作答无效。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? ?1, 0, 2 , N ? y y ? sin x, x ? R ,则集合 M ? N 等于 A. ? B. ?0?
2 2

?

?

?

?

C. ??1, 0? B. ?x ? R, x ? 0
2

D. ?1,0, 2

?

?
D. ?x ? R, x ? 0
2

2.命题“ ?x ? R, x ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R, x ? 0 3.已知 cos ? ? A. C. ?x ? R, x ? 0
2

?? 3 ? ,0 ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? 4? 5 ?
C. ?1
a

1 5

B.

1 7

D. ?7
b

?1? ?1? 4.“ log 3 a ? log 3 b ”是“ ? ? ? ? ? ”的 ?2? ?2?
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.要得到函数 y ? sin(3x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 3x 的图象 A.向左平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位 C.向左平移 6.函数 y ?

2 个单位 3
的图象大致是

D.向右平移

2 个单位 3

1g x x

7.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n ②若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ; ③若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? ④若 n ? ? , n ? ? ,则 ? / /? . A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 8.如右图,某几何体的主(正)视图与左(侧)视图都是边长为 1 的正方形,且体积为

1 ,则该几何体的俯视图可以是 2

9.已知 m ? 0, n ?0 ,向量 a ? ?1,1? ,向量 b ? ? m, n ? 3? ,且 a ? a ?b ,则 为 A.18 B.16 C.9 D.8

?

?

?

?

?

?

?

1 4 ? 的最小值 m n

10.已知数列 ? an ? ,若点 ? n, an ? n ? N 项和 S15为 A.12 B.32 C.60 D.120

?

*

? 在经过点 ?8, 4 ? 的定直线 l 上,则数列 ?a ? 的前 15
n

11. 若 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 2 3 , 该 三 角 形 所 在 平 面 内 一 点 M 满 足

???? ???? ???? 1 ??? 2 ??? ? ? ? CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB 等于 6 3 A. ?2 B. ?1 C.1
f ? x ? 可以是
A. f ? x ? ? 2 x ?

D.2
x

12. 设函数 f ? x ? 的零点为 x1 ,函数 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点为 x2 ,若 x1 ? x2 ?

1 ,则 4

1 2

B. f ? x ? ? 1 ? 10

x

C. f ? x ? ? ? x ? x ?
2

1 4

D. f ? x ? ? ln ?8 x ? 2 ?

第 II 卷(共 90 分) 注意事项: 第 II 卷共 6 页。考生必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡指定答题区域内作答,填空 题请直接填写答案,解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a ? 1, b ? 3, B ? 60 ,则
?

sin A ? ____________.
2 14.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 4 ? x 的定义域为__________.

15.二维空间中圆的一维测度 (周长)l ? 2? r , 二维测度 (面积)S ? ? r , 观察发现 S ? ? l ;
2

4 3 观察发现 V ? ? S . ?r , 3 3 已知四维空间中“超球”的三维测度 V ? 8? r ,猜想其四维测度 W ? ________.
S 三维空间中球的二维测度 (表面积) ? 4? r , 三维测度 (体积) ? V
2

? y ? x ? 1, ? 16. 若 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组 ? y ? ? x ? 2 , 则 目 标 函 数 z ? y ? 2 x 的 最 大 值 是 ? x ? 0, ?
_______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ?

?

?

? ? ? 2 3 cos x, 0 , b ? ? 0,sin x ? ,记函数 f ? x ? ? a ? b ? 3 sin 2 x .求:

?

?

?

(I)函数 f ? x ? 的最小值及取得小值时 x 的集合; (II)函数 f ? x ? 的单调递增区间. 18.(本小题满分 12 分)

已知 ? an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1, a1 , a3 , a9 成等比数列.求: (I)数列 ? an ? 的通项公式; (II)数列 an ? 2

?

an

? 的前 n 项和 S

n

.

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (I)求证:EF//平面 ABC1D1; (II)求证: EF ? B1C ..

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? (I)若 f 2
x

1 . x

? ? ? 2 ,求 x 的值; (II)若 tf ? t ? ? mf ? t ? ? 0 对于 t ? ? 2, 4? 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

21.(本小题满分 13 分) 如图,顺达驾校拟在长为 400m 的道路 OP 的一侧修建一条训练道路,训练道路的前一部分 为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y ? A sin ? x ? A ? 0, ? ? 0 ? , x ? ? 0, 200? 的图象,且图象 的最高点为 S 150,100 3 ,训练道路的后一部分为折线段 MNP,为保证训练安全,限定

?

?

?MNP ? 120? .
(I)求曲线段 OSM 对应函数的解析式; (II)应如何设计,才能使折线段训练道路 MNP 最长?最长为多少?

22.(本小题满分 13 分) 已知 f ? x ? ? ln x ?

(I)当 a ? 0 时,判断 f ? x ? 在定义域上的单调性; (II)若 f ? x ? 在 ?1, e ? (e 是自然对数的底)上的最小值为

a . x

3 ,求 a 的值. 2

绝密★启用前

数 学 试 题(文科)参考答案

文科数学参考答案及评分标准
说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,准应参照本标准相应评分。 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分. (1)C.解析: N =[-1,1] ,所以, M ? N ? {-1,0} . (2)D.解析: ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”. “

4 π ?1 tan ? ? tan 4 4 π 4 ?3 (3)D.解析: sin ? ? , 故 tan ? ? , tan(? ? ) ? ? ?7 . 5 3 4 1 ? tan ? ? tan π 1 ? 4 4 3 1 a 1 b 1 a 1 b (4)A.解析: log3 a ? log3 b ? a ? b ? 0 ? ( ) ? ( ) , 但 ( ) ? ( ) 得不到 a ? b ? 0 . 2 2 2 2 (5)A.解析: f (3) ? f (?2) ? ? f (2) ? ?2, f (4) ? f (?1) ? ? ( ) ? 1, f 1 = 所以 f (3) ? f (4) ? ?2 ? ( ?1) ? ?1. lg | x | (6)D.解析: y ? 为奇函数,排除 A,B,又 x ? 1时,y ? 0, 排除 C. x
(7)B.解析:②③错. (8)C.解析:该几何体是棱长为 1 的正方体被对角面截得的一半, V ? Sh ? (9)C.解析:由 a + b = (1+ m, n - 2), (a + b) ? a,m ? n = 1.

1 1 ? 1? 1? 1 ? . 2 2

1 4 1 4 4m n ? ? ( ? )( m ? n) ? 5 ? ? ? 5 ? 4 ? 9. m n m n n m 4m n 1 2 当且仅当 ? , 且m ? n ? 1,即m ? , n ? 时 取“=”. n m 3 3 1 4 所以 ? 的最小值为 9. m n (10)C. 解 析 : 因 为 点 (n, an ) 在 定 直 线 上 , 所 以 a8 ? 4 , 且 ?a n ? 为 等 差 数 列 , 所 以
所以

S1 5 ? 1 5 8? 6 0 . a ???? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ??? 1 ??? 5 ??? 2 ??? (11)A.解析: MA ? MB ? (CA ? CM )(CB ? CM ) ? ( CA ? CB( CB ? CA ) ) 3 6 6 3 ? ? ? ? ? ? ? 7 ??? ??? 2 ??? 2 5 ??? 2 7 ??? ??? π 2 ???? 5 ??? = CA ? CB ? CA ? CA | | ? CB = | | CB cos ? | CA |2 ? | CB |2 18 3 9 18 9 36 36 7 8 5 = ? ? ? ?2. 3 3 3
亦可画图、建系,坐标化求之! (12)B.解析:由题知 g ( ) ? g ( ) ? 0 ,知

1 2

1 4

1 1 1 ? x2 ? ,由 | x1 ? x2 |? 的意义知答案 B. 4 2 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

1 a sin B 1 . 解析:由正弦定理知 sin A ? ? . 2 b 2 2 ? 4 ? x ? 0, (14)答案: (?1, 2] . 解析:由 ? 解得 ?1 ? x ? 2. ? x ? 1 ? 0,
(13)答案:
4
4 3

y ? ?x ? 2

y 2 O

y ? 2x y ? x ?1 x 1 2

(15)答案: 2 πr . 解析:因为 (2πr )? ? 8πr ,所以 W= 2 πr .
4

(16)答案:2. 解析:由图知直线 y=2x 过点(0,2)时,目标函数 z ? y ? 2 x 取得最大值 为 2. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解: (Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? 3 sin 2 x
2
2 ?1 ? 2 c o s ? x 3 sin? x 2 c o? 2 x s x s i n??????????3 分 3 ? 2 2 π = 2 sin(2 x ? ) ? 2 , ?????????? 5 分 6 2π (k ? Z) 当且仅当 2 x ? π ? 2kπ ? 3π ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) min ? 0 , 3 6 2 2 ? ? 此时 x 的集合是 ? x | x ? kπ ? π, k ? Z ? . ??????????? 8 分 3 ? ? π π π π π (Ⅱ)由 2kπ- ? 2 x ? ? 2kπ ? (k ? Z) ,所以 kπ- ? x ? kπ ? (k ? Z) , 2 6 2 3 6 π π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [kπ - , kπ ? ]( k ? Z) . ????? 12 分 3 6 (18)解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题设知 d ? 0 , 1 ? 2d 1 ? 8d 由 a1 ? 1, a1 , a3 , a9 成等比数列,得 . ……………………… 3 分 ? 1 1 ? 2d

解得 d ? 1, d ? 0 (舍去),?d ? 1. 故 {an } 的通项公式为 an =1+(n ? 1) ?1 ? n . (Ⅱ)由(I)知 an ? 2
an

……………………… 6 分 (1)
n ?1

? n ? 2n ,
2 3 4 n

Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,

2 ? Sn ?

1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? n ? 2
? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2? n ?
1 2 3 n n?

, (2)

(1) ( 2 ) ? ,得

2.

1

…………………… 10 分

2?2 ? n ? 2n ?1. 1? 2 n ?1 从而 Sn =(n ? 1) ? 2 ? 2. ……………………… 12 分 (19)(Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1 D , DB 的中点,则
所以 ? S n ?

n ?1

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 . EF ? 平面ABC1D1 ? ? D1 B1C ? AB ? A1 ? B1C ? BC1 ? E ? AB ? 面ABC1 D1 ? ? (Ⅱ) D B1C ? 面ABC1 D1 ? ? A AB ? BC1 ? B ? ? B1C ? BD1 ? B1C ? 平面ABC1 D1 ? ? ? EF ? B1C . ?? EF // BD1 ? BD1 ? 平面ABC1 D1 ? EF // D1 B
x x (20)解: (Ⅰ)? 2 x ? 0 ,? f (2 ) ? 2 ?

……6 分
C1

B1

C

F
B

……12 分 ????? 2 分

1 . 2x

由条件可知 2 x ?

1 ? 2 ,即 2 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0 . x 2 x 解得 2 ? 1 ? 2 .
? x ? log 2 1 ? 2 .

? 2 x ? 0 ,? 2 x ? 1 ? 2 ,

?

?

…… 6 分

1 ? 2 ? ? t 2 ? t12 . t 1? ? ? 1? tf ? t 2 ? ? mf ? t ? ? 0 恒成立,即 t ? t 2 ? 2 ? ? m ? t ? ? ? 0 恒成立, t ? ? ? t? 1 ? 1? 2 即 ? t ? ? ? t ? 1 ? m ? ? 0 .又 t ? ? 2, 4? ,所以 t ? ? 0 , t ? t? 2 2 所以 t ? 1 ? m ? 0 恒成立, 即 m ? ?(t ? 1) 恒成立. ??????9 分
(Ⅱ)因为 t ? ? 2, 4? ,所以 f ? t ? ? t ? , f t 又 t ? ? 2, 4? ,? m ? [?(t ? 1)]max ,即 m ? ?5 .
2

????12 分 y
100 3 S M

(21)解(Ⅰ)由题知, 图象的最高点为 S (150,100 3) ,

T 所以 A ? 100 3, ? 150, 4

N

P
O

x

T ?600 ?



?

?? ,

π . 300

所求的解析式是

π .2 0 0 ) ?????5 分 y ? 1 0 0 3 s i n x ? (x0 ? 300 (Ⅱ)当 x ? 200 时, y ? 150 ,所以 MP ? 250 ,设 MN ? m, NP ? n(m, n>0) ,
在 ?MNP 中,由余弦定理,得 MP ? 250 ? MN ? NP ? 2MN ? NP cos120 .
2 2 2 2 o

( m ? n 时取等号), 4 ( m ? n) 2 500 3 2 2 2 所以 250 ? (m ? n) ? mn ? (m ? n) ? , 所以 0 ? m ? n ? . 3 4 所以有 250 ? (m ? n) ? mn
2 2

?m ? n? .又由于 mn ?

2

即将折线段中 MN 与 NP 的长度设计为相等时,折线段训练道路 MNP 最长. 最长为

500 3 m. 3

???13 分

(22)解:由题意得 x ? 0 ,所以定义域为 (0,?? ) ,且 f ?( x) ?

(Ⅰ)显然,当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 恒成立, f ( x) 在定义域上单调递增. 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时,由(1),得 f ( x ) 在定义域上单调递增, 所以 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 f (1) , 即 f (1) ?

1 a ? . x x2

????3 分 ????5

3 3 3 ? ?a ? ? a ? ? (与 a ? 0 矛盾,舍). 2 2 2

????????7

分 当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x 显然在 [1, e] 上单调递增,最小值为 0,不合题意; ??8 分

1 a x?a ? ? 2 , x x2 x 若 x ? (0,?a) ,则 f ?( x) ? 0 , f (x) 单调递减, 若 x ? ?a ,则 f ?( x) ? 0 . 若 x ? (?a,??) ,则 f ?( x) ? 0 , f (x) 单调递增. 3 3 当 ? a ?a ? 1, f ( x)min ? f (1) ? ?a ? ? a ? ? (舍) ; ? 1 时, 2 2 11 3 当 1 ? 1 ? ?a ? e, f ( x) min ? f ( ?a) ? 1 ? ln(?a) ? ? a ? ?e 22 (满足题意) ; ?a ? e 时, e 2 a 3 e 当 ? a ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? 1 ? ? ? a ? ? (舍) ;???????12 分 e 2 2
当 a ? 0 时, f ?( x) ?
1

综上所述 a ? ? e 2 .

????????????13 分


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