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双曲线[高考数学总复习][高中数学课时训]


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双曲线

基础自测

1.已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0)(4,0) , ,则双曲线方 程为 答案
x2 y2 ? 4 12

. =1

2.过双曲线 x2-y2=8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上,若|PQ|=7, F2 是双曲线的右焦点,则△PF2Q 的周长是 答案 14+8
2

.

2
2

3.已知椭圆 x 2 ? y 2 =1(a>b>0)与双曲线
a b

x2 m
2

?

y2 n2

=1(m>0,n>0)有

相同的焦点(-c,0)和(c,0).若 c 是 a 与 m 的等比中项,n2 是 m2 与 c2 的等差中项,则椭圆的离心率等于 答案
3 3
2 2

.

4.设 F1、2 分别是双曲线 x 2 ? y 2 =1 的左、 F 右焦点.若双曲线上存在点 A,
a b

使 ∠ F1AF2=90 ° 且 |AF1|=3|AF2|, 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 答案
10 2
2 2

.

5.(2008?上海春招)已知 P 是双曲线 x 2 ? y =1 右支上的一点,双曲
a 9

线的一条渐近线方程为 3x-y=0,设 F1、F2 分别为双曲线的左、右焦 点.若|PF2|=3,则|PF1|= .
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答案

5

例1

已知动圆 M 与圆 C1: (x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2: (x-4)2+y2=2

内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解 设动圆 M 的半径为 r,
2

则由已知|MC1|=r+ |MC2|=r2




2

∴|MC1|-|MC2|=2

.

又 C1(-4,0) 2(4,0) ,C , ∴|C1C2|=8,∴2
2

<|C1C2|.

根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0) 2(4,0)为焦 、C 点的双曲线的右支. ∵a=
2

,c=4,

∴b2=c2-a2=14, ∴点 M 的轨迹方程是 x 例2
2

2

?

y2 14

=1(x≥

2

).

根据下列条件,求双曲线的标准方程.
2

(1)与双曲线 x (2)与双曲线 x 解

9
2

? ?

y2 16 y2 4

=1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 =1 有公共焦点,且过点(3
2

3

) ;

16

2

,2).

(1)设所求双曲线方程为 x

9

?

y2 4

= ? ( ? ≠0),

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将点(-3,2

3

)代入得 ? = 1 ,
4
2

所以双曲线方程为 x

9

?
2

y2 16

= 1 ,即 4x
4
2

2

9

?

y2 4

=1.
5

(2)设双曲线方程为 x 2 ? y 2 =1.由题意易求 c=2 又双曲线过点(3 又∵a2+b2=(2
5
2

.

,2) ,∴ ?3

a

b

2 a2

?

2

-

4 b2

=1.

)2,∴a2=12,b2=8.
2

故所求双曲线的方程为 x 例3
2 2

12

?

y2 8

=1.

双曲线 C: x 2 ? y 2 =1 (a>0,b>0)的右顶点为 A,x 轴上有一点
a b

Q(2a,0) ,若 C 上存在一点 P,使 AP ? PQ =0,求此双曲线离心率 的取值范围. 解 设 P 点坐标为(x,y) ,

则由 AP ? PQ =0,得 AP⊥PQ, 则 P 点在以 AQ 为直径的圆上, 即 ? x ? 32a ? +y2= ? a ? ? ? ? ? 2
? ?
2

2

? ?
2 2

① ②
a b

又 P 点在双曲线上,得 x 2 ? y 2 =1 由①,②消去 y,得 (a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0.

即[ 2+b2)x2-(2a3-ab2)(x-a)=0. (a ] 当 x=a 时,P 与 A 重合,不符合题意,舍去. 当 x= 2a 2 ? ab 时,满足题意的 P 点存在, 2
3 2

a ?b
3

需 x= 2a 2 ? ab >a,化简得 a2>2b2, 2
2

a ?b

c 即 3a2>2c2, a <

6 2

c .∴离心率 e= a ∈ ?1, ?

? ?

6? ?. 2 ? ?

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例4

(14 分)已知双曲线 C:

x2 1? ?

- y =1(0< ? <1)的右焦点为 B,
?

2

过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M、N 两点, 试确定 ? 的范围,使 OM ? ON =0,其中点 O 为坐标原点. 解 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由已知易求 B(1,0) ,

①当 MN 垂直于 x 轴时,MN 的方程为 x=1, 设 M(1,y0) ,N(1,-y0) 0>0) (y , 由 OM ? ON =0,得 y0=1, ∴M(1,1) ,N(1,-1). 又 M(1,1) ,N(1,-1)在双曲线上, ∴
1 1? ?

- 1 =1 ? ? 2+ ? -1=0 ? ? = ? 1?
?

5

2



4分 因为 0< ? <1,所以 ? = 5分 ②当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y=k(x-1).
? x2 y2 ? ? 由 ?1 ? ? ? ? 1 , ? y ? k ( x ? 1) ?

5 ?1 . 2

得[ ? -(1- ? )k2]x2+2(1- ? )k2x-(1- ? )(k2+ ? )=0, 8分 由题意知: ? -(1- ? )k2≠0, 所以 x1+x2= ? 2k x1x2= ? (1 ? ? )(k
2 2

(1 ? ? )

? ? (1 ? ? ) k 2
? ?)

,

? ? (1 ? ? )k 2

,
k 2 ?2

于是 y1y2=k2(x1-1)(x2-1)= 10 分

? ? (1 ? ? ) k 2

,

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因为 OM ? ON =0,且 M、N 在双曲线右支上,
? (1 ? ? ) ? 2 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ?k ? 2 ? ? ? ? ? ?1 所以 ?x1 ? x2 ? 0 ?? ?x x ? 0 ?k 2 ? ? ? 1 2 ? 1? ? ?

? ? ? ?2 ? ? ? 1 ?

? ? (1 ? ? )

?

?
1? ? ?

??2 ? ? ? 1 ? 0 ?

5 ?1 <?< 2 3 2

.

13 分 由①②,知
5 ?1 ≤?< 2 3 2

.

14 分

1.由双曲线 x

2

9

?

y2 4

=1 上的一点 P 与左、右两焦点 F1、F2 构成△PF1F2,

求△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点坐标. 解 由双曲线方程知
13

a=3,b=2,c=

.

如右图,根据从圆外一点引圆的两条切线长相 等及双曲线定义可得 |PF1|-|PF2|=2a. 由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a. ① |NF1|+|NF2|=2c. ②
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由①②得|NF1|= 2a ? 2c =a+c.
2

∴|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3. 故切点 N 的坐标为(3,0). 根据对称性,当 P 在双曲线左支上时,切点 N 的坐标为(-3,0). 2.已知双曲线的渐近线的方程为 2x±3y=0, (1)若双曲线经过 P(
6

,2) ,求双曲线方程;
13

(2)若双曲线的焦距是 2

,求双曲线方程;

(3)若双曲线顶点间的距离是 6,求双曲线方程. 解 方法一 (1)由双曲线的渐近线方程 y=± 2 x 及点 P(
3
6

,2)

的位置可判断出其焦点在 y 轴上, (a>0,b>0) 故可设双曲线方程为 y 2 ? x 2
a b
?a 2 ? ? 依题意可得 ? b4 3 6 ? ? ? ? ?1 ?a2 b2 ?
2 2

?1 .

? 2 4 ?a ? . 3 ? ?b 2 ? 3. ?

故所求双曲线方程为 3 y 2 ? 1 x 2 ? 1 .
4 3

(2)若焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为 x 2 ? y 2
a b

2

2

?1 .

依题意 ? a ?

?b

?a 2 ? 9, ? ?? ?b 2 ? 4. 2 2 ?a ? b ? 13 ? ?

?

2 3

此时所求双曲线方程为 x

2

9

?

y2 4

=1.
2 2

若焦点在 y 轴上,可设双曲线方程为 y 2 ? x 2
a b

?1 .

依题意 ? b ?

?a

?a 2 ? 4, ? ?? ?b 2 ? 9. ?a 2 ? b 2 ? 13 ? ?

?

2 3

此时所求双曲线方程为 y 故所求双曲线方程为 x
2

2

4

?

x2 ?1 . 9

9

?

y2 4

=1 或 y

2

4

?

x2 ?1 . 9

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(3)若焦点在 x 轴上,则 a=3,且 b = 2 .
a

3

∴a=3,b=2,双曲线方程为 x

2

9

?

y2 4

=1.
3

若焦点在 y 轴上,则 a=3,且 a = 2 .
b

∴a=3,b= 9 ,双曲线方程为 y
2

2

9

?

4x 2 ? 1. 81
2

故所求双曲线方程为 x 方法二

2

9

?

y 4

2

=1 或 y

9

?

4x 2 ? 1. 81

由双曲线的渐近线方程 x ? y =0,
3 2
2

可设双曲线方程为 x

9

?

y2 ? ? ( ? ≠0). 4
6

(1)∵双曲线经过点 P( ∴ 6 ? 4 = ? ,即 ? =- 1 ,
9 4

,2) ,

3

故所求双曲线方程为 3 y 2 ? 1 x 2 =1.
4 3

(2)若 ? >0,则 a2=9 ? ,b2=4 ? ,c2=a2+b2=13 ? . 由题设 2c=2
13

,则 13 ? =13,即 ? =1.
2

此时,所求双曲线方程为 x

9

?

y2 4

=1.

若 ? <0,则 a2=-4 ? ,b2=-9 ? ,c2=a2+b2=-13 ? . 由题设 2c=2
13

,得 ? =-1.
2

此时,所求双曲线方程为 x 故所求双曲线方程为 x
2

9

?

y2 4

=-1.
2

9

?

y2 4

=1 或 y

4

?

x2 9

=1.

(3)若 ? >0,则 a2=9 ? ,由题设知 2a=6. ∴ ? =1,此时所求双曲线方程为 x
2

9

?

y2 4

=1.
4

若 ? <0,则 a2=-4 ? ,由题设知 2a=6,知 ? =- 9 . 此时所求双曲线方程为 y 故所求双曲线方程为 x
2 2

9

?

4x 2 ? 1. 81

9

?

y2 4

=1 或 y

2

9

?

4x 2 ? 1. 81

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3.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 且过点 P(4,10

2

,

).

(1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF1 ? MF2 =0; (3)求△F1MF2 的面积. (1)解 ∵e=
2



∴可设双曲线方程为 x2-y2= ? ( ? ≠0). ∵过点(4,10

) ,∴16-10= ? ,即 ? =6.

∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明 ∴c=2 ∴ k MF =
1

方法一
3

由(1)可知,双曲线中 a=b=
3

6

,

3

,∴F1(-2
m

,0),F2(2
m

,0),

3? 2 3

, k MF =
2

3? 2 3

,

k MF1 ? k MF2 =

2 m2 =- m 3 9 ? 12

.

∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3, 故 k MF ? k MF =-1,∴MF1⊥MF2,∴ MF1 ? MF2 =0.
1 2

方法二
MF2

∵ MF1 =(-3-2
3

3

,-m) ,

=(2

-3,-m) ,
3

∴ MF1 ? MF2 =(3+2

)?(3-2

3

)+m2=-3+m2.

∵M 点在双曲线上,∴9-m2=6,即 m2-3=0, ∴ MF1 ? MF2 =0. (3)解 △F1MF2 的底|F1F2|=4
3
1 2

3

,

△F1MF2 的高 h=|m|=

,∴ S ?F MF =6.
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4.(2008?天津理,21)已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1(-3,0),一条渐近线的方程是 (1)求双曲线 C 的方程; (2)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N 且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 81 ,
2
5

x-2y=0.

求 k 的取值范围. 解 (1)设双曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 =1(a>0,b>0).
a b
2 2

?a 2 ? b 2 ? 9, 由题设得 ? b 5 ? , ? ? 2 ?a

解得 ?a 2 ? 4, ?
2

?

?b ? 5. ?

所以双曲线 C 的方程为 x

2

4

?

y2 5

=1.

(2)设直线 l 的方程为 y=kx+m (k≠0). 点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)的坐标满足方程组
? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 5 ? 4
2 2

① ②

将①式代入②式,得 x - (kx? m) =1,整理得
4
5

(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0. 此方程有两个不等实根,于是 5-4k2≠0,且 Δ=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)>0, 整理得 m2+5-4k2>0. ③

由 根 与 系 数 的 关 系 可 知 线 段 MN 的 中 点 坐 标 ( x0,y0 ) 满 足 x0= x1 ? x2 = 2
4km 5 ? 4k 2

,y0=kx0+m=

5m 5 ? 4k 2

.

从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 y5m 5 ? 4k
2

??

1 k

? 4km ?x? ? 5 ? 4k 2 ?

? ?. ? ?

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此直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为
? 9km ? ? 9m ? ,0 ? , ? 0, ? ? ? 2 ? 5 ? 4k ? ? 5 ? 4k 2 ? ?. ? ?

由题设可得 1

9km 2 5 ? 4k 2
2 2

?

9m 5 ? 4k
2

= 81 .
2

整理得 m2= (5 ? 4kk

)

,k≠0.
2 2

将上式代入③式得 (5 ? 4kk

)

+5-4k2>0,

整理得(4k2-5)(4k2-|k|-5)>0,k≠0. 解得 0<|k|<
5 2

或|k|> 5 .
4 5 4

所以 k 的取值范围是(-∞,-

)∪(-

5 2

,0)∪(0,

5 2

)∪( 5 ,+∞).
4

一、填空题 1.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m= 答案 -1
2

.

4
2

2.双曲线 x 2 ? y 2 =1 和椭圆
a b

x2 m
2

?

y2 b2

=1 (a>0,m>b>0)的离心率互为倒 三角形.

数,那么以 a,b,m 为边长的三角形是 答案 直角
2 2

3.(2008?重庆理)已知双曲线 x 2 ? y 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近
a b

线为 y=kx(k>0),离心率 e= 答案
x2 4b 2 ? y2 b2
2

5

k,则双曲线方程为

.

=1
? y2 4

4.已知双曲线 x

12

=1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右
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支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是 答案
? 3 3? , ?? ? ? 3 3 ? ? ?
2 2

.

5.如图,F1 和 F2 分别是双曲线 x 2 ? y 2 =1(a>0,b>0)的两个焦
a b

点,A 和 B 是以 O 为圆心, 以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则双曲线的离 心率为 答案 1+
3
2

.

6.设 F1、F2 分别是双曲线 x2- y =1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,
9

且 PF1 ? PF2 =0,则| PF1 + PF2 |= 答案 2
10

.

7.若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离为 则 a+b 的值是 答案
1 2
2

2



.

8.(2008?安徽文,14)已知双曲线 x n= 答案 4 .

n

?

y2 12 ? n

=1 的离心率为

3

,则

二、解答题 9.求与双曲线 x 程. 解 方法一 双曲线 x
2 2

16

?

y2 9

=1 共渐近线,且过点 A(2

3

,-3)的双曲线方

16

?

y2 9

=1 的渐近线方程为

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y=± 3 x,
4

分两种情况讨论: (1)设所求双曲线方程为 x 2 ? y 2 =1,
a b
2 2

∴b =3,
a

4



∴b= 3 a
4

∵A(2

3

,-3)在双曲线上,∴ 12 ? 2
a

9 b2

=1



联立①②,得方程组无解, (2)设双曲线方程为 y 2 ? x 2 =1,
a b
2 2

∴a=3
b

4
3

③ ,-3)在双曲线上, ④
4

∵点 A(2 ∴
9 a
2

?

12 b2

=1

由③④联立方程组,解得 a2= 9 ,b2=4. ∴双曲线方程为: 4 y 方法二
2

9

?

x2 4

=1.
2

由题意,设双曲线方程为 x
3

16

?

y2 9

=t(t≠0) , =t,

∵点 A(2
4

,-3)在双曲线上,∴ (2
2

3 ) 2 (?3) 2 ? 16 9

∴t=- 1 ,∴双曲线方程为: 4 y

9

?

x2 4

=1.

10.已知定点 A(0,7) 、B(0,-7) 、C(12,2) ,以 C 为一个焦点作 过 A、B 的椭圆,求另一焦点 F 的轨迹方程. 解 设 F(x,y)为轨迹上的任意一点,

∵A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上, ∴|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a(其中 a 表示椭圆的长半轴长) , ∴|FA|+|CA|=|FB|+|CB|,
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∴|FA|-|FB|=|CB|-|CA| =
12 2 ? 9 2

-

12 2 ? 5 2

=2.

∴|FA|-|FB|=2. 由双曲线的定义知,F 点在以 A、B 为焦点,2 为实轴长的双曲线的 下半支上, ∴点 F 的轨迹方程是 y2- x =1(y≤-1).
48
2

11.已知点 N(1,2) ,过点 N 的直线交双曲线 x2- y =1 于 A、B 两点,
2

2

且 ON = 1 ( OA + OB ).
2

(1)求直线 AB 的方程; (2)若过 N 的直线交双曲线于 C、D 两点,且 CD ? AB =0,那么 A、 B、C、D 四点是否共圆?为什么? 解 (1)由题意知直线 AB 的斜率存在.
2

设直线 AB:y=k(x-1)+2,代入 x2- y =1
2

得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0. (*) 令 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是方程(*)的两根, ∴2-k2≠0 且 x1+x2= 2k (2 ?2k ) .
2?k

∵ ON = 1 ( OA + OB ) ,∴N 是 AB 的中点,∴ x1 ? x2 =1,
2
2

∴k(2-k)=-k2+2,k=1, ∴直线 AB 的方程为 y=x+1. (2)将 k=1 代入方程(*)得 x2-2x-3=0, 解得 x=-1 或 x=3,
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∴不妨设 A(-1,0) ,B(3,4). ∵ CD ? AB =0,∴CD 垂直平分 AB, ∴CD 所在直线方程为 y=-(x-1)+2, 即 y=3-x,代入双曲线方程整理得 x2+6x-11=0, 令 C(x3,y3),D(x4,y4)及 CD 中点 M(x0,y0) 则 x3+x4=-6,x3?x4=-11, ∴x0= x3 ? x 4 =-3,y0=6,即 M(-3,6).
2

|CD|=

1? k 2

|x3-x4|=
2

1? k 2
10

( x3 ? x4 ) 2 ? 4x3 x4

=4

10



|MC|=|MD|= 1 |CD|=2 |MA|=|MB|=2
10





即 A、B、C、D 到 M 距离相等,∴A、B、C、D 四点共圆. 12.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A、 B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的 右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 解 (1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 ①

后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0

依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,
?k 2 ? 2 ? 0 ? ?? ? (2k ) 2 ? 8(k 2 ? 2) ? 0 ? 故 ?? 2 k ? 0 ? ? k2 ? 2 ? 2 ? ?0 ?k 2 ? 2 ?

解得 k 的取值范围为-2<k<-

2

.
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(2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2k ? ? x1 ? x 2 ? ? 2?k2 则由①式得 ? ?x ? x ? 2 ? 1 2 k2 ?2 ?



假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦 点 F(c,0) ,则由 FA⊥FB 得 (x1-c)(x2-c)+y1y2=0. 即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得: (k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0 把②式及 c= 5k2+2
6



6 2

代入③式化简得

k-6=0.
6 5 6

解得 k=- 6 ?

或 k= 6 ?

6

5

? (-2,- 2

)(舍去).

可知 k=- 6 ?

5

使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点.

希望大家高考顺利


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