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2009届高三第一次六校联考数学试卷(理科)及答案


2009 届高三第一次六校联考 (2008. 12)
数 学 试 卷(理科)
考生注意:1.答案一律填在答题纸上,否则无效. 2.本试卷共有 21 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一. 填空题 (本大题满分 60 分)本大题共有 12 题,每题填对得 5 分. 1、已知集合 M ? {0,1, 2}, N ? {x | x ? 2a, a ? M },则集合 M ? N = 2、已知函数 f ? x ? ?
6

1 ? 1? x ? ?1? ,则 f ?1 ? ? ? 的值是__________ 2 ? 1? x ? 3?
2
3

3、在 (1 ? x) (1 ? x ? x ) 的展开式中, x 的系数是 4、已知函数 f ( x) ? log1 ( x ? 6 x ? 5) , 则此函数的单
2 2
D1

(用数字作答) .
C1

调递减区间是
A1

5、如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱长为 a , 则点 A1 到 BC1 的距离为_____________. 6、已知 lg x ? lg x2 ? ... ? lg x10 ? 110 , 则 lg x ? lg x ? ...lg x =___________
2 10
A D

B1

C

B

y
1
? 4
?
3

7、已知函数 y ? f (x) 是偶函数, y ? g (x) 是 奇函数,它们的定义域是 [?? , ? ] ,且它们在

y ? f (x)

x ? [0, ? ] 上的图象如图所示,则不等式 f ( x) ? 0 的解集是 g ( x)

O

?

x

?1

y ? g (x)

8、某公司共有 1000 名员工,下设若干部门,现采用分层抽样方法,从全体员工 中抽取一个容量为 80 的样本, 已知广告部被抽取了 4 个员工, 则广告部的员工人 数是 9、函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1 (a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在一次 函数 y ? mx ? n 的图象上,其中 m ? 0, n ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n



10、从编号为 1,2,…,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则所取 4 个球的最大

第 1 页 共 8 页

号码是 6 的概率为

.

11、一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内注入水并且放 入一个半径为 r 的铁球,这时水面恰好和球面相切,将球从圆锥内取出后,圆锥 内水平面高为 . 12、设函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 M>0,使|f(x)|≤M|x|对于一切实数 x 均 成立,则称 f(x)为 F 函数,给出下列函数:① f(x)=0;② f(x)=x2; ③ f ( x) ? 2sin( x ?

?
4

) ;④ f ( x) ?

x ;其中是 F 函数的序号是 x ? x ?1
2

二.选择题 (本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中 13、 p, q 是两个命题, p : x ? 1 > 1, q : ?3x ? 1??2 x ? 1? >0,则 p 是 q 的 ( 设 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 14、若 f ( x ) ? ? x ? 2ax 与 g ( x) ? ?
2

有且只有一个结论是正确的,选对得 4 分.

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 1 ? ? 在区间 ?1,2? 上都是减函数,则 a ? a ? 1?

x

的取值范围是( A. (?1, 0)

) C. (?1, 0) ?

B. (?1,1)

15、已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ③若 l ∥ m ,则 ? ? ? 其中正确的命题是 ( A. ③④ B. ①③ ②若 ? ? ? ,则 l ∥ m ④若 l ? m ,则 ? ∥ ? ) C. ②④ D. ①②

?0,1?

D. ?0,1?

16、如图,O 是半径为 1 的球心,点 A、B、C 在球面上, OA、OB、OC 两两垂直,E、F 分别为大圆弧 AB 与 AC 的 中点,则点 E、F 在该球上的球面距离是( A. ) C.

? 4

B.

? 3

? 2

D.

2? 4

三.解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,必须写出必要的步骤. 17、(本题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中(如图) AD = AA1 =1, ,

AB ? 2 ,点 E 是 AB 上的动点

第 2 页 共 8 页

(1)若直线 D1 E与EC垂直 ,请你确定点 E 的位置 (2)在(1)的条件下求出异面直线 AD1 与 EC 所成的角 (3)在(1)的条件下求二面角 D1 ? EC ? D 的大小

18、(本题满分 14 分)某人居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班,若该 地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一 次,发生堵车事件的概率如图.(例如:A→C→D 算作两个路段:路段 AC 发生堵 车事件的概率为

1 1 ,路段 CD 发生堵车事件的概率为 ) 5 8

(1)请你为其选择一条由 A 到 B 的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的 路线),使得途中发生堵车事件的概率最小; (2)若记路线 A→C→F→B 中遇到堵车次数为随机变量ξ ,求ξ 的数学期望 Eξ .

19、(本题满分 15 分)某分公司经销某种产品,每件产品的成本为 6 元,并且每件 产品需向总公司交 a 元( 2 ? a ? 6) 的管理费,预计当每件产品的售价 x 元 ( 13 ? x ? 14) 时,一年的销售量为 16-x 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最 大值 Q(a)

第 3 页 共 8 页

20、 (题满分 15 分)设 f ? x ? ?

ax ?1 ?a ? 0, 且a ? 1? . 1? ax

?1 (1)求 f ( x)的反函数f ? x ? ;

?x? 的单调性,不必证明; ?1 (3)令 g ( x) ? 1 ? loga x ,当 ?m,n???1,??? 时 ?m ? n ? , f ?x ? 在 ?m, n ? 上的值 ?
(2)判断 f
?1

域是 ?g ?n?, g ?m?? ,求 a 的取值范围.

21、(本题满分 18 分)在二项式定理这节教材中有这样一个性质:
0 1 2 3 n Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ?Cn ? 2n , n ? N 0 1 2 3 (1)计算 1? C3 ? 2 ? C3 ? 3 ? C3 ? 4 ? C3 的值方法如下: 0 1 2 3 设 S ? 1? C3 ? 2 ? C3 ? 3 ? C3 ? 4 ? C3 3 2 1 0 又 S ? 4 ? C3 ? 3 ? C3 ? 2 ? C3 ? 1? C3 0 1 2 3 相加得 2S ? 5 ? C3 ? 5 ? C3 ? 5 ? C3 ? 5 ? C3 即 2S ? 5 ? 2
3

所以 2S ? 5 ? 2 ? 20 ,利用类似方法求值:
2

0 1 2 0 1 2 3 4 1? C2 ? 2 ? C2 ? 3 ? C2 ,1? C4 ? 2 ? C4 ? 3 ? C4 ? 4 ? C4 ? 5 ? C4

(2)将(1)的情况推广到一般的结论,并给予证明 (3)设 S n 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列 {an } 的前 n 项的和,求
0 1 2 3 n S1Cn ? S 2Cn ? S3Cn ? S 4Cn ? ? ? S n?1Cn , n ? N

第 4 页 共 8 页

数学试卷(理科)答案
6、填空题(5*12=60 分) 1、{0, 2} 2046 7、 ( ? 2、?2 3、?11 4、(5,??) 5、

6 a 2

6、

?

, 0) ? ( , ? ) 3 3

?

8、50

9、8

10、

1 21

11、 3 15r

12、

(1) (4) 7、选择题(4*4=16 分) 13、A 14、D 15、B 16、B 三、解答题(12+14+15+15+18=74) 17、[解]: (1)(2) 解法 1:由 D1 E与EC垂直 ? DE 与 CE 垂直 设 AE=x,在直角三角形 DEC 中求得 x ? 1 所以点 E 是 AB 的中点,取 CD 的中点 Q,则 AQ 平行与 EC,所以 ?D1 AQ 是所求的角,解得 ?D1 AQ =

?

3

解法 2: 利用向量法得异面直线 AD1 与 EC 所成的角为

?

C (3) 解法 1: D1 与 由 E E 的平面角

3 垂直 ? DE 与 CE 垂直, 所以 ?D1 EC 是所求 D1 ? EC ? D

2 2 ,二面角 D1 ? EC ? D 是 arc tg 2 2 2 解法 2:利用向量法得二面角 D1 ? EC ? D 是 arc tg 2 18.(1)记路段 MN 发生堵车事件为 MN. 因为各路段发生堵车事件都是独立的, 且在同一路段发生堵车事件最多只有一次, 所 以 路 线 A → C → D → B 中 遇 到 堵 车 的 概 率 P1 为

求解直角D1DE得 tg ?D1 ED ?

1-P( AC ? CD ? DB )=1-P( AC )·P( CD )·P( DB ) =1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)]=1-

4 7 2 8 ? ? ? ;(3 分) 5 8 3 15

1 (4 分) 2 5 路线 A→E→F→B 中遇到堵车的概率 P3 为 1-P( AE ? EF ? FB )= (5 分) 8
路线 A→C→F→B 中遇到堵车的概率 P2 为 1-P( AC ? CF ? FB )=

第 5 页 共 8 页

显然要使得由 A 到 B 的路线途中发生堵车事件的概率最小, 只可能在以上三条路 线中选择. 因此选择路线 A→C→F→B,可使得途中发生堵车事件的概率最小.(6 分) (2)路线 A→C→F→B 中遇到堵车次数ξ 可取值为 0,1,2,3.(7 分) P(ξ =0)=P( AC ? CF ? FB )=

1 . (8 分) 2

P(ξ =1)=P(AC· CF ? FB )+P( AC ·CF· FB )+P( AC ? CF ? FB ) =

1 3 5 4 1 5 4 3 1 47 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (10 分) 5 4 6 5 4 6 5 4 6 120

P(ξ =2)=P(AC·CF· FB )+P(AC· CF ·FB)+P( AC ·CF·FB)

1 1 5 1 3 1 4 1 1 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (12 分) 5 4 6 5 4 6 5 4 6 120 1 1 1 1 P(ξ =3)=P(AC·CF·FB)= ? ? ? , 5 4 6 120 1 47 12 1 37 ? 2? ? 3? ? ∴Eξ =0× +1× 2 120 120 120 60 ?
答:路线 A→C→F→B 中遇到堵车次数的数学期望为

37 . (14 分) 60

19、 (1) 分公司的一年利润 L (万元) 与售价 x 的函数关系为: (x-a-6) L= (16-x) =- x2 ? (a ? 22)x-16a-96 (2)L=-[x-(

, x ? [13 14]

a ? 22 2 a ? 22 2 )+ ( ] ) -16a-96 x ? [13 14] , , 2 2 a ? 22 a ? 22 12 ? ? 14 (7 分),当 12 ? ? 13 ,即 2 ? a ? 4 时,x=13 时有最 2 2
大值 Q(a)

a ? 22 2 a 2 )+ ] - 5a ? 25 = - 3a ? 21 (万元)(注:把 x=13 代入原式方便) ; 2 4 a ? 22 a ? 22 ? 14 , 即 4 ? a ? 6 时 , x= 当 13 ? 时有最大值 Q(a)= 2 2 2 a - 5a ? 25 . 4
=-[13-(

第 6 页 共 8 页

, 2?a?4 ?- 3a ? 21 ? 2 所以,Q(a)= ? a ? ? 5a ? 25, 4 ? a ? 6 ?4 x ?1 ?1 20、(1) f ? x ? ? log a ( x ? 1或x ? ?1) x ?1
(2) 当0 ? a ? 1 时,f ?1?x?在?1 ? ??和?? ?,1?是减函数 , ?

当a ? 1时,f ?1?x?在?1 ? ??和?? ?,1?是增函数 , ?
(3)因为 g ?n? ? g ?m? 所以 0 ? a ? 1 ,所以

当0 ? a ? 1时,f ?1?x?在?m, n?上是减函数
? 0 ? a ?1 ? ?1 ? g ( n) ? f ?n ? ? g ( m) ? f ?1 ?m ? ?
即 f ?1 ?x ? ? g ?x ? 有两个大于 1 的不等实根.

x ?1 ? ax (0 ? a ? 1) f ?1 ?x? ? g ?x? 转化为 x ?1 1 2 ? ( x ? 1) ? ?3 ? 3? 2 2 a x ?1

0 ? a ? 3? 2 2
2

或用二次方程的方法解.

? ??0 ?1 ? a ?1 h( x) ? ax ? (a ?1) x ? 1, h( x) ? 0 有两个大于 1 的不等实根. ? ? 2a ? h(1) ? 0
21、解: (1)设 S ? 1 ? C2 ? 2 ? C2 ? 3 ? C2
0 1 0 1 2 0 4 1 4 2 4 3 4 2

又 S ? 3 ? C2 ? 2 ? C2 ? 1 ? C2
2 1

0

相加 2S ? 4(C2 ? C2 ? C2 ) ? 16, S ? 8 设 S ? 1? C ? 2 ? C ? 3 ? C ? 4 ? C ? 5 ? C
4 3 2 1 4 4 0

(2 分)

又 S ? 5 ? C4 ? 4 ? C 4 ? 3 ? C 4 ? 2 ? C4 ? 1 ? C4
0 1 2 3 4 相加 2S ? 6(C3 ? C4 ? C4 ? C4 ? C4 ) 0 n 1 n 2 n n n

? S ? 3 ? 24 ? 48
n?1 n n

(4 分) (6 分)

(2) 1? C ? 2 ? C ? 3 ? C ? ? ? (n ? 1)C ? (n ? 2) ? 2 设 S ? 1? C ? 2 ? C ? 3 ? C ? ? ? (n ? 1)C
0 n 1 n 2 n

又 S ? (n ? 1)Cn ? nCn
n 0

n?1

0 ? ? ? 1 ? Cn 1 n

相加 2S ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? Cn )

第 7 页 共 8 页

?S ?

n?2 n ? 2 ? (n ? 2) ? 2 n ?1 n

(10 分)

(3)当 q ? 1 时

S n ? na1
(12

0 1 n 0 1 n S1Cn ? S 2Cn ? ? ? S n?1Cn ? a1Cn ? 2a1Cn ? ? ? (n ? 1)a1Cn 0 1 n ? a1 (1? Cn ? 2 ? Cn ? ? ? (n ? 1)Cn ) ? a1 ? (n ? 2) ? 2n?1

分) 当 q ? 1时

Sn ?

a1 (1 ? q n ) a a ? 1 ? 1 qn 1? q 1? q 1? q

0 1 2 n S1Cn ? S 2Cn ? S3Cn ? ? ? S n?1Cn

a a a a a a 0 1 n ? ( 1 ? 1 q)C n ? ( 1 ? 1 q 2 )C n ? ? ? ( 1 ? 1 q n?1 )C n 1? q 1? q 1? q 1? q 1? q 1? q a1 a1 0 1 n 0 2 1 n ? ( Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? (q C n ? q C n ? ? ? q n?1Cn ) 1? q 1? q a1 a1 n 0 0 1 n ? ?2 ? ? q( C n ? q ? C n ? q1 ? ? ? C n q n ) 1? q 1? q a1 a1 a1 ? 2 n a1q(1 ? q) n n n (16 分) ? ?2 ? ? q(1 ? q) ? ? 1? q 1? q 1? q 1? q
综上, q ? 1 时
0 n

0 n S1Cn ? ? ? S n?1Cn ? a1 (n ? 2) ? 2n?1
n n

a1 ? 2 n a1q(1 ? q) n q ? 1 时 S1C ? ? ? S n?1C ? ? 1? q 1? q

(18 分)

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