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2015-2016高考数学三轮复习课件:第三讲 分类讨论思想


第三讲 分类讨论思想 1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时, 需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结 论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论 是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略. 2.分类讨论的常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决, 引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种: (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的, 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学 定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致, 如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为 零,偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运 算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数 的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置 需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如 含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不 同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. (6)由实际意义引起的讨论:此类问题常常出现在应用题中. 3.分类讨论解题的步骤 (1)确定分类讨论的对象:即对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结:将各类情况总结归纳. 由概念、法则、公式引起的分类讨论 [ 例 1] 设等比数列 {an} 的公比为 q ,前 n 项和 Sn>0(n = 1,2,3,?),则 q 的取值范围是________. [思维流程] [解析] 因为{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0. 当 q=1 时,Sn=na1>0; a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= >0, 1- q ? ? ?1-q>0, ?1-q<0, 1-qn 即 >0(n=1,2,3,?),则有? ①或? n n ? ? 1-q 1 - q >0 1 - q <0 ? ? ②,由①得-1<q<1,由②得 q>1. 故 q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). [答案] (-1,0)∪(0,+∞) 总结————————————— ——————————规律· 四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步: 确定需分类的目标与对象. 即确定需要分类的目标, 一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标. 第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对 分类对象进行区分. 第三步:分类解决 “分目标”问题.对分类出来的 “ 分目 标”分别进行处理. 第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并 作进一步处理. 1.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 C 的离心率等 于 1 3 A.2或2 1 C.2或 2 2 B.3或 2 2 3 D.3或2 ( ) 解析:不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,其中 t≠0, 若该曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6t=2a,|F1F2|=3t=2c, c 2c 3t 1 e=a=2a=6t=2; 若该曲

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