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上海市杨浦区2016届高三上学期期末质量调研数学(文)试卷

杨浦区 2015 学年度第一学期期末高三年级 3+1 质量调研
数学学科试卷(文科)
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2016.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
? 1 0? ?2 4 ? 1. 已知矩阵 A ? ? ?,B ?? ? ,则 A ? B ? ? ?1 2 ? ? 1 ?3 ?



2. 已知全集 U=R,集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 ,则集合 ? U A ? ___________________. 3. 已知函数 f ? x ? ? log 3 ?

?

?

?4 ? ? 2 ? ,则方程 f ?1 ? x ? ? 4 的解 x = _____________. ?x ?

4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为 4 米的球作为道具,该球表面用白布包裹,则至少需 要白布_________平方米.
开始

5.无穷等比数列 ?an ? ( n ? N * )的首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 则前 n 项和 S n 的极限 lim S n =___________.
n ??

1 , 3

S=0

k=1 是

6. 已知虚数 z 满足 2z ? z ? 1 ? 6i ,则 z ? ___________. 7.执行如右图所示的流程图,则输出的 S 的值为 8. 1 ? .
k>2016 否 S=S+ 1 k(k+1) 输出S

?

3

x 展开式中 x 的系数为_________________.

?

8

9.学校有两个食堂,现有 3 名学生前往就餐,则三个人在 同一个食堂就餐的概率是_________.
k=k+1 结束

10.若数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的标准差为 2 ,则数 3a1 ? 2,3a2 ? 2,3a3 ? 2,3a4 ? 2,3a5 ? 2 的标 准差为 .

11.如图,在矩形 OABC 中,点 E、F 分别在线段 AB、BC 上, 且满足 AB=3AE,BC=3CF,若 OB ? ? OE ? ? OF (? , ? ? R ) , 则 ? ? ? ? ________________.

C

F

B E A

O

1

? x 2 ? 4 x ? 3, x ≤ 0 ? 12.已知 f ? x ? ? ? 2 ,当 x ? ?? 2, 2? 时不等式 f ? x ? a ? ≥ f ? 2a ? x ? 恒成立, ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0
则实数 a 的最小值是_____ .

13.抛物线 C 的顶点为原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为 物线于点 A, B ,若 AB ? 8 ,则抛物线 C 的方程为_________________.

? 的直线 l 交抛 4

14. 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ? x ? ? x , 当 x ? 0 时 ,
2

f ? x ? 1? ? f ? x ? ? f ?1? ,若直线 y ? kx 与函数 y ? f ? x ? 的图象恰有 7 个不同的公共
点,则实数 k 的取值范围为_________________.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 下列四个命题中,为真命题的是 A. 若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 C. 若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 ( B. 若 a ? b , c ? d 则 a ? c ? b ? d D. 若 a ? b ,则 ).

16. 设a, b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件

? 6

? ”是“| a ? b |? 1 ”的 3

1 1 ? a b



).

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

17.对于平面 ? 和两条直线 m, n , 下列命题中真命题是 A. 若 m ? ? , m ? n , 则 n‖ ? B. 若 m‖ ? , n‖ ? , 则 m‖ n C. 若 m, n 与 ? 所成的角相等, 则 m‖ n D. 若 m ? ? , m‖ n , 且 n 在平面 ? 外, 则 n‖ ? ? 18.下列函数中,既是偶函数,又在 ?0, ? ? 上递增的函数的个数是 ① y ? tan x A. 1个 ② y ? cos?? x ? B. 2 个 ③ y ? sin ? x ?

( ④ y ? cot



C. 3 个

?? ? ? 2? ? D. 4 个

x 2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
2

定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分 . 如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充。 已知金字塔的每一条棱和边都相等。 (1) 求证:直线 AC 垂直于直线 SD ; (2) 若搭边框共使用木料 24 米, 则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填 满?
S

C

D

B

A

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分 .

某农场规划将果树种在正方形的场地内。为了保护果树不被风吹,决定在果树 的周围种松树。 在下图里,你可以看到规划种植果树的列数 (n),果树数量及松树 数量的规律:
n=1 n=2 n=3 n=4

= 果树 = 松树
(1)按此规律,n = 5 时果树数量及松树数量分别为多少;并写出果树数量 a n ,及松

树数量 b n 关于 n 的表达式
(2)定义: f (n ? 1) ? f (n )

?n ? N ?为 f (n) 增加的速度;现农场想扩大种植面积,问:
*

哪种树增加的速度会更快?并说明理由

3

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分. 如图,在一条景观道的一端有一个半径为 50 米的圆形摩天轮 O,逆时针 15 分钟转一圈,

OA 垂直于地面 AM , 从 A 处进入摩天轮的座舱, 在距离 A 处 150 米处设置了一个望远镜 B .
(1)同学甲打算独自乘坐摩天轮,但是其母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱 5 分钟 后, 在座舱内向其母亲挥手致意, 而其母亲则在望远镜 B 中仔细观看。 问望远镜 B 的仰角 ? 应调整为多少度?(精确到 1 度) (2)在同学甲向其母亲挥手致意的同时,同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿 化带 BD ,发现取景的视角 ? 恰为 45? ,求绿化带 BD 的长度(精确到 1 米)

C O ?

? M A D B

4

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分

x2 y 2 y 2 x2 如图,曲线 ? 由两个椭圆 T1 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 和椭圆 T2 : 2 ? 2 ? 1? b ? c ? 0 ? a b b c
组成,当 a, b, c 成等比数列时,称曲线 ? 为“猫眼曲线”. (1) 若猫眼曲线 ? 过点 M 0, ? 2 ,且 a, b, c 的公比为

?

?

2 ,求猫眼曲线 ? 的方程; 2

(2) 对于题(1)中的求猫眼曲线 ? ,任作斜率为 k ? k ? 0 ? 且不过原点的直线与该曲线相 交, 交椭圆 T1 所得弦的中点为 M , 交椭圆 T2 所得弦的中点为 N , 求证: 关的定值; (3) 若斜率为 2 的直线 l 为椭圆 T2 的切线,且交椭圆 T1 于点 A, B , N 为椭圆 T1 上的任 意一点(点 N 与点 A, B 不重合) ,求 ?ABN 面积的最大值.

k OM 为与 k 无 k ON

y

o

x

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. 已知函数 f ?x ? (x ? D) , 若存在常数 T (T>0) , 对任意 x ? D 都有 f ?x ? T ? ? T ? f ?x ? , 则称函数 f ?x ? 为 T 倍周期函数
5

(1)判断 h ?x ? ? x 是否是 T 倍周期函数,并说明理由 (2)证明 g ?x ? ? ? ? 是 T 倍周期函数,且 T 的值是唯一的 (3) 若 f ?n ? (n ? N ) 是 2 倍周期函数,f ?1? ? 1 ,f ?2 ? ? ?4 ,S n 表示 f ?n ? 的前 n 项和,
*

?1? ?4?

x

Cn ?

S2n ,求 lim C n n ?? S 2 n ?1

文科评分参考 一、 1. ? ? 填空题

?3 4 ? ? ? ? 0 - 1?
7.

2.

? ??, ?1? ? 2, ?? ?
8. ?56 9.

3.1

4. 16?

5.

3 2

6. 5

2016 2017
2

1 4

10.6

11.

3 2

12.4

13. y ? 4 x

14. ( 2 2 ? 2 , 2 6 ? 4 )

二、选择题 15.C 16.A 17.D 18.A 三、解答题 19. (本题 12 分,第一小题 6 分,第二小题 6 分) 解: (1)如图,连接 AC , BD 交于点 O ,则 O 为线段 BD 中点, 在正方形 ABCD 中,对角线 AC ? BD 在 ?ASC 中, (2 分)
S

SA ? SC ,? SO ? AC
C
6

D

B

A

SO

BD ? O ,? AC ? 平面 SBD

(2 分) (2 分) (2 分)

? AC ? SD
(2)边长为 3 米

? 2? 3 2 ? 棱锥的高 SO ? 1 ? ? ? 2 ? ?3 ? 2 ? ?
2

2

(2 分)

? V?

1 2 3 2 9 2 立方米 ?3 ? ? 3 2 2
9 2 立方米填充材料. 2

(2 分)

答:需要

20. (本题 14 分,第一小题 6 分,第二小题 8 分) (1)n = 5 时果树 25 棵,松树 40 棵 (2 分) (2 分) (2 分)
2

an ? n2

b n ? 8n
(2) a n ?1 ? a n ? ?n ? 1? ? n 2 ? 2n ? 1

(2 分) (2 分) (2 分) (2 分)

b n ?1 ? b n ? 8?n ? 1? ? 8n ? 8
当 n ? 3 时,2n+1 < 8 当 n ? 4 时,2n+1 > 8 松树增加的速度快 果树增加的速度快

21. (本题 14 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分, ) (1) 逆时针 15 分钟转一圈,

C O

? 5 分钟转过 120? ,
过点 C 作 CH ? AB 于点 H ,

(2 分)

则 CH ? 50 ? 50 ? sin ?120? ? 90? ? ? 75 , (2 分)

? M A D B

BH ? 150 ? 50 ? cos ?120? ? 90? ? ? 150 ? 25 3

(2 分)

? tan ? ?

CH 75 3 6? 3 6? 3 ,?? ? arctan ? ? ? ? 35? 11 BH 150 ? 25 3 2 3 ? 1 11

(2 分)
7

答:望远镜的仰角 ? 设置为 35? (2)在 ?BCD 中, ? ? 35?, ? ? 45? ,??CDH ? 80? (2 分)

CH 75 ? sin 80? sin 80? BD CD 由正弦定理得: ? sin ? sin ? CD ? sin ? 75 ? sin 45? ? BD ? ? ? 94 sin ? sin 80? ? sin 35? ? CD ?
答:绿化带的长度为 94 米.

(2 分) (2 分)

22. (本题 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) (1) b ?

2 ,? a ? 2, c ? 1 ,

(2 分)

?T1 :

x2 y 2 y2 ? ? 1 , T2 : ? x 2 ? 1 ; 4 2 2

(2 分)

(2)设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,线段 CD 中点 M ? x0 , y0 ?

? x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

? x12 y12 ? ?1 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ?4 2 由? 2 ,得 2 4 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 2 ? 4
? k 存在且 k ? 0 ,? x1 ? x2 ,且 x 0 ? 0 ?

(2 分)

y1 ? y2 y0 1 1 ? ? ? ,即 k ? k OM ? ? 2 x1 ? x2 x0 2

(2 分)

同理, k ? k ON ? ?2

?

k OM 1 ? 得证 k ON 4
2x ? m

(2 分)

(3)设直线 l 的方程为 y ?

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,? b ? 2c x ? 2 2mc x ? m c ? b c ? 0 ?y x2 ? 2 ? 2 ?1 c ?b

?

?

? ? 0 ,? m 2 ? b 2 ? 2c 2

8

l1 : y ? 2 x ? b 2 ? 2c 2

(2 分)

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ? b ? 2a x ? 2 2ma x ? m a ? b a ? 0 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

?

?

? ? 0 ,? m 2 ? b 2 ? 2a 2
l2 : y ? 2 x ? b 2 ? 2 a 2
两平行线间距离: d ? (1 分)

b 2 ? 2c 2 ? b 2 ? 2a 2 3

(1 分)

? AB ?

2 3ab 2a 2 ? 2c 2 b 2 ? 2a 2

(1 分)

ab 2a 2 ? 2c 2 b 2 ? 2c 2 ? b 2 ? 2a 2 1 ??ABN 的面积最大值为 S ? AB ? d ? 2 b 2 ? 2a 2
注:若用第一小题结论,算得:

?

?

(1 分)

AB ?

?

8 2

?

2

? 4?5? 4

5

?

4 3 5

d?

10 ? 2

? 2?

2

? ? ?1?

?
2

10 ? 2 3

1 4 3 10 ? 2 2 10 ? 4 ?ABN 的面积最大值为 S ? ? ? ? 2 5 5 3
23. (本题 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 解: (1) 设: h ?x ? T ? ? T ? h ?x ? 则 x ?T ? T?x 对任意 x 恒成立

得3分

(2 分) (2 分)

? T 无解

? h ?x ? ? x 不是 T 倍周期函数

(2) 设: g ?x ? T ? ? T ? g ?x ?

?1? 则 ? ? ?4?

x ?T

?1? ? T ?? ? ?4?

x

对任意 x 恒成立

(2 分)

?1? ? ? ?T ?4?
下证唯一性:

T

T?

1 2

(2 分)

9

1 若T ? 2 , 1 若T ? 2 ,
? T?

?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4? ?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4?
T 1

T

1

矛盾

矛盾

1 是唯一的 2

(2 分)

(3) f ?3? ? f ?1 ? 2 ? ? 2f ?1? ? 2

f ?5? ? f ?3 ? 2 ? ? 2f ?3? ? 2 2 f ?7 ? ? f ?5 ? 2 ? ? 2f ?5? ? 2 3
??

f ?2n ? 1? ? f ?2n - 3 ? 2 ? ? 2f ?2n - 3? ? 2 n -1 f ?1? ? f ?3? ? f ?5? ? ? ? f ?2n - 1? ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1
同理: f ?2 ? ? f ?4 ? ? f ?6 ? ? ? ? f ?2n ? ? ?4 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

(2 分)

?

n ?1

? ? ?4?2

n

? 1 (2 分)

?

? S 2 n ? f ?1? ? f ?2 ? ? ? ? f ?2n ? ? ?3 2 n ? 1

?

?
n

同理: S 2 n ?1 ? f ?1? ? f ?2 ? ? ? ? f ?2n ? 1? ? ?2 ? 3

(2 分)

S2n 3 2n ? 1 Cn ? ? n S 2 n ?1 2 ?3

?

?

n ??

lim C n ? 3

(2 分)

10