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2015山东高考数学理科试题及答案


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答案卸载试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1.已知集合 A ? x x2 ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? ?x 2 ? x ? 4? ,则 A I B ? ( C (A) ( 1,3 ) (B) ( 1,4 ) (C) ( 2,3 ) (D) ( 2,4 ) A)
z ? i 其中 i 为为虚数单位,则 Z=( 1? i

?

?

)

2.复数 Z 满足 A
1? i

B 1? i C

?1? i

D

?1? i

? 3 要得到函数 y ? sin(4 x ? ) 的图象,只需要把 y ? sin 4 x 的图象( B ) 3 ? ? ? ? A 向左平移 个单位 B 向右平移 个单位 C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位 12 12 3 3 uuu r uuu r 4.已知菱形 ABCD 的边长为 a, ?ABC ? 60? 则 BDgCD ? ( D )
3 3 3 3 ? a2 B ? a2 C a2 D a2 2 4 4 2 5.不等式 x ? 1 ? x ? 5 ? 2 ,则不等式的解集为( A (??, 4) B (??,1) C (1, 4) D (1,5)

A

A)

?x ? y ? 0 ? 6.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 4,则 a=( ?y ? 0 ?

B)

A

3

B

2

C

-2

D

-3

7.在梯形 ABCD 中,若 ?ABC ? A
2? 3

?
2

, AD / / BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 ,将梯形绕 AD 所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积为 (

C)

B

4? 3

C

5? 3

D 2?

8:已知某批零件的长度(单位;毫米)服从正态分布 N(0,32 ) ,其中随机抽一件,其长度落在 (3,6)内的概率是( B ) 2 (附:若随机变量 ? 服从正态分布 N(? , ? ) ,其概率 p(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 68.26%, p(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 95.44%, A 4.56% B 13.59% C 27.18% D 31.74% 9:一条光线从 (?2, ?3) 射出,经过 y 轴反射后与圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相切,则反射光线所在的直线的斜率( D )
5 3 A ? 或? 3 5

3 2 B? 或 ? 2 3
?3x ? 1, ( x ? 1)
x ?2 , ( x ? 1)

5 4 C? 或 ? 4 5

3 4 D? 或 ? 4 3

10.设函数 f ( x) ? ?
2 A [ ,1] 3

f (a) ,则满足 f ( f (a) ? 2 的 a 的取值范围(C )

B [0,1]

2 C [ , ??) 3

D [1, ??)

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分
11:
C10 ? 40 ;
1 C30 ? C3 ? 41 ; 1 观察: C50 ? C5 ? C52 ? 42 ; 1 3 C70 ? C7 ? C72 ? C7 ? 43 ;

LLL
n ?1 0 1 2 n ?1 照此规律,当 n ? N * 时, C2n ?1 ? C2n ?1 ? C2n ?1 ? L ? C2n ?1 ? 4

? 12:若“ ?x ? [0, ], tanx ? m ”为真,则 m 的最小值为 1 4 11 13:执行右边程序框图,则输出的 T 为 6
14:已知函数 f ( x) ? a x ? b(a ? 0, a ? 1) 的定义域和值域都是 [ ?1, 0] ,则 a+b= 15:在直角坐标系 xoy 中,双曲线 C1 :
? 3 2 3 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 C2 : x 2 ? 2 py( p ? 0) 交于点 O,A,B,三角形 OAB 的垂心是 C2 的焦点,则 C1 的离心率 a 2 b2

三、解答题:本答题共 6 小题,共 75 分。
? 16: ( 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? cos 2( x ? ) 4 ( 1) 求函数 f ( x) 的单调区间;
( 2) 在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,已知 17:(12 分 )在三棱台 DEF-ABC 中 AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中 点,
A f ( ) ? 0, a ? 1 ,求三角形 ABC 面积的最大值。 2

( 1) 求证: BD / / 面FGH (2)若 CF ? 面ABC,AB ? BC,CF=DE,?BAC=45? ,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的锐角的大小 18: ( 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 且满足 2Sn ? 3n ? 3
an ( 1) 求数列 ?an ? 的通项公式; ( 2)若数列 ?bn ? 满足 anbn ? log3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn

19: ( 12 分)若 n 是一个三位正整数,且个位数大于十位数,十位数大于百位数,则称 n 为“三位递增数” (例“ 137,359, 567, ”等) 在某次趣味数学活动中,每位参赛者需从所有的“三位递增数中随机抽取一个数且只有一次, ,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,则得零分;若能被 5 整除,且不 能被 10 整除则得 -1 分;若能被 10 整除,则得 1 分; ( 1)写出所有个位数字为 5 的 ”三位递增数 ”; ( 2)若甲参加活动,求出甲得分 X 的分布列及数学期望 E X 20:(13 分 ) 在直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C : 求椭圆 C 的标准方程: (ⅱ)设椭圆 E :
OQ OP

3 x2 y 2 , F1 , F2 分别为左右焦点,以 F1 为圆心,以 3 为半径的圆与以以 F2 为圆心,以 1 为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上(ⅰ) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

x2 y2 ? ? 1, P 为椭圆 C 上的任意一点,过 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于 Q, 4a2 4b2



的值; ( 2)求三角形 ABQ 面积的最大值。

21: ( 14 分)设函数 f ( x) ? ln( x ?1) ? a( x 2 ? x),( a ? R) (ⅰ)讨论函数 f ( x) 极值点的个数,并说明理由; (ⅱ)若 ?x ? 0,f(x) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围

理科答案 CABDA;BCBDC; 4 n ?1 ,;1,;
11 3 ? 6 2

;

3 2

1 16 解: f ( x) ? sin x cos x ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 x ? 4 2
2k? ?

?

1 ? cos 2(x ? ) 4 ? 1 sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? 1 2 2 2 2

?

?
2

? 2 x ? 2k? ?

?
2

? k? ?

?
4

? x ? k? ?

?
4

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?
2k? ?

?

, k? ? ] 4 4

?

?
2

? 2 x ? 2k? ?

3? ? 3? ? k? ? ? x ? k? ? 2 4 4

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 [k? ?

?
4

, k? ?

3? ] 4

( 2)

A 1 1 ? ? Q f ( ) ? sin A ? ? 0,? sinA ? , Q A ? (0, ) ? A ? 2 2 2 2 6

由余弦定理得: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos

?
6

? 2bc ? 3bc ? (2 ? 3)bc Q a ? 1?bc ? 2 ? 3

1 1 1 2? 3 当且仅当“ b ? c ”时取等号所以 S ? bc sin A ? ? ? (2 ? 3) ? 2 2 2 4

2? 3 4 17:法一:连接 DC 交 FG 于 O,连接 OH,在三棱台 DEF-ABC 中 AB=2DE,DE//AB,EF//AB,BC=2EF

即三角形 ABC 面积的最大值为

G,为 AC,的中点,DF//AC,AC=2DF 所以 DC//GC,DF=GC 所以四边形 DFCG 为平行四边形 即 O 为 CD 的中点,H 为 BC 的中点 所以 OH//BD,
Q BD ? 面GHF,DH ? 面GHF ? BD/ /面 GHF

法二:在三棱台 DEF-ABC 中 AB=2DE,DE//AB,EF//AB,BC=2EF G,H 分别为 AC,BC 的中点, GH//AB,BC=2BH 所以 DE//GH,EF//BH,EF=BH 所以四边形 BHFE 为平行四边形 即 BE//HF Q BD ? 面 BDE ? BD/ / 面 GHF 因为 DE I BE ? E , GH I HF ? H ,? 平面 BDE/ / 平面 GHF, (2) 因为 CF ? 面ABC,AB ? BC 以 C 为坐标原点,平行于 AB 的射线为 x 轴, CB,CE 分别为 y 轴,z 轴建立空间坐标系 则 C( 0,0,0) ,设 AB=2,则 DE=1, Q AB ? BC,CF=DE,?BAC=45?? AB ? 2 2,CF ?? 1, CB ? 2 B(0, 2, 0) A( -2,2,0) G( -1,1,0) H( 0, 1, 0) F( 0,0,1) uuu r uuu r uur uuu r 则 GH ? (1,0,0), FH ? (0,1, ?1) , CA ? (?2, 2,0), CF ? (0,01)
r u u r 设平面 FGH,和平面 ACFD 的法相量分别为 n1 ( x1 , y1 , z1 ), n2 ( x2 , y2 , z2 )
r uuu r ?n1 gGH ? 0 ?? x1 ? 0 u r ? ?? 则 ? r uuu 令 y1 ? 1? n1 ? (0,1,1) r y ?z ?0 ? ?n1 gFH ? 0 ? 1 1 r uur ? u r ??2 x2 ? 2 y2 ? 0 ?n2 gCA ? 0 ?? 则 ? r uuu 令 y2 ? 1? n1 ? (1,1,0) r z ?0 ? ?n2 gCF ? 0 ? 2

则 n1 gn2 ? 1, n1 ? n2 ? 2 设平面 FGH 与平面 ACFD 所成的锐角为 ? ,则 cos? ? 平面 FGH 与平面 ACFD 所成的锐角的大小为 60? 18: Q 2Sn ? 3n ? 3(1),? n ? 2, 2 Sn ?1 ? 3 n ?1 ? 3(2),(1) ? (2) ? 2a n ? 3 n ?3 n ?1 ? 23 n ?1
n ? 1, S1 ? 3?3 ? 3, a1 ? 30 ? 1 2

u r u u r

u r

u u r

1 2? 2

?

1 2

即 an ? ?

?3n ?1 (n ? 2) ?3(n ? 1)

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?

?3n ?1 ( n? 2) n? 1) ?3 (

1 ? (n ? 1)( ) n ?1 (n ? 2) ? ? 3 an ( 2) 因为 an bn ? log3 ? bn ? ? 1 ? ? ?3

( 3) 当 n=1 时 Tn ? b1 ? 1
1 1 1 1 1 1 当 n ? 1 时 Tn ? ? 1? ? 2( )2 ? L L ? (n ? 1)( )n ?1 (1) 3Tn ? 1 ? 1 ? 2( )1 ? L L ? (n ?1)( )n? 2 (2) 3 3 3 3 3 3
2 1 1 1 2 (2) ? (1), 2Tn ? ? 1 ? ( )1 ? L L ? ( ) n ? 2 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? 3 3 3 3 3 1 1 ? ( ) n ?1 1 3 ? ( n ? 1)( ) n ?1 1 3 1? 3

=

13 6n ? 3 13 6n ? 3 所以 Tn ? ? ,当 n=1 时也成立 ? n 6 2g3 12 43n 13 6n ? 3 ? 12 43n

数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn =

19: ( 1)所有个位数字为 5 的 ”三位递增数 ”: 125,135,145,235,245,345. ( 2)全部的“三位递增数”的个数为 C93 ? 84 设随机变量 X 的取值为: 0, -1,1 p(X ? 0) ? 所以 X 的分布列为 X p
2 C83 2 C4 1 1 2 11 ? , p (X ? ? 1) ? ? , p(X ? 1) ? 1 ? ? ? 3 3 14 3 42 C9 3 C9 14

0
2 3

-1
1 14

1
11 42

2 1 11 4 期望 EX ? 0 ? ? (?1) ? ? 1? ? 3 14 42 21

:20:法以设两圆的交点为 M,由题意得期望 MF1 ? MF2 ? 2a, Q MF1 ? 3, MF2 ? 1? 2a ? 4 即 a=1, Q e ?
c 3 x2 ? ? c ? 3 Q a 2 ? b 2 ? c 2 ? b ? 1 故椭圆 C : ? y 2 ? 1 a 2 4

法二:解设椭圆的左右焦点的坐标为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0)

2 ? x? 2 2 ? ? ( x ? c ) ? y ? 9 2 2 ? ? c 由题意得 ? 即交点为 ( ,1 ? ( ? c)2 ) ?? 2 2 2 c c ?( x ? c ) ? y ? 1 ? y 2 ? 1 ? ( ? c)2 ? ? c ? ? 2 4 2 ?c 3 ?a ? 3 c ? ? ? 因为 ? a ?? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?b 2 ? 1 c 2 ? ? 3 ?

x2 y 2 2 2 因为交点为 ( ,1 ? ( ? c)2 ) 在椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 c c a b 所以
2 2 ( ) 2 1 ? ( ? c) 2 3 c ? c ? 1 ? c 2 ? 3 或 c2 ? 4 2 1 2 4 c c 3 3

3 (2 ? ) 2 3 2 2 2 4 ? 0 所以舍去 将 c ? 代入 y ? 1 ? ( ? c) ? 1 ? 3 4 c 4
2

所以 c 2 ? 3, a 2 ? 4, b2 ? 1 ( 2) 椭圆 E :
OQ OP ? ?则

故椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1 4 x0 2 ? y0 2 ? 1 4

x2 y 2 ? ?1 16 4

,设 P 点 ( x0 , y0 ),?
x2 y 2 ? ?1 16 4



Q (? x0 , ? y0 ), 在 E :



OQ (? x0 )2 (? y0 )2 ? ? ?2 ? ?1? ? ? 2 ? OP 16 4 OQ OP

法二:当 x0 ? 0 时, P(0, ?1), Q(0, ?2) ?

?2

? x2 y2 ?1 ? ? ? 16 4 2 2 ? OQ y0 ? y0 ? x p ? 4 x0 ?? 2 ? ? 当 x0 ? 0 时 ,射线 PO 的方程为 y ? x, ? y ? x 2 x0 ? x0 OP ? y p ? 4 y0 ? ?x 2 ? 0 ? y0 2 ? 1 ? 4

xp2 ? yp2 x0 2 ? y0 2

?2

( 3) 设 A,B 两点分别 ( x1 , y1 ),(x 2 , y2) 因为点 P ( x0 , y0 ) 在直线 y ? kx ? m 上 所以 y0 ? kx0 ? m
? x2 ? ? y2 ? 1 ? (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx+4m2 ? 4 ? 0 V? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0 ? m ? 4k 2 ? 1 ?4 ? y ? kx ? m ? ? x2 y 2 ?1 ? ? ? (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx+4m2 ? 16 ? 0 : ?16 4 ? y ? kx ? m ?
V? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 16) ? 0 ? m2 ? 16 ? 4k 2 x1 ? x2 ? ?

16[16k 2 ? m2 ? 4] 4(4k 2 ? 1) ? m2 8km 4m2 ?16 2 x ? x ? [( x ? x ) ? 4 x x ] ? ( ? 4 [ ] , x x ? 1 2 1 2 x 2 2 2 1 2 (4k ? 1) (4k 2 ? 1) 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

三角形 ABO 面积 S ? 令t ?

2 4(4k 2 ? 1) ? m2 m 1 m2 m2 x1 ? x2 ? m ? ? 2 (4 ? ) 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 1 ? 4 k 2

m2 ,则 0 ? t ? 1, S ? 2 (4 ? t )t ? 2 ?t 2 ? 4t ? 2 3 当且仅当“ t=1”时取等号 4k 2 ? 1 所以三角形 ABQ 面积的最大值为 6 3

21: (ⅰ)解当 a=0 时, f ( x) ? ln( x ? 1) 在定义域 (?1, ??) 为增函数,所以不存在极值点; 当 a ? 0, f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x2 ? x),f'(x) ? 令 f'(x) ?
1 ? a(2 x ?1) x ?1

1 2ax2 ? ax ? 1 ? a ,令 g (x) ? 2ax 2 ? ax ? 1 ? a ? 0 ? a(2 x?1) ? x ?1 x ?1

8 ( 1)当 , 0 ? a ? 时, V? a 2 ? 4 ? 2a(1 ? a) ? a(9a ? 8) ? 0, f '( x) ? 0 9 函数 f ( x) 在定义域 (?1, ??) 为增函数,所以不存在极值点;

( 2)当 , a ?

8 9
?a ? a(9 a ? 8) ?a ? a(9 a ? 8) , x2 ? 2a 2a

V? a 2 ? 4 ? 2a(1 ? a) ? a(9a ? 8) ? 0 x1 ?

? a ? a (9 a ? 8) ? ?1 2a 函数在 (?1, x1 ), g(x) ? 0, f'(x) ? 0 所以 f ( x) 为增函数;函数在 (x1 , x 2 ), g(x) ? 0, f'(x) ? 0 所以 f ( x) 为减函数 g (?1) ? 1 ? 0,? x1 ?

函数在 (x1 , ??),g(x) ? 0,f'(x) ? 0 所以 f ( x) 为增函数 所以有两个极值点 x1 ?
? a ? a (9 a ? 8) ? a ? a (9 a ? 8) , x2 ? 2a 2a

( 3)当 a<0 时 V? a 2 ? 4 ? 2a(1 ? a) ? a(9a ? 8) ? 0

? a ? a (9 a ? 8) ? ?1 2a 函数在 (?1, x 2 ), g(x) ? 0, f'(x) ? 0 所以 f ( x) 为增函数;函数在 (x 2 , ??), g(x) ? 0, f'(x) ? 0 所以 f ( x) 为减函数 g (?1) ? 1 ? 0, x1 ?

所以有一个极值点 x2 ?

? a ? a (9 a ? 8) 2a

综上述:当 a ? 0 ,函数 f ( x) 有一个极值点;当 0 ? a ? 当a?
8 ,函数 f ( x) 有两个极值点; 9

8 ,函数 f ( x) 有无极值点; 9

8 ,函数 f ( x) 在定义域 (?1, ??) 为增函数,而 f (0) ? 0 9 所以函数在 (0, ??) 上 f ( x) ? 0 符合题意

(ⅱ) ( 1)由(ⅰ)当 0 ? a ?

8 ? a ? 1 , g( x) ? 0, x2 ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 为增函数而 f (0) ? 0 9 所以函数在 (0, ??) 上 f ( x) ? 0 符合题意

( 2)当

( 3)当 a ? 1 , g( x) ? 0, x2 ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0, x 2 ) 为减函数而 f (0) ? 0 所以函数在 (0, x 2 ) 上 f ( x) ? 0 不符合题意 ( 4) 当 a<0 时,设 h( x) ? x ? ln(x ? 1) Q x ? (0, ??), h'( x) ? 1 ? 所以 h( x) 在 (0, ??) 为增函数 所以函数在 (0, ??) 上 h( x) ? h(0) ? 0 即 x ? ln(x ? 1)
f ( x) ? x ? a( x 2 ? x) ? ax 2 ? (1 ? a) x 当 x ? 1 ?

1 1 ? ?0 x ?1 x ?1

1 时 ax 2 ? (1 ? a) x ? 0 此时 f ( x) ? 0 不符合题意 a

综上述: a 的取值范围为 [0,1]


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