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2012《解析几何》基础知识、题型方法


2012 届高三理科数学高考考前复习资料二

《解析几何》基础知识、题型、方法
一、 《直线与方程》知识回顾 考纲要求:见《考试说明》51 页 1.直线倾斜角的定义:__________,直线倾斜角的范围是:_________. [0, ? ) 2.直线的斜率的计算方法有:_____________________________________________. (提示:从下面几方面考虑:① 定义;② 一般直线方程 ;③ 两点坐标;④ 方向向量 ) ▲.斜率与倾斜角的关系:直线存在,斜率不一定存在;斜率不存在,但直线存在。当倾斜角α 是锐 角时,斜率 k 与α 同增同减,当α 是钝角时,k 与α 也同增同减

题 1. (模拟七. 14) (极坐标与参数方程)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的参数方程为 ? x ? t cos ? , (t 为参数,α 为直线 l 的倾斜角) ,圆 C 的极坐 ?
? y ? t sin ? .

标方程 ? ? 8? cos ? ? 12 ? 0. 若直线 l 与圆有公共点,则倾斜角α 的范围为
2

3.直线方程常用的几种形式(1)点斜式_____________________(2)斜截式_________________ (3)截距式_____________________(4)一般式____________________. ▲注意过定点的直线、直线系方程等; 问 1:直线在坐标轴上的截距是距离吗?“截距相等”意味着什么?“截距的绝对值相等”呢? 直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程可以设为_________________________ ( x ? y ? a 或 y ? kx ) 问 2:当设直线的斜率时,注意斜率是否存在;直线方程可设为 y ? kx ? b 或 x ? my ? b ,注意这样的 方程不包括哪一类直线? (前者不包括斜率不存在,后者不包括斜率为 0) 题 2.经过点 A(2,1)并且在两坐标轴上的截距相等的直线有____条, 其方程为__________________, 经过点 A 在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有_____条, 其方程为______________________. 4. 两条直线的位置关系: 设两直线 l1 :A1x+B1y+C1=0, l 2 :A2x+B2y+C2=0

l (1)1 ⊥ l 2 ? ___________(A1A2+B1B2=0); 2) l1 、 2 不重合, l1 ∥ l 2 ? __________(A1B2=A2B1); ( 若 则 l ▲.判断两直线位置关系时要特别注意_____________________的情形. (斜率不存在及斜率为 0 ) ▲.斜率相等是两条直线平行的________________________条件. ( 既不充分也不必要) ▲.点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式__________________.
题 3.(模拟七.5)已知直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m, l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 平行,则实数 m 的值 为 () A. -7 B.-1 C. -1 或-7 D.

13 3
____

5.对称问题:(1) 若点 P0 ( x 0 , y 0 ) 关于定点 ( a, b) 对称的点是 P( x, y ) ,则有 (2)曲线 C:f(x,y)=0 关于定点 ( a, b) 对称的曲线方程是 (3) 对称轴为直线 Ax ? By ? C ? 0 ,则若点 P0 ( x 0 , y 0 ) 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 对

1

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? ? A ? y ? y0 ? ?1(垂直性) 称的点是 P( x, y ) ,则有 ? B x? x0 ? x ?x y ?y ? A( 0 ) ? B( 0 ) ? C ? (平分性) 0 ? 2 2 题 4.一条光线过点(-2,1)射到 x 轴后反射,反射光线与圆(x-3)2 +(y-2)2=2 相切,则入射光 线所在的直线方程为____________________________________.

二、求直线方程的基本方法 (1) 、直接选:用恰当的直线方程的形式,写出结果; (2)待定系数法:即先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程含有一个待定系数,再 有题目中的另一个条件求出待定系数。 链接: (2012 广州二模 19)或题型示例 24(**)或《模拟六 21 题》 三、 《圆与方程》知识回顾 考纲要求:见《考试说明》51 页 1、圆的方程 (1)标准式: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ; (2)一般式: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ;

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 是圆方程的充要条件是__________________ (3)直径式:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0; ? x ? a ? r cos? (4) 圆的参数方程: ? ,圆心 (a , b) ,半径 r ; ? y ? b ? r sin? (5) 圆的几种极坐标方程.

( D2 ? E 2 ? 4F ? 0 )

2.会求圆的切线方程吗?要注意什么?(一类:过圆上的一点;另一类:过圆外一点) 如: (1)过已知 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 圆上的点 P ( x0 , y0 ) 的切线方程为 ( x0 ? a )( x ? a ) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 (2)过圆外的一点 ( x0 , y 0 ) 引圆的切线方程,其求解步骤: ①设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , ②利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出 k ③确定切线方程。 (3)求导,如抛物线; ▲切线长如何求? 3..点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等。 ▲圆的弦长如何求? 题 1.直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 5 的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 题 2.(2012 广州一模 4) .已知点 P ? a,b ? ( ab ? 0 )是圆 O : x ? y ? r 内一点,直线 l 的方 2 程为 ax ? by ? r ? 0 ,那么直线 l 与圆 O 的位置关系是( )
2 2 2

A.相离 (

B.相切
2 2

C.相交

D.不确定

题 3. 已知点 M (1,0) 是圆 C: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 内的一点,则过点 M 的最短弦所在的直线方程是 ) A. x ? y ?1 ? 0 B. x ? y ?1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 B. 2 C. 2 2 D. 4 题 4. ( 2011 佛 山 检 测 一 10 ) 若 点 P 在 直 线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上 , 过 点 P 的 直 线 l 2 与 曲 线

C : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 16 相切于点 M ,则 PM 的最小值为( )A. 2
2 2

题 5.过圆 x ? y ? 4 外一点 P(4, 2) 作圆的两条切线,切点分别为 A, B ,则 ?ABP 的外接圆方程是 ( ) A.( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 B. x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 D.( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5
2

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题 6. 已知 5x+12y=60,则 x 2 ? y 2 的最小值是(

) A.

60 13

B.

13 5

C.

13 12

D. 1

四、 《圆与方程》的题型与方法 (一) 、圆的方程的求法 (1) 几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程。 (2)待定系数法:先设圆的方程(标准方程、一般方程、参数方程、圆系过程) ,再由条件求得 各系数,从而求得圆的方程。 (注意:根据条件,设圆的方程时要尽量减少参数) (二) 、直线与圆的位置关系判断; (1) 几何法:抓住圆心到直线的位置关系与半径比较 (2) 代数法:直线与圆的方程联立消元得一元二次方程的判别式进行判断。 ▲注意:涉及圆的切线问题时,要充分利用“切线与过切点的半径垂直”这一关系,计算弦长时, 要用到半径、弦心距、半径长构成直角三角形。有时弦长公式 d ? x1 ? x2

1 ? k 2 也要引起注意。

▲注意:数形结合,充分利用圆的性质,如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直经过切点 , 的半径”“两圆相切时,切点与两圆圆心三点共线”等。 、 (三) 、圆与圆的位置关系判断:通常用几何法:抓住两个圆心的距离与两圆半径的大小进行比较。 注意动圆与两各已知圆相切的各种情况的转化。 (四)、与圆有关最值问题类型: (1)求圆上的动点 Q( x, y ) 与与圆外的点、直线距离的最值; (2)已知圆上的动点 Q( x, y ) ,求与点 Q( x, y ) 坐标有关的解析式的最值; (3)已知某直线上的动点 P( x, y ) ,求与点 P( x, y ) 坐标有关的解析式的最值; (4)已知某直线上的动点 P( x, y ) ,求过该点向某圆所作切线段的最小值; (5)过圆内一定点的动直线被圆截得的弦长的最值。 ▲注意:求解析式的最值,注意点在圆上或在直线上这一条件,可利用直线与圆有公共点,即直线 与圆相切或相交;要注意相切这一结论。 ▲注意:关于求切线段的最值,一定要注意切线、圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线 组成一直角三角形且半径为一定值。

链接: (2007 广东高考 18 题) (探究性问题) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原

点 O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

(1)求圆 C 的方程; ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ) ( (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若
4 12 存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. ( , ) ) ( 5 5
3

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链接: 《模拟二 20 题》20.(本小题共 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,动点 P 与两个定点 M (1, 0) , N (4, 0) 的距离之比为 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 W 的方程; x ? y ? 4 ) (
2 2

1 . 2

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 W 交于 A , B 两点,在曲线 W 上是否存在一点 Q ,使得

???? ??? ??? ? ? OQ ? OA ? OB ,若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由. k ? ?2 2 ) (

链接: 《圆锥曲线》专题强化第 2 题 在平面区域 ? ?
?x ? 3 y ? 4 ? 0 ?x ? 3 y ? 4 ? 0 ?x ? 2 ? ?

内作圆,其中面积最大的圆记为⊙ M .

(Ⅰ)试求出⊙ M 的方程; x ? y ? 4 ) (
2 2

(Ⅱ) M 与 x 轴相交于 A 、B 两点, 圆 圆内的动点 P 使 | PA | 、| PM | 、| PB | 成等比数列, PA? PB 求 的取值范围. [?2,0) ) (

4

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五、 《圆锥曲线与方程》知识回顾 考纲要求:见《考试说明》57 页 1.椭圆、双曲线、抛物线的定义准确理解并记住吗?图形、标准方程、性质? (1)圆锥曲线的定义:若已知圆锥曲线上一点和焦点,首先要考虑圆锥曲线的定义求解。 (2)求椭圆、双曲线的离心率:关键根据已知条件确定 a,b,c 的等量关系,然后把 b 用 a,c 代换, 求e ?

c 。 a

(3)求圆锥曲线的标准方程方法:定义法和待定系数法。注意:首先判断焦点所在的坐标轴位置。 ▲注意长轴长为 2a,短轴长为 2b,和长半轴、短半轴的区别,实轴长 2a,虚轴长 2b 和实半轴、 虚半轴的区别.会由圆锥曲线的方程判断焦点所在的坐标轴,分清 a, b, c 的关系。 ▲椭圆、抛物线的参数方程如何? ▲椭圆、双曲线、抛物线上的点的坐标范围明确? ▲记住双曲线的渐近线方程?双曲线的焦点到渐近线的距离等于什么? ▲注意:椭圆中,注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形. (它们三边长为 a,b,c) ;焦 三角形即 P 是椭圆或双曲线上的点,则 的变化范围如何?三角形 的面积如何?当 = 时,则面积 是什么?;椭圆上的点到焦点的最近距离为 ,最远距离 。 ▲注意:通径 2p 是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.其长为多少?双曲线、椭圆呢?(双曲线、椭圆 的通经长 );抛物线:①注意开口方向;② 是针对标准形式而言;③二次函数中的 值如何确定; 2. 求圆锥曲线的切线方程的方法怎样?要注意什么? (1)判别式法; (2)求导,如抛物线(斜率是否存在) 3.直线与双曲线相交注意渐近线问题、交于单支还是两支要留意。 4.解析几何问题求解中,平面几何与向量的知识利用了吗?题目中是否已经有了坐标系了,是否需 要建立直角坐标系?如恰当转化(如“垂直关系”可以联想“勾股定理”“圆中直径所对圆周角” 、 、 “斜率关系”“向量数量积为 0”等) 、 题 1(广州二模. 3)已知双曲线 x ? my ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是()
2 2

A. 4

B.

1 4
2

C. ?
2

1 4

D. ?4
2

题 2.(2011 佛山检测二 9) 已知 双曲线 x ? y ? 1的一条渐近线与抛物线 y ? x ? a 只有一个公共 点,则 a 的值为( ) A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D. 1

题 3.设 AB 是过抛物线焦点的弦,那么以 AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 2 2 题 4:已知 F1、F2 是双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若边
a2 b2

MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率(

2 题 5(2012 广州调研考 13) .已知直线 y ? k ? x ? 2 ? ? k ? 0 ? 与抛物线 y ? 8 x 相交于 A 、 B 两

)

点, F 为抛物线的焦点,若 FA ? 2 FB ,则 k 的值为
5

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六、 《圆锥曲线与方程》的题型与方法 (一)轨迹方程。常用方法有哪些?(直接法、定义法或待定系数法、相关点法、消参法、交轨法等) (二)参数的问题: (1) 求直线的方程时,对直线斜率的讨论; (2) 求直线与圆锥曲线交点个数问题时,对参数的讨论; (3) 求线段长度、图形面积的最值时,对解析式中含有的参数讨论; (4) 二元二次方程表示曲线类型的判断等 (三)圆锥曲线与直线有关问题:设直线时注意斜率是否存在,联立消元后得到的方程中要注意: 二次项的系数是否为零?判别式 ? ? 0 的限制, (求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题 都在 ? ? 0 下进行)?注意“韦达定理”或“点差法”的选择等. 链接:2012 年广州二模 19 题 (四)与圆锥曲线有关最值(范围)问题求解:链接:2012 年调研 19 题,一模 20 题,二模 19 题, 仿真训练(一)18 题) b 一是、建立目标函数法(二次函数、ax ? (分式函数)、三角函数) ,转化为函数的定值、最值问题; x 二是、构造不等式,如利用判别式,基本不等式条件给出的变量范围,曲线本身范围等; 三是、数形结合法,如对称问题、三角形两边和差关系、圆锥曲线的定义性质(包括圆) 。 (五)定值问题求解:一是、可考虑取特殊值,先确定“定值”是多少,再进行证明,或者将问题 转化为代数式,再证明该式是与变量无关的常数或由该等式与变量无关,令其系数等于零即可得定 值;但要分清哪些是常量,那些量是变量。二是、数形结合法,寻找点或曲线变化过程中不变的量 (长度、面积等) 链接:2012 年一模 20 题,仿真训练(二)19 题,第九周作业(二)20 (六)定点问题求解:若是直线过定点,目标①把直线方程化为 y=kx+b(k 为参数,此时过定点(0, b); ②把直线方程化为 y=k(x-a)+b(k 为参数,此时过定点(a,b);③化为直线系 (链接:模拟七 20、模拟八 20) (七)存在性问题求解:一般先假设存在,引入变量,根据题目列出关于参数变量的方程(组)或 不等式(组) ,如有解则存在;如无解则不存在。 链接:2007 广东高考 18 题, 《模拟二 20 题》《模拟五 20 题》 , ,题型示例 20 题 ▲.若点 p 为直线与圆锥曲线(或两曲线)的交点, 要考虑两个方面: (一) 、点 P 的坐标同时满足直线和曲线的方程, (二)直线与圆锥曲线组成方程组(或两曲线组成方程组)的解就是点 P 的坐标。 例1

6

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2 2 例 2 模拟七 20》 本小题满分 14 分) 《 . ( 已知椭圆 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F1 (?c,0) 、 a b
2 1 F2 (c,0) ,离心率为 ,椭圆上的动点 P 到直线 l : x ? a 的最小距离为 2, 2 ? c ??? ??? ? ? ???? 延长 F2 P 至 Q 使得 F2Q ? 2a ,线段 FQ 上存在异于 F1 的点 T 满足 PT ? TF1 ? 0 . 1
2 2 (1) 求椭圆的方程;( x ? y ? 1 )

4

3

(2) 求点 T 的轨迹 C 的方程;( x ? y ? 4 )
2 2

(3) 求证:过直线 l : x ?

a2 上任意一点必可以作两条直线与 T 的轨迹 C 相切,并且过两切点的 c

直线经过定点.( (1, 0) )

例 3:在直角坐标系 xOy 中,动点 P 与定点 F (1,0) 的距离和它到定直线 x ? 2 的距离之比是 2 ,
2

设动点 P 的轨迹为 C1 , Q 是动圆 C2 : x ? y ? r (1 ? r ? 2) 上一点.
2 2 2

(1)求动点 P 的轨迹 C1 的方程; (

x2 ? y 2 ? 1) 2
2 ), C ( x2 , y2 ) 与点 F 的距离成等差数列, 若线段 AC 的垂 2

(2) 设曲线 C1 上的三点 A( x1 , y1 ), B(1,

直平分线与 x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k ; 2 ) ( (3) 若直线 PQ 与 C1 和动圆 C2 均只有一个公共点, P 、 两点的距离 PQ 的最大值. ( 2 ? 1 ) 求 Q

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y 2 x2 例4 【2012 广东高三第二学期两校联考理】 (本小题满分 14 分) 20. 已知椭圆 C: 2 + 2 =1? a>b>0 ? a b

的离心率为 6 ,过右顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 B(?1, 3) . ? 3 (1)求椭圆 C 和直线 l 的方程; (

y 2 x2 ? ?1 12 4

(2)记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.若曲线 ( x2 ? 2mx ? y 2 ? 4 y ? m2 ? 4 ? 0 与 D 有公共点,试求实数 m 的最小值. mmin ? ? 7 ? 1 )

高考题链接: (例 5、6 根据个人情况选做) 例 5. (2010 广东理 20 题) 已知双曲线 x ? y 2 ? 1 的左、 右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 2 是双曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程(
2

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0, 且x ? ? 2 ). 2

(2)若过点 H(0, h)(h>1)的两条直线 l1 和 l 2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 ,求 h 的值. ( 2 , 3,

1 ? 17 .) 2

例 6.(2011 广东文(21)(本小题满分 14 分) ) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP 的垂直 平分线上一点,且满足 ∠MPO=∠AOP (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; ) (2)已知 T(1,-1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T(1,-1)且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的斜 率 k 的取值范围。(1) y 2 ? ? ( ?

?4( x ? 1), x ? ?1 ?0 ? , x ? ?1

, (2) (?

3 1 (3) (??, ? ] ? (0, ??) ) , ?1) , 4 2

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《解析几何》基础知识、题型、方法
一、 《直线与方程》知识回顾 考纲要求:见《考试说明》51 页 1.直线倾斜角的定义:__________,直线倾斜角的范围是:_________. [0, ? ) 2.直线的斜率的计算方法有:_____________________________________________. (提示:从下面几方面考虑:① 定义;② 一般直线方程 ;③ 两点坐标;④ 方向向量 ) ▲.斜率与倾斜角的关系:直线存在,斜率不一定存在;斜率不存在,但直线存在。当倾斜角α 是锐 角时,斜率 k 与α 同增同减,当α 是钝角时,k 与α 也同增同减

题 1. (模拟七. 14) (极坐标与参数方程)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的参数方程为 ? x ? t cos ? , (t 为参数,α 为直线 l 的倾斜角) ,圆 C 的极坐 ?
? y ? t sin ? .

标方程 ? ? 8? cos ? ? 12 ? 0. 若直线 l 与圆有公共点,则倾斜角α 的范围为
2

? 5? [0, ] ? [ , ? ) 6 6

3.直线方程常用的几种形式(1)点斜式_____________________(2)斜截式_________________ (3)截距式_____________________(4)一般式____________________. ▲注意过定点的直线、直线系方程等; 问 1:直线在坐标轴上的截距是距离吗?“截距相等”意味着什么?“截距的绝对值相等”呢? 直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程可以设为_________________________ ( x ? y ? a 或 y ? kx ) 问 2:当设直线的斜率时,注意斜率是否存在;直线方程可设为 y ? kx ? b 或 x ? my ? b ,注意这样的 方程不包括哪一类直线? (前者不包括斜率不存在,后者不包括斜率为 0) 题 2.经过点 A(2,1)并且在两坐标轴上的截距相等的直线有____条, 其方程为__________________, 经过点 A 在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有_____条, 其方程为______________________.
(2 条,y ? 1 1 x, x ? y ? 3; 3 条,y ? x, x ? y ? 3, x ? y ? 1) 2 2

4. 两条直线的位置关系: 设两直线 l1 :A1x+B1y+C1=0, l 2 :A2x+B2y+C2=0

l l (1)1 ⊥ l 2 ? ___________(A1A2+B1B2=0); 2) l1 、 2 不重合, l1 ∥ l 2 ? __________(A1B2=A2B1); ( 若 则 ▲.判断两直线位置关系时要特别注意_____________________的情形. (斜率不存在及斜率为 0 ) ▲.斜率相等是两条直线平行的________________________条件. ( 既不充分也不必要) ▲.点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式__________________.
题 3.(模拟七.5)已知直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m, l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 平行,则实数 m 的值 为 () A. -7 B.-1 C. -1 或-7 D.

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( A)

5.对称问题:(1) 若点 P0 ( x 0 , y 0 ) 关于定点 ( a, b) 对称的点是 P( x, y ) ,则有 (2)曲线 C:f(x,y)=0 关于定点 ( a, b) 对称的曲线方程是
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(3) 对称轴为直线 Ax ? By ? C ? 0 ,则若点 P0 ( x 0 , y 0 ) 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 对 ? ? A ? y ? y0 ? ?1(垂直性) 称的点是 P( x, y ) ,则有 ? B x? x0 ? x ?x y ?y ? A( 0 ) ? B( 0 ) ? C ? (平分性) 0 ? 2 2 题 4.一条光线过点(-2,1)射到 x 轴后反射,反射光线与圆(x-3)2 +(y-2)2=2 相切,则入射光 线所在的直线方程为____________________________________. ( x ? y ? 1 ? 0或7 x ? 23 y ? 9 ? 0 ) 二、求直线方程的基本方法 (1) 、直接选:用恰当的直线方程的形式,写出结果; (2)待定系数法:即先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程含有一个待定系数,再 有题目中的另一个条件求出待定系数。 链接: (2012 广州二模 19)或题型示例 24(**)或《模拟六 21 题》 三、 《圆与方程》知识回顾 考纲要求:见《考试说明》51 页 1、圆的方程 (1)标准式: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ; (2)一般式: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ;

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 是圆方程的充要条件是__________________ (3)直径式:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0; ? x ? a ? r cos? (4) 圆的参数方程: ? ,圆心 (a , b) ,半径 r ; ? y ? b ? r sin? (5) 圆的几种极坐标方程.

( D2 ? E 2 ? 4F ? 0 )

2.会求圆的切线方程吗?要注意什么?(一类:过圆上的一点;另一类:过圆外一点) 如: (1)过已知 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 圆上的点 P ( x0 , y0 ) 的切线方程为 ( x0 ? a )( x ? a ) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 (2)过圆外的一点 ( x0 , y 0 ) 引圆的切线方程,其求解步骤: ①设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , ②利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出 k ③确定切线方程。 (3)求导,如抛物线; ▲切线长如何求? 3..点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等。 ▲圆的弦长如何求? 题 1. 直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 5 的位置关系是 ) A. ( 相离 B. 相交 C.相切 D.不确定 (B) 题 2.(2012 广州一模 4) .已知点 P ? a,b ? ( ab ? 0 )是圆 O : x ? y ? r 内一点,直线 l 的方
2 2 2

程为 ax ? by ? r ? 0 ,那么直线 l 与圆 O 的位置关系是( )
2

A.相离 (

B.相切
2 2

C.相交

D.不确定(A) (A)

题 3. 已知点 M (1,0) 是圆 C: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 内的一点,则过点 M 的最短弦所在的直线方程是 ) A. x ? y ?1 ? 0 B. x ? y ?1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 B. 2 C. 2 2 题 4. ( 2011 佛 山 检 测 一 10 ) 若 点 P 在 直 线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上 , 过 点 P 的 直 线 l 2 与 曲 线

C : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 16 相切于点 M ,则 PM 的最小值为( )A. 2

D. 4

(D)

题 5.过圆 x2 ? y 2 ? 4 外一点 P(4, 2) 作圆的两条切线,切点分别为 A, B ,则 ?ABP 的外接圆方程是
10

2012 届高三理科数学高考考前复习资料二

) A. x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 B.x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 C. x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 D. x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 (D) ( ( ( 13 13 60 题 6. 已知 5x+12y=60,则 x 2 ? y 2 的最小值是( ) A. B. C. D. 1 (A) 5 12 13 ( 五、 《圆与方程》的题型与方法 (二) 、圆的方程的求法 (2) 几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程。 (2)待定系数法:先设圆的方程(标准方程、一般方程、参数方程、圆系过程) ,再由条件求得 各系数,从而求得圆的方程。 (注意:根据条件,设圆的方程时要尽量减少参数) (二) 、直线与圆的位置关系判断; (3) 几何法:抓住圆心到直线的位置关系与半径比较 (4) 代数法:直线与圆的方程联立消元得一元二次方程的判别式进行判断。 ▲注意:涉及圆的切线问题时,要充分利用“切线与过切点的半径垂直”这一关系,计算弦长时, 要用到半径、弦心距、半径长构成直角三角形。有时弦长公式 d ? x1 ? x2

1 ? k 2 也要引起注意。

▲注意:数形结合,充分利用圆的性质,如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直经过切点 , 的半径”“两圆相切时,切点与两圆圆心三点共线”等。 、 (三) 、圆与圆的位置关系判断:通常用几何法:抓住两个圆心的距离与两圆半径的大小进行比较。 注意动圆与两各已知圆相切的各种情况的转化。 (四)、与圆有关最值问题类型: (1)求圆上的动点 Q( x, y ) 与与圆外的点、直线距离的最值; (2)已知圆上的动点 Q( x, y ) ,求与点 Q( x, y ) 坐标有关的解析式的最值; (3)已知某直线上的动点 P( x, y ) ,求与点 P( x, y ) 坐标有关的解析式的最值; (4)已知某直线上的动点 P( x, y ) ,求过该点向某圆所作切线段的最小值; (5)过圆内一定点的动直线被圆截得的弦长的最值。 ▲注意:求解析式的最值,注意点在圆上或在直线上这一条件,可利用直线与圆有公共点,即直线 与圆相切或相交;要注意相切这一结论。 ▲注意:关于求切线段的最值,一定要注意切线、圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线 组成一直角三角形且半径为一定值。 链接: (2007 广东高考 18 题) (探究性问题)《模拟二 20 题》 , 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原

x2 y 2 ? 1与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . 点 O .椭圆 2 ? a 9 (1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若 存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
解: (1)圆 C: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ;
x2 y 2 ,若存在,则 F 在 OQ 的中垂线上,又 O、Q ? ? 1 ,∴F(4,0) 25 9
11

(2)由条件可知 a=5,椭圆

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1 在圆 C 上,所以 O、Q 关于直线 CF 对称;直线 CF 的方程为 y-1= ? ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,设 Q 3
4 ? ?y ?x ? 5 ?x ?3 4 12 ? ? (x,y) ,则 ? ,解得 ? 所以存在,Q 的坐标为 ( , ) 。 12 x 3y 5 5 ? ? ?y ? ?4 ? 0 ?2 2 ? 5 ? ?

《模拟二 20 题》20.(本小题共 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,动点 P 与两个 定点 M (1, 0) , N (4, 0) 的距离之比为

1 . 2

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 W 交于 A , B 两点,在曲线 W 上是否存在一点 Q ,使得

???? ??? ??? ? ? OQ ? OA ? OB ,若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.
19.解: (Ⅰ)设点 P 的坐标为 P( x, y ) ,依题意,
2 2 即 2 ( x ? 1) ? y ?

| PM | 1 ? , | PN | 2

???1 分

( x ? 4) 2 ? y 2 ,?3 分,化简得 x 2 ? y 2 ? 4 .
2 2

所以动点 P 的轨迹 W 的方程为 x ? y ? 4 ???5 分 (Ⅱ)因为直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 W 相交于 A , B 两点,所以 dO ?l ? 或k ? ? 5 .
2

?7 分假设存在点 Q ,使得 OQ ? OA ? OB .??8 分

????

??? ??? ? ?

5 ? 2 , 所以 k ? 2 1? k

| 3|

2

因 A , B 在圆上,且 OQ ? OA ? OB ,由向量加法的平行四边形法则可知四边形 OAQB 为菱形, 所以 OQ 与 AB 互相垂直且平分,????9 分 所以原点 O 到直线 l : y ? kx ? 3 的距离为 d ? 即 d O ?l ?

????

??? ??? ? ?

1 | OQ |? 1 .???10 分 2

|3| 1? k
2

? 1 ,解得 k 2 ? 8 , k ? ?2 2 ,经验证满足条件.??12 分
???? ??? ??? ? ?

所以存在点 Q ,使得 OQ ? OA ? OB .

????13 分
2分

《圆锥曲线专项强化》2.
设⊙ M 的方程为 ( x ? a)
2

解: (Ⅰ)解法一:由概率知识得;⊙ M 为三角形区域的内切圆。

? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) ,则点 (a, b) 在所给区域的内部.
? a ? 3b ? 4 ?r ? 2 ? ? 4 分 即 ?2 ? a ? r ? ? a ? 3b ? 4 ? r ? 2 ?

y

E
x ? 3y ? 4 ? 0

? | a ? 3b ? 4 | ?r ? 1? 3 ? ? 于是有 ?| a ? 2 |? r ? ? | a ? 3b ? 4 | ? r ? 1? 3 ?

D
6分

O
x ? 3y ? 4 ? 0

x?2

H

x

F

(图 1)
12

2012 届高三理科数学高考考前复习资料二

解得: a

? 0, b ? 0, r ? 2 ,所求圆方程为: x 2 ? y 2 ? 4 。

7分

解法二:由已知条件知,⊙ M 为三角形区域的内切圆。

?x ? 3 y ? 4 ? 0 ? ? 设由 ? x ? 3 y ? 4 ? 0 确定的区域为 ?DEF (如图) 。直线 x ? ?x ? 2 ? ?
轴对称,且 x ?

3 y ? 4 ? 0 与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 关于 x

? ? ,?三角形的一个内角为 。 6 3 直线 x ? 2 与 ?EDF 的平分线垂直,点 H ( 2,0) , D(4,0) ,? ?DEF 为正三角形, 且三角形的高为 6,内切圆圆心为 ?DEF 的重心,即 O(0,0) ,半径为 OH ? 2 ,
3 y ? 4 ? 0 的倾斜角为
?所求圆方程为: x
2

2分 5分

? y 2 ? 4 。7 分
8分

? x 2 。由 x 2 ? 4 即得 A(?2,0) , B(2,0) 。 设 P( x, y) ,由 | PA | 、 | PM | 、 | PB | 成等比数列, 2 2 2 2 2 2 2 2 得 ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y ? x ? y , 即 x ? y ? 2 .
(Ⅱ)不妨设 A( x1 ,0) , B ( x 2 ,0) , x1

10 分 12 分 14 分

PA ? PB ? (?2 ? x,? y ) ? (2 ? x,? y ) ? x ? 4 ? y ? 2( y ? 1)
2 2 2

?x 2 ? y 2 ? 4 2 由于点 P 在圆 M 内,故 ? 2 由此得 y ? 1 .所以 PA ? PB 的取值范围为 [?2,0) . 2 ?x ? y ? 2
五、 《圆锥曲线与方程》知识回顾 考纲要求:见《考试说明》57 页

1.椭圆、双曲线、抛物线的定义准确理解并记住吗?图形、标准方程、性质? (1)圆锥曲线的定义:若已知圆锥曲线上一点和焦点,首先要考虑圆锥曲线的定义求解。 (2)求椭圆、双曲线的离心率:关键根据已知条件确定 a,b,c 的等量关系,然后把 b 用 a,c 代换, 求e ?

c 。 a

(3)求圆锥曲线的标准方程方法:定义法和待定系数法。注意:首先判断焦点所在的坐标轴位置。 ▲注意长轴长为 2a,短轴长为 2b,和长半轴、短半轴的区别,实轴长 2a,虚轴长 2b 和实半轴、 虚半轴的区别.会由圆锥曲线的方程判断焦点所在的坐标轴,分清 a, b, c 的关系。 ▲椭圆、抛物线的参数方程如何? ▲椭圆、双曲线、抛物线上的点的坐标范围明确? ▲记住双曲线的渐近线方程?双曲线的焦点到渐近线的距离等于什么? ▲注意:椭圆中,注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形. (它们三边长为 a,b,c) ;焦 三角形即 P 是椭圆或双曲线上的点,则 的变化范围如何?三角形 的面积如何?当 = 时,则面积 是什么?;椭圆上的点到焦点的最近距离为 ,最远距离 。 ▲注意:通径 2p 是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.其长为多少?双曲线、椭圆呢?(双曲线、椭圆 的通经长 );抛物线:①注意开口方向;② 是针对标准形式而言;③二次函数中的 值如何确定; 2. 求圆锥曲线的切线方程的方法怎样?要注意什么? (1)判别式法; (2)求导,如抛物线(斜率是否存在) 3.直线与双曲线相交注意渐近线问题、交于单支还是两支要留意。
13

2012 届高三理科数学高考考前复习资料二

4.解析几何问题求解中,平面几何与向量的知识利用了吗?题目中是否已经有了坐标系了,是否需 要建立直角坐标系?如恰当转化(如“垂直关系”可以联想“勾股定理”“圆中直径所对圆周角” 、 、 “斜率关系”“向量数量积为 0”等) 、 题 1(广州二模. 3)已知双曲线 x ? my ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是()
2 2

1 D. ?4 (C) 4 2 2 2 题 2.(2011 佛山检测二 9) 已知 双曲线 x ? y ? 1的一条渐近线与抛物线 y ? x ? a 只有一个公共
A. 4 B. C. ? A. 1 B. 1 C. 3 D. 1 (A) 4 2 4 题 3.设 AB 是过抛物线焦点的弦,那么以 AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 (B) 点,则 a 的值为( )
2 2 题 4:已知 F1、F2 是双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若边 2 2

1 4

a

b

MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率(

)

3 ?1

2 题 5(2012 广州调研考 13) .已知直线 y ? k ? x ? 2 ? ? k ? 0 ? 与抛物线 y ? 8 x 相交于 A 、 B 两

点, F 为抛物线的焦点,若 FA ? 2 FB ,则 k 的值为

2 2

六、 《圆锥曲线与方程》的题型与方法 (一) 、轨迹方程。 常用方法有哪些?(直接法、定义法或待定系数法、相关点法、消参法、交轨法等) (二) 、参数的问题: (5) 求直线的方程时,对直线斜率的讨论; (6) 求直线与圆锥曲线交点个数问题时,对参数的讨论; (7) 求线段长度、图形面积的最值时,对解析式中含有的参数讨论; (8) 二元二次方程表示曲线类型的判断等 (三) 、圆锥曲线与直线有关问题:设直线时注意斜率是否存在,联立消元后得到的方程中要注意: 二次项的系数是否为零?判别式 ? ? 0 的限制, (求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题 都在 ? ? 0 下进行)?注意“韦达定理”或“点差法”的选择等. 链接:2012 年广州二模 19 题 (四) 、与圆锥曲线有关最值(范围)问题求解:链接:2012 年调研 19 题,一模 20 题,二模 19 题,仿真训练(一)18 题) b 一是、建立目标函数法(二次函数、ax ? (分式函数)、三角函数) ,转化为函数的定值、最值问题; x 二是、构造不等式,如利用判别式,基本不等式条件给出的变量范围,曲线本身范围等; 三是、数形结合法,如对称问题、三角形两边和差关系、圆锥曲线的定义性质(包括圆) 。 (五) 、定值问题求解:一是、可考虑取特殊值,先确定“定值”是多少,再进行证明,或者将问 题转化为代数式,再证明该式是与变量无关的常数或由该等式与变量无关,令其系数等于零即可得 定值;但要分清哪些是常量,那些量是变量。二是、数形结合法,寻找点或曲线变化过程中不变的
14

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量(长度、面积等)

链接:2012 年一模 20 题,仿真训练(二)19 题

(六) 定点问题求解: 、 若是直线过定点, 目标①把直线方程化为 y=kx+b(k 为参数, 此时过定点 (0, b); ②把直线方程化为 y=k(x-a)+b(k 为参数,此时过定点(a,b);③化为直线系 (链接:模拟七 20、模拟八 20) (七) 、存在性问题求解:一般先假设存在,引入变量,根据题目列出关于参数变量的方程(组) 或不等式(组) ,如有解则存在;如无解则不存在。 链接:2007 广东高考 18 题, 《模拟二 20 题》《模拟五 20 题》 , , ▲.若点 p 为直线与圆锥曲线(或两曲线)的交点, 要考虑两个方面: (一) 、点 P 的坐标同时满足直线和曲线的方程, (二)直线与圆锥曲线组成方程组(或两曲线组成方程组)的解就是点 P 的坐标。 题 6(2012 广二模 19 题) 题 4 (模拟五 20 题,模拟七 20 题,2012 年一模 20 题、调研 19 题、二模 19 题、题型示例 20 题) 例 1.

例 2 模拟七 20) 本小题满分 14 分) ( . ( 已知椭圆

x2 y2 右焦点分别是 F1 (?c,0) 、 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

2 1 F2 (c,0) ,离心率为 ,椭圆上的动点 P 到直线 l : x ? a 的最小距离为 2, 2 ? c ??? ??? ? ? ???? FQ 上存在异于 F1 的点 T 满足 PT ? TF1 ? 0 . 延长 F2 P 至 Q 使得 F2Q ? 2a ,线段 1 (4) 求椭圆的方程;求点 T 的轨迹 C 的方程;

(5) 求证:过直线 l : x ?

a2 上任意一点必可以作两条直线 c

与 T 的轨迹 C 相切,并且过两切点的直线经过定点.
? 20. 解:(1)依题意得 ? a ?c ? ? 2 ?a ? a ? 2 ?c ? 1 2

,?2 分 解得 ?

?c ? 1 ,∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ?3 分 a?2 ?

2 2 椭圆的方程为 x ? y ? 1

??????????4 分

4

3

15

2012 届高三理科数学高考考前复习资料二

(2)解法 1:设点 T 的坐标为 ( x, y ) .当 P、T 重合时,点 T 坐标为 (2, 0) 和点 (?2,0) ,??5 分 ??? ??? ? ? 当 P、T 不重合时,由 PT ?TF1 ? 0 ,得 PT ? TF1 . ????????6 分

??? ??? ? ?

由 F2Q ? 2a ? 4 及椭圆的定义, PQ ? QF2 ? PF2 ? 2a ? PF2 ? PF1 , ??7 分 所以 PT 为线段 FQ 的垂直平分线, T 为线段 FQ 的中点, 1 1 在 ?QF1 F2 中, OT ?
2 2

???? ?

??? ?

???? ?

???? ?

???? ?

????

??? ?

? 1 ???? F2Q ? a ? 2 ,?8 分 2

所以有 x ? y ? 4 .综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? 4 .
2 2

??????9 分

解法 2:设点 T 的坐标为 ( x, y ) .当 P、T 重合时,点 T 坐标为 (2, 0) 和点 (?2,0) ,?5 分 ??? ??? ? ? 当 P、T 不重合时,由 PT ?TF1 ? 0 ,得 PT ? TF1 .

??? ??? ? ?

???? ? ??? ? ???? ???? ? ? ???? ? ???? 由 F2Q ? 2a ? 4 及椭圆的定义, PQ ? QF2 ? PF2 ? 2a ? PF2 ? PF1 , ??7 分 所以 PT 为线段 FQ 的垂直平分线, T 为线段 FQ 的中点 1 1
? x? ? 设点 Q 的坐标为 ( x?, y?) ,则 ? ? ?y ? ? ? x? ? 1 2 ,因此 ? x? ? 2 x ? 1 ? y? ? y? ? 2 y 2
2

????6 分



???8 分

由 F2Q ? 2a ? 4 ,得 ( x? ? 1) ? y? ? 16 , ② 将?代入?,可得 x ? y ? 4 . 2 2 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程式 x ? y ? 4 .③ ????9 分
2 2 2

???? ?

(3) 直线 l : x ? a ? 4 与 x ? y ? 4 相离, 过直线上任意一点 M (4, t ) 可作圆 x ? y ? 4 的两条 c
2 2 2 2

2

切线 ME、MF

??10 分 所以 O、E、M、F 四点都在以 OM 为直径的圆上,??11 分

所以 OE ? ME、OF ? MF ,

其方程 x ? 2)2 ? ( y ? ) 2 ? 4 ? ( ) 2 ④ (

t 2

t 2

??????12 分 ??13 分

EF 为两圆的公共弦,③-④得: EF 的方程为 4 x ? ty ? 4 ? 0 显然无论 t 为何值,直线 EF 经过定点 (1, 0) . ???14 分

例 3(20.(本小题满分 14 分))在直角坐标系 xOy 中,动点 P 与定点 F (1,0) 的距离和它到定直线

x ? 2 的距离之比是

2 2 2 2 ,设动点 P 的轨迹为 C1 , Q 是动圆 C2 : x ? y ? r (1 ? r ? 2) 上一点. 2

(1)求动点 P 的轨迹 C1 的方程;

(2) 设曲线 C1 上的三点 A( x1 , y1 ), B(1,

2 ), C ( x2 , y2 ) 与点 F 的距离成等差数列, 若线段 AC 的垂 2

直平分线与 x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k ; (3)若直线 PQ 与 C1 和动圆 C2 均只有一个公共点,求 P 、 Q 两点的距离 PQ 的最大值.

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2 2 20.解: (1)由已知,得 ( x ? 1) ? y ? 2 ,??????????1 分.

2? x

2

x2 x2 2 将两边平方,并化简得 ? y ? 1 ,??3 分.故轨迹 C1 的方程是 ? y 2 ? 1 。??4 分. 2 2
(2)由已知可得 AF ? 2 (2 ? x1 ) , BF ?
2

2 (2 ? 1) , CF 2

?

2 (2 ? x2 ) , 2

2 2 因为 2 BF ? AF ? CF ,所以 (2 ? x2 ) ? 2 ? 2 (2 ? 1) ,即得 x1 ? x2 ? 2 , (2 ? x1 ) ? 2 2 2
故线段 AC 的中点为 (1,



y ? y2 x ?x y1 ? y2 ? ? 1 2 ( x ? 1) , ② ) ,其垂直平分线方程为 y ? 1 2 y1 ? y2 2
??????????6 分.

因为 A, C 在椭圆上, 故有

2 2 x12 x2 ? y12 ? 1 , 2 ? y2 2 ? 1 , 两式相减, 得:x1 ? x2 ? y12 ? y2 2 ? 0 2 2 2



将①代入③,化简得 ?

x1 ? x2 2( y1 ? y2 ) ? ? y1 ? y2 , y1 ? y2 x1 ? x2

④ ?????????7 分.

将④代入②,并令 y ? 0 得, x ?
2 ?0 2 ? ? 2. 1 1? 2

1 1 ,即 T 的坐标为 ( , 0) 。?????????8 分. 2 2
?????????9 分.

所以 k

BT

设 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? ,直线 PQ 的方程为 y ? kx ? m 因为 P 既在椭圆 C1 上又在直线 PQ 上,从而有 ?
? y1 ? kx1 ? m ? x12 y12 ?1 ? ? ? 2 1
2

(1) (2)

将(1)代入(2)得 2k ? 1 x ? 4kmx ? 2 m ? 1 ? 0
2 2

?

?

?

?

???10 分.

由于直线 PQ 与椭圆 C1 相切,故 ? ? ? 4km ? ? 4 ? 2 m ? 1 2k ? 1 ? 0
2 2 2

?

??

?

从而可得 m ? 1 ? 2k , x1 ? ?
2 2

2k m
2

(3)

同理,由 Q 既在圆 C2 上又在直线 PQ 上,可得 m ? r

2

?1 ? k ? , x
2

2

??

kr 2 (4)???12 分 m

17

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由(3)(4)得 k 2 ? 、
2

r 2 ?1 k 2 ? r2 ? , x2 ? x1 ? ? 2 ? r2 m
2 2

2 所以 PQ ? ? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? 1 ? k

?

?? x

2

? x1 ?

2

?

? 2 ? r ?? r ?
2

2

? 1?

2 2 ? 2 ? r 2 ? ? r 2 ?1 m2 k ? 2 ? r ? ? ? r2 m2 r2 2 ? r2 2 2

r

2

? 3 ? r2 ?

2 ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 ??????????13 分. r2
2

即 PQ ? 2 ? 1 ,当且仅当 r ? 例 4 解:(1)由离心率 e ?

2 时取等号,故 P 、 Q 两点的距离 PQ 的最大值 2 ? 1 .?14 分

6 2 2 ,得 a ? b ? 6 ,即 a 2 ? 3b2 .① ……2 分 3 a 3 2 2 y x (?3)2 (?1)2 又点 B(?1, 3) 在椭圆 C : 2 + 2 ? 1 上,即 2 + 2 ? 1 .② ……4 分 ? a b a b

解 ①②得 a2 ? 12,b2 ? 4 ,故所求椭圆方程为

y 2 x2 ? ? 1 . ……5 分 12 4

由 A(2, ,B(?1, 3) 得直线 l 的方程为 y ? x ? 2 . ………6 分 0) ? (2)曲线 x2 ? 2mx ? y 2 ? 4 y ? m2 ? 4 ? 0 ,即圆 ( x ? m)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ,其圆心坐标为 G(m, 2) , ? 半径 r ? 2 2 ,表示圆心在直线 y ? ?2 上,半径为 2 2 的动圆.由于要求实数 m 的最小值,由图可 知,只须考虑 m ? 0 的情形. 设 ? G 与直线 l 相切于点 T,则由
| m?2?2| 2 ? 2 2 ,得 m ? ?4 ,………… 10 分

? x ? y ? 6 ? 0, 当 m ? ?4 时, 过点 G(?4, 2) 与直线 l 垂直的直线 l ? 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 , 解方程组 ? ? ?x ? y ? 2 ? 0

得 T (?2, 4) .……………… 12 分 ? 因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为 ?1,2 ,所以切点 T ? D ,由图可知当 ? G 过 点 B 时,m 取得最小值,即 (?1 ? m)2 ? (?3 ? 2)2 ? 8 ,解得 mmin ? ? 7 ? 1 .…… 14 分 (第九周作业二) 20.解: (1)将 (2 ? k ) x ? (1 ? 2k ) y ? (1 ? 2k ) ? 0 整理得 (? x ? 2 y ? 2)k ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,解方
? x ? 2y ? 2 ? 0 程组 ? 得直线所经过的定点为 (0,1),?b ? 1 。 ? ?2 x ? y ? 1 ? 0

由离心率 e ?

3 x2 ? y 2 ? 1 ??5 分 ,得 a ? 2 。?椭圆的标准方程为 2 4
2 x0 2 ? ? ? y 0 ? 1 。 HP ? PQ , Q( x0 ,2 y0 ) , OQ ? ? 4
2 x0 ? (2 y 0 ) 2 ? 2

(1) 设 P( x0 , y 0 ) , 则

18

2012 届高三理科数学高考考前复习资料二

? Q 点在以 O 为圆心,2 为半径的圆上,即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上。
又 A(?2,0),?直线 l 的方程为 y ? 2 y 0 ( x ? 2) 。令 x ? 2 ,得 M (2, 8 y 0 ) 。 x0 ? 2 x0 ? 2 又 B(2,0) , N为MB 的 中 点 , ? N ( 2,

4 y0 ) ? OQ ? ( x0 ,2 y 0 ), NQ ? ( x0 ? 2, 2 x0 y 0 ) , x0 ? 2 x0 ? 2

? OQ ? NQ ? x0 ( x0 ? 2) ? 2 y 0 ?

2 x0 y 0 4x y 2 ? x0 ( x0 ? 2) ? 0 0 ? x0 ( x0 ? 2) ? x0 (2 ? x0 ) ? 0 x0 ? 2 x0 ? 2

? OQ ? NQ,?直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切??12 分
例5 (2010 广东高考理) (本小题满分 14 分) 20. 已知双曲线 x ? y 2 ? 1 的左、 右顶点分别为 A1 , A2 , 2 点 P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程 (2)若过点 H(0, h)(h>1)的两条直线 l1 和 l 2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 ,求 h 的值. 20.(本小题满分 14 分)
2

解 : (1) A1 , A2为双曲线的左, 右顶点,? 它们的坐标为A1 (? 2 ,0), A2 ( 2 ,0). 则A1 P : y ? y1 ? 0 x1 ? 2 ( x ? 2 ), A2 Q : y ?
2

? y1 ? 0 x1 ? 2

( x ? 2 ), 两式相乘得 : y ?
2 2

? y1
2

2

x1 ? 2

( x 2 ? 2).

? 点P( x1 , y1 )在双曲线上, 所以

x1 y 1 1 x2 2 ? y1 ? 1, 即 2 1 ? , 故y 2 ? ? ( x 2 ? 2), 即 ? y 2 ? 1. 2 2 2 x1 ? 2 2
2

[ 经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹 E 的方程为 x ? y 2 ? 1 ( x ? 0, 且x ? ? 2 ).
2

(2)设 l1 : y ? kx ? h (k ? 0) ,则由 l1 ? l2 知, l2 : y ? ? 将 l1 : y ? kx ? h 代入

1 x?h. k

2 x2 ? y 2 ? 1 得 x ? (kx ? h) 2 ? 1 ,即 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4khx ? 2h2 ? 2 ? 0 , 2 2

若 l1 与椭圆相切,则 ? ? 16k h ? 4(1 ? 2k )(2h ? 2) ? 0 ,即 1 ? 2k ? h ;
2 2 2 2

2

2

1 ? h2 .由 l1 与 l 2 与轨迹 E 都只有一个交点包含以下四种情况: 2 k 1 1 2 2 2 2 2 2 [1]直线 l1 与 l 2 都与椭圆相切,即 1 ? 2k ? h ,且 1 ? 2 ? 2 ? h ,消去 h 得 2 ? k ,即 k ? 1 , k k
同理若 l 2 与椭圆相切,则 1 ? 2 ?
2 2 从而 h ? 1 ? 2k ? 3 ,即 h ? 3 ;

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2012 届高三理科数学高考考前复习资料二

[2]直线 l1 过点 A1 (? 2 ,0) ,而 l 2 与椭圆相切,此时 k ? (? 2 ) ? h ? 0, 1 ? 2 ? [3]直线 l 2 过点 A2 ( 2 ,0) ,而 l1 与椭圆相切,此时 ?

1 ? h2 ,解得 h ? 1 ? 17 ; 2 k 2

1 ? 2 ? h ? 0, 1 ? 2k 2 ? h2 ,解得 h ? 1 ? 17 ; k 2

[4] 直线 l1 过点 A1 (? 2 ,0) ,而直线 l 2 过点 A2 ( 2 ,0) ,此时 k ? (? 2 ) ? h ? 0, ? 1 ? 2 ? h ? 0, ?h ? 2. k 综上所述,h 的值为 2 , 3 , 1 ? 17 .
2

例 6(2011 广东高考文) (21) (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP 的垂直平分线上一点,且满足 ∠MPO=∠AOP (1) 当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2) 已知 T(1,-1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3) 过点 T(1,-1)且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线

l1 的斜率 k 的取值范围。

20

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三、空间直角坐标系 考纲要求:见《考试说明》51 页 题 1.在空间直角坐标系 O-xyz 中,点 A(1,-2,-3)关于平面 xOz 对称的点的坐标为____________ 关于 y 轴的对称点的坐标为____________.

1 9 ? 6 4 3 题2. (模拟六。9)在空间直角坐标系中,以点 A ? 4,, ? , B ?10, 1, ? , C ? x,, ? 为顶点的 ?ABC 是以 BC 为底边的等腰直角三角形,则实数 x 的值为 ______2

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2012 届高三理科数学高考考前复习资料二

《几何证明选讲》 《坐标系与参数方程》基础知识回归
1.几何证明选讲 考纲要求:重点①平行线分线段成比例定理,直角三角形射影定理。②圆周角定理、圆的切线的判 定定理及性质定理。③圆内接四边形的性质定理与判定定理、相交弦定理、切割线定理。 2.坐标系与参数方程 考纲要求:重点①用极坐标表示点,能进行坐标和直角坐标的互化。②能在极坐标系中给出简单图 形(.如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程。 ③了解参数方程,能选择适当的参数 写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 M A 高考链接:08 题 14、15;09 题 14、15;10 题 14、15. 题 1.(2011 广州调研)如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O , BC 是直径, . 125? 题 2.(2011 佛山检测一) 如图,在 ?ABC 中, DE // BC , EF // CD , 若 BC ? 3, DE ? 2, DF ? 1 ,则 AB 的长为___________. (4.5)
A F D B E
D
B D N

MN 与⊙ O 相切, 切点为 A , ?MAB ? 35? , 则 ?D ?

O C 图3

C
C

B

A P E C D

A E

D F

C

A

D

O

B

A E

B

B

C

题 3.(2011 深圳一模) 如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是半圆 O 上异于 A, 的点, CD ? AB ,垂 B 足为 D ,已知 AD ? 2 ,CB ? 4 3 ,则 CD ? . 2 3 题 4.(2011 揭阳一模)如图所示,圆的内接三角形 ABC 的角平分线 BD 与 AC 交于点 D,与圆交于 点 E,连结 AE,已知 ED=3,BD=6 ,则线段 AE 的长= . 3 3 题 5. 如图, ?ABC 是圆 O 的内接三角形, PA 是圆 O 的切线, A 为切点, PB 交 AC 于点 E , 交圆 O 于点 D,若 PE=PA,?ABC=60°,且 PD=1,BD=8, 则 AC= . 7 题 6. 如图, E 、 F 是梯形 ABCD 腰 AB 、 CD 上的点, EF // AB , BC ? 2EF ? 4 AD ,则四 边形 AEFD 与四边形 EBCF 的面积之比为 . 1: 4 题 7.(2011 广州二模)在梯形 ABCD 中, AD ? BC , AD ? 2 , BC ? 5 ,点 E 、 F 分别在 AB 、 23 . CD 上,且 EF ? AD ,若 AE ? 3 ,则 EF 的长为 EB 4 7 ? x ? 2 ? s, ? x ? ?1 ? 3cos ? , 题 8.曲线 C1 : ? ( s为参数) 的位置关系是______. (相交) (? 为参数) 与 C2 : ? ? y ? 1 ? 2s. ? y ? 2 ? 3sin ? .
? 题 9. 曲线 C 的参数方程是 ? ? 1 x ? 2(t ? ) t ( t 为参数),其普通方程是 ? ? y ? 3(t ? 1) ? t ?

___ .

x2 y2 ? ?1 16 36

题 10. 点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) ,则点 P 的极坐标可以是

. .8

题 11.在极坐标系中,直线 ? ? ( ? ? R) 与圆 ? ? 4cos? ? 4 3 sin ? 交于 A,B 两点,则 | AB |?
? ? ? 6?

题12. 点 A 的极坐标为 ? 2, ? ? , O是极点, 过点 A 且与 OA 垂直的直线 l 的极坐标方程为 _________. ... 题 13. 在极坐标系中,点 A 在曲线 C1: ? ? 2sin(? ? ) 上,点 B 在直线 ? cos? ? ?1 上,则 | AB | 的 4 最小值是 .曲线 C2: ? ? 2 与曲线 C1 的位置关系为________________.

π 3

?

22

2012 届高三理科数学高考考前复习资料二

(? ?

2 ;内切) 2

? cos ? ? ?

? ?

??

??2 6?

或 3? cos ? ? ? sin ? ? 4 ? 0

23


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