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咸阳高新一中2010-2011学年第一学期期末复习(选修2—1


2009---2010 学年第一学期期末复习
数学选修 2—1 《空间向量》测试卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是( A. OM ? OA ? OB ? OC C. OM ? OA ? ) B. OM ? 2OA ? OB ? OC D. OM ?

1 1 OB ? OC 2 3

1 1 1 OA ? OB ? OC 3 3 3


2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? C , 则 A1 B ? ( A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. ? a ? b ? c D. ? a ? b ? c

3.若向量 m垂直向量a和b,向量n ? ? a ? ? b(? , ? ? R且? 、 ? ? 0)则 ( A. m // n C. m不平行于n, m也不垂直于n B. m ? n D.以上三种情况都可能



4.设向量 {a , b, c} 是空间一个基底,则一定可以与向量 p ? a ? b, q ? a ? b 构成空间的另 一个基底的向量是 A. a ) B. b C. c ) D. a ? ? b ) D. a或b

5.对空间任意两个向量 a, b(b ? o), a // b 的重要条件是( A. a ? b B. a ? ?b C. b ? ? a

6.已知向量 a ? (0,2,1), b ? (?1,1,?2), 则a与b 的夹角为( A.0° B.45° C.90° D.180°

7.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0, AB ? AD ? 0, AC ? AD ? 0 则△BCD 是 A.钝角三角形
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) C.锐角三角形
1

B.直角三角形

D.不确定

8.已知 a ? (? ? 1,0,2? ), b ? (6,2? ? 1,2), 若a // b, 则?与?的值分别为( A. ,



1 1 5 2

B.5,2

C. ?

1 1 ,? 5 2

D.-5,-2 )

9.已知 a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则5a与3b的数量积等于 ( A.-15 B.-5 C.-3 D.-1

10.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么 直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 A. ? ) C.

2 5

B.

2 5

3 5

D.

10 10

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11. A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线, m+n= 若 则 12. 已知 A (0, 3) B 2, ,(-2, 6) C 1, ,(1, 5) 若 | a |? -1, , 的坐标为 . .

3, 且a ? AB, a ? AC, 则向量a

13.已知 a, b 是空间二向量,若 | a |? 3, | b |? 2, | a ? b |?

7 , 则a与b 的夹角为

14. 已知点 G 是△ABC 的重心, 是空间任一点, OA ? OB ? OC ? ? OG , 则?的值 为 O 若 . 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15.如图,M、N、E、F、G、H 分别是四面体 ABCD 中各棱的中点,若此四面体的对棱 相等,求 (1) EF与GH的夹角; (2) EF ? ( NH ? MG) (12 分)

16.如图:ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD,M、N 分别是 PC、AB 中点, 求证:MN⊥平面 PCD.(12 分)

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2

17.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC1⊥AB1,BC1⊥A1C 求证:AB1=A1C(12 分)

18.一条线段夹在一个直二面角的两个面内,它和两个面所成的角都是 30°,求这条线段 与这个二面角的棱所成的角。 (12 分)

19.正四棱锥 S—ABCD 中,所有棱长都是 2,P 为 SA 的中点,如图 (1)求二面角 B—SC—D 的大小; (2)如果点 Q 在棱 SC 上,那么直线 BQ 与 PD 能否垂直? 请说明理由(14 分)

20. 如图, 直三棱柱 ABC—A1B1C1, 底面△ABC 中, CA=CB=1, ∠BCA=90°, AA1=2, 棱 M、N 分别是 A1B1,A1A 的中点, (1)求 BN的长; (2)求 cos ? BA1 , CB1 ? 的值; ( 3 )

求证 : A1 B ? C1 M . (14 分)

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3

咸阳高新一中 2009---2010 学年第一学期期末复习
数学选修 2—1 《空间向量》测试卷
一、选择题 1.D 2.D 3.B 4.C 5.D 二、填空题 11.0 12. (1,1,1)或(-1,-1,-1) 13. 6.C 7.C 8.A 9.A 10.B

参考答案

? 3

14.3

三、解答题 15.解:

1 BD ? EG, EH ? GF 2 ? EGFH是平行四边形 (1) ? HF ? 又AC ? BD,? EGFH是菱形

? 两对角线垂直, 即EF ? HG 故 EF与GH 成90 ? 角 (2)由(1),同理可证EF ? MN ? EF ? 平面GMHM ? EF ? HN , EF ? MG 故 EF ? ( NH ? MG) ? 0

16.证明:

设 AP ? a, AB ? b, AD ? c, 则{a, b, c}为空间的一个基底. 则MN ? AN ? AM ? 1 1 1 1 1 b ? ( AP ? AC ) ? b ? (a ? b ? c) ? ? (a ? c) 2 2 2 2 2

? DC ? AB ? b, PD ? c ? a, PA ? 矩形ABCD ? PA ? AB, PA ? AD, 且AB ? AD ? a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? a ? 0 1 1 (a ? c) ? b ? ? (a ? b ? c ? b) ? 0; 2 2 1 1 1 MN ? PD ? ? (a ? c) ? (c ? a ) ? ? (| c |2 ? | a |2 ? ? (| AD |2 ? | AP |2 ) ? 0; 2 2 2 ? MN ? DC , MN ? PD, 又DC ? PD ? D,? MN ? 平面PCD. 故MN ? DC ? ?
17.证明:

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4

? AB1 ? BC1 ? ( AB ? BB1 )( BC ? CC1 ) ? AB ? BC ? AB ? CC1 ? BB1 ? BC ? BB1 ? CC1 ? AB ? BC ? 0 ? 0 ? CC1 ? 0 又 ? A1C ? BC1 ? ( A1C1 ? C1C )( BC ? CC1 ) ? A1C1 ? BC ? CC1 ? 0
2 2

? AB ? BC ? A1C1 ? BC ? 0 又 AC ? A1C1 ? BC ? ( AB ? AC ) ? 0 取BC中点D. ? AB ? AC ? 2 ? AD ? BC ? AD ? 0, 从而知BC ? AD, ?ABC为等腰三角形 ? AB ? AC 又棱柱ABC ? A1 B1C1为直三棱柱 ? AB1 ? A1C.

? ? ? l ? ?是直二面角, 作AC ? l于C , BD ? l于D 则?ABC ? ?BAD ? 30 ?
18.解:

设 | AB |? a, 则 | AC |? AB ? AC ? CD ? DB.

1 1 a, | BD |? a, 2 2

| AB |2 ? AB ? AB ? ( AC ? CD ? DB ) ?| AC |2 ? | CD |2 ? | BD |2
1 1 1 2 即a 2 ? ( a) 2 ? | CD | 2 ? | a | 2 ,?| CD | 2 ? a 2 | CD |? a 2 2 2 2 又 AB ? AB ? AB ? ( AC ? CD ? DB ) ? AB ? AC ? AB ? CD ? AB ? DB a 2 a 即 : a 2 ? a ? cos 60 ? ? a ? a cos ? AB, CD ? ? a ? cos 60 ? 2 2 2 2 ? ? cos ? AB, CD ?? , ? AB, CD ?? 45 . 2
19.解: (1)取 SC 的中点 E,连结 BE,DE

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5

? ?SCB与?SCD是正角形 ? BE ? SC, DE ? SC 故?BED是二面角B ? SC ? D的平面角, 在?BED中, cos?BED ? ? ?BED ? ? ? arccos 1 3 BE 2 ? DE 2 ? BD 2 3 ? 3 ? 8 1 ? ?? 2 BE ? DE 6 3

故二面角B ? SC ? D的大小为? ? arccos 建立空间坐标系设CQ ? x, (如图), 则 B (0, 2 ,0), D (0,? 2 ,0)

1 3 (2)设AC ? BD ? 0,以射线OA, OB , OS分别为ox, oy, oz轴

2 2 2 2 ,0, ), Q ( x ? 2 ,0, x) 2 2 2 2 2 2 2 3 DP ? ( , 2, ), BQ ? ( x ? 2 ,? 2 , x) 2 2 2 2 P( ? DP ? BQ ? x ? 3 ? 0(? x ? [0,2]) ? BQ与PD不可能垂直.
20.解: (1)以射线 CA, CB, CC1分别为ox, oy, oz 建立坐标系,则 B(0,1,0)

N (1,0,1), | BN |? (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 (2) ? A1 (1,0,2) B1 (0,1,2), C (0,0,0) ? BA1 ? (1,?1,2), CB1 ? (0,1,2),? cos ? BA1 , CB1 ?? ? 1 ? 0 ? (?1) ? 1 ? 2 ? 2 1 ? (?1) ? 2 ? 0 ? 1 ? 2
2 2 2 2 2 2

BA1 ? CB1 | BA1 | ? | CB1 |

?

30 10

1 1 1 1 (3) ? C1 (0,0,2), M ( , ,2) ? C1M ? ( , ,0), A1B ? (?1,1,?2) 2 2 2 2 1 1 C1M ? A1B ? ? (?1) ? ? 1 ? 0 ? (?2) ? 0 2 2 ? A1B ? C1M

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