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2015-2016第一学期概率A卷答案

北京信息科技大学 2015 ~2016 学年第一学期

《概率论与数理统计 A》课程期末考试试卷 A 参考答案
一.1. (1) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B) ? 0.3 ? 0.3 ? 0.125 ? 0.475 …..3 分
(2) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B) ? 0.3 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.51 ……5 分
2 C10 45 ? 2 C12 66

2. (1)P{两次都是正品}=

……………3 分

(2)P{一正品一次品}=

1 1 C10 ? C2 10 ? 2 33 C12

……………5 分

3. (1) E(T1 ) ? ? ? E(T2 ) 都是无偏估计 (2) D(T1 ) ? ( T2 比 T1 有效 4. Y P 0 2/5 1 7/30 4 11/30

…………….2 分

2 2 5 ? ) D( X ) ? D( X ); 36 9 18

D(T2 ) ?

1 D( X ) ………..4 分 4

……………5 分

……………5 分 5. E(X-Y) = -1 , ……………1 分

D(X-Y) = D(x)+D(Y) =3+4=7……………3 分

X - Y ~ N ( ?1,7)
6. (1)

……………5 分

1 n ?2 X ~ N ( ? , ) ? i n i ?1 n
1

……………3 分

(2)

?2

?
i ?1
2 1

n

( X i ? ? ) 2 ~ ? 2 ( n)

……………5 分

二. 1.(1) 1 ? ? c(1 ?

1 1 2 c )dx ? c( x ? |1 )? ; 2 x 2 x

c?2

……………4 分

(2)随机变量 X 的分布函数

0, x ?1 ? ? x 1 1 F ( x) ? ?? 2(1 ? 2 )dt ? 2( x ? ? 2), 1 x t ? 1 , x ? 2 ?
1

1 ? x ? 2 ………..8 分

2.

z ? 0, f Z ( z ) ? ?

?

??

f ( x, z ? x)dx ? ? 2e ? x ? e ?2( z ? x ) dx ? 2e ? z ? 2e ?2 z
0
n

z

z ? 0, f Z ( z ) ? 0

……..8 分

3. 构造似然函数 L(? , x1 , x2 ,?, xn ) ?

?
k ?1

?x

k

xk

e ??

.............3 分

n d 1 ln L(? , x1 , x2 ,?, xn ) ? (? xk ) ? ? n ? 0 d? ? k ?1

.............6 分

得估计

??

^

1 n ? xk ? X n k ?1
?

.............8 分

三. (1) E ( X ) ? ? x ?
0

2x

?
2

2

dx ?

2? 3
2

…………..4 分

(2) D( X ) ? E ( X ) ? E ( X ) ? (3) P{ X ? 1} ?

?2
2
1

?

4? 2 ? 2 ? 9 18

…………7 分

?

?

2x

1 1

?
x

2

dx ? 1 ?

?2
c ? 10

………….10 分 …………..4 分

四. (1)

1 ? c ? dx ? xy 2 dy ?
0

1

c , 10

(2)

10 ? 1 ?10? xy 2 dy ? ( x ? x 4 ), 0 ? x ?1 f X ( x) ? ? x 3 …………7 分 ? 0, 其他 ?
y ? ?10? xy 2 dx ? 5 y 4 , f Y ( y) ? ? 0 ? ? 0,

0 ? y ?1 其他

……………10 分 …………….12 分

(3) f ( x) ? f X ( x) ? f Y ( y)

X 与 Y 不相互独立。

五. (1)已知

X ??

? 2 /n

~ N (0, 1),

?| X ? ? | ? P? ? u 0.025 ? ? 0.95 ; …………4 分 2 ? ? /n ?

置信度为 0.95 的 ? 的置信区间:

[X ? u 0.025 ? ? 2 / n , [X ? u 0.025 ? ? 2 / n ] ? [5.608, 6.392 ]
(2)

……….6 分 …………10 分

X ?? S2 / n

~ t (n ? 1),

?| X ? ? | ? P? ? t 0.025 (n ? 1)? ? 0.95 2 ? S /n ?

置信度为 0.95 的 ? 的置信区间:

[ X ? t 0.025 (8) ? S 2 / n , [ X ? t 0.025 (8) ? S 2 / n ] ? [5.559 , 6.441] ………….12 分

2

六. (1)

X ?? S2 / n

~ t (n ? 1),

?| X ? ? | ? P? ? t 0.025 (n ? 1)? ? 0.05 ……….4 2 ? ? /n ?
…………5

| X ??| S /n
2

?

0.632- 0.618 ? 20 ? 0.4816? 2.0930, 0.13

, 接受 H 0 : ? ? 0.618
(2)

…………6

(n ? 1) S 2

?2

~ ? (n ? 1),
2

(n ? 1) S 2

?2

? 26.5372? [8.907, 32.852]

……. 10 分

接受 H 0 : ? 2 ? 0.112

………….12 分

3


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