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2015-2016高考数学三轮复习课件:第三讲 分类讨论思想_图文

第三讲 分类讨论思想 1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时, 需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结 论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论 是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略. 2.分类讨论的常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决, 引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种: (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的, 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学 定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致, 如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为 零,偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运 算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数 的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置 需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如 含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不 同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. (6)由实际意义引起的讨论:此类问题常常出现在应用题中. 3.分类讨论解题的步骤 (1)确定分类讨论的对象:即对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结:将各类情况总结归纳. 由概念、法则、公式引起的分类讨论 [ 例 1] 设等比数列 {an} 的公比为 q ,前 n 项和 Sn>0(n = 1,2,3,?),则 q 的取值范围是________. [思维流程] [解析] 因为{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0. 当 q=1 时,Sn=na1>0; a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= >0, 1- q ? ? ?1-q>0, ?1-q<0, 1-qn 即 >0(n=1,2,3,?),则有? ①或? n n ? ? 1-q 1 - q >0 1 - q <0 ? ? ②,由①得-1<q<1,由②得 q>1. 故 q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). [答案] (-1,0)∪(0,+∞) 总结————————————— ——————————规律· 四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步: 确定需分类的目标与对象. 即确定需要分类的目标, 一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标. 第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对 分类对象进行区分. 第三步:分类解决 “分目标”问题.对分类出来的 “ 分目 标”分别进行处理. 第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并 作进一步处理. 1.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 C 的离心率等 于 1 3 A.2或2 1 C.2或 2 2 B.3或 2 2 3 D.3或2 ( ) 解析:不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,其中 t≠0, 若该曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6t=2a,|F1F2|=3t=2c, c 2c 3t 1 e=a=2a=6t=2; 若该曲线为双曲线,则有|PF1|-|PF2|=2t=2a,|F1F2|=3t= c 2c 3t 3 2c,e=a=2a=2t=2. 答案:A 由参数变化而引起的分类讨论 [例 2] 已知 a∈R,求函数 f(x)=x2|x-a|在区间[1,2]上的最小值. [思维流程] [解] 设函数 f(x)=x2|x-a|在区间[1,2]上的最小值为 m. ①当 a≤1 时, 在区间[1,2]上,f(x)=x3-ax2, 因为 f′(x)=3x 2 ? 2 ? -2ax=3x?x-3a?>0,x∈(1,2), ? ? 则 f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以 m=f(1)=1-a. ②当 1<a≤2 时, 在区间[1,2]上,f(x)=x2|x-a|≥0, 由 f(a)=0,知 m=f(a)=0. ③当 a>2 时, 在区间[1,2]上,f(x)=ax2-x3, f′(x)=2ax-3x 2 ?2 ? =3x?3a-x?. ? ? 若 a≥3,在区间(1,2)上,f′(x)>0,则 f(x)是区间[1,2]上的增函 数,所以 m=f(1)=a-1; 2 若 2<a<3,则 1<3a<2, ? 2 ? 2 当 1<x<3a 时,f′(x)>0,则 f(x)是区间?1,3a?上的增函数, ? ? ?2 ? 2 当3a<x<2 时,f′(x)<0,则 f(x)是区间?3a,2?上的减函数, ? ? 因此当 2<a<3 时,m=f(1)=a-1 或 m=f(2)=4(a-2). 7 当 2<a≤3时,4(a-2)≤a-1,故 m=f(2)=4(a-2), 7 当3<a<3 时,4(a-2)>a-1,故 m=f(1)=a-1. 1-a,a≤1, ? ? ?0,1<a≤2, ? 综上所述,函数的最小值 m=?4?a-2?,2<a≤7, 3 ? ? 7 a-1,a>3. ? ? 总结————————————— ——————————规律· 两类与参数有关的分类讨论问题 (1)由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同, 所 以要对某些问题中所求的变量进行讨论; (2)有的问题中虽然不需要对变量讨论,但却要对参数讨 论.在求解时要注意讨论的对象,同时应理顺讨论的目的. 3 2 2.(2013· 东北三校联考)已知函数 f(x)=ax -2x +1(x∈R),

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