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河南省焦作市2017届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

焦作市 2017 届高三第二次模拟考试 数学(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 U ? N * ,集合 A ? ?1,2,3,5? , B ? ?2, 4,6? ,则图中的阴影部分表示的集合为 ( )

A. ?2?

B. ?4, 6?

C. ?1,3,5?

D. ?2,4,6? ) D. ?

2.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 (i ? 1) z ? i ,则 z 的虚部是( A.

1 2

B. ?

1 i 2

C.

1 i 2

1 2

3.若 cos( A.

?
2

??) ?

2 ,则 cos(? ? 2? ) ? ( 3
B.

) C. ?

2 9

5 9

2 9

D. ?

5 9

4.在区间 ? 0, A.

? ?? ? 上任选两个数 x 和 y ,则 y ? sin x 的概率为( ? 2?
B. 1 ?

) D. 1 ?

2 ?2

4

5.将函数 y ? cos(2 x ?

?

?

2

C.

) 图象上的点 P( , t ) 向右平移 m( m ? 0 ) 个单位长度得到点 P ' , 6 4


?

4 ?2

2

?2

若 P ' 位于函数 y ? cos 2 x 的图象上,则(

A. t ? ? C. t ? ?

? 3 , m 的最小值为 6 2
1 ? , m 的最小值为 2 6

B. t ? ? D. t ? ?

? 3 , m 的最小值为 12 2
1 ? , m 的最小值为 2 12


6.执行如图所示的程序框图,若输入 m ? 4 , t ? 3 ,则输出 y ? (

1

A. 183

B. 62

C. 61

D. 184 )

7.在 ( 3 x ? ) 的展开式中,所有项的二项式系数之和为 4096 ,则其常数项为(
n

1 x

A. ?110

B. ?220

C. 220

D. 110

2 8.已知 M 是抛物线 C :y ? 2 px( p ? 0) 上一点,F 是抛物线 C 的焦点, 若 | MF |? p ,K

是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点,则 ?MKF ? ( A. 45 ? 9.函数 f ( x) ?| x | ? B. 30 ? C. 15 ?

) D. 60 ? )

a (其中 a ? R )的图象不可能是( x2

10.已知 P 为矩形 ABCD 所在平面内一点, AB ? 4 , AD ? 3 , PA ? 5 , PC ? 2 5 , 则 PB ? PD ? ( A. ?5

??? ? ??? ?

) B. ?5 或 0 C. 0 ) D. 5

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

2

A.

1 3

B.

1 6

C. 1
2

D. 2

12.已知函数 f ( x) ? (2 x2 ? x ? 1)e x ,则方程 ? ef ( x) ? ? tf ( x) ? 9 e ? 0 ( t ? R )的根的个 数为( A. 3 ) B. 2 C. 5 D. 4

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的一条渐进线与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行,则此双曲 a 2 b2


线的离心率为

? x ? y ? 1 ? 0, 2y ? 14.若实数 x , y 满足 ? x ? 0, 则 的取值范围是 2x ?1 ? y ? 2, ?



15.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有圆窖,周五 丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何?”其意思为: “有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺, 高一丈八尺, 求此容器能装多少斛米. ” 则该圆柱形容器能装米 尺,1 斛 ? 1.62 立方尺,圆周率 ? ? 3 ) 16.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a ? b , a ? c . ?ABC 的 外接圆半径为 1, 若边 BC 上一点 D 满足 BD ? 2 DC , 且 ?BAD ? 90? , 则 ?ABC a ? 3, 的面积为 . 斛. (古制 1 丈 ? 10

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)

3

17.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? 2Sn ? 1 ( n ? N * ) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (2n ?1) ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 18.某市为了制定合理的节电方案,供电局对居民用电进行了调查,通过抽样,获得了某年 200 户居民每户的月均用电量(单位:度) ,将数据按照 [0,100) ,[100, 200) ,[200,300) ,

[300, 400) , [400,500) , [500, 600) , [600, 700) , [700,800) , ?800,900? 分成 9 组,
制成了如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)求直方图中 m 的值并估计居民月均用电量的中位数; (Ⅱ)从样本里月均用电量不低于 700 度的用户中随机抽取 4 户,用 X 表示月均用电量不 低于 800 度的用户数,求随机变量 X 的分布列及数学期望. 19.如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,CA ? CB , 侧面 ABB1 A 点E 、 1 是边长为 2 的正方形,

F 分别在线段 AA1 , A1B1 上,且 AE ?

1 3 , A1 F ? , CE ? EF . 2 4

(Ⅰ)证明:平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ;

4

(Ⅱ)若 CA ? CB ,求直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值. 20.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的短轴端点, P , Q 分别是 a 2 b2

圆 O 与椭圆 C 上任意两点,且线段 PQ 长度的最大值为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 (0, t ) 作圆 O 的一条切线交椭圆 C 于 M , N 两点,求 ?OMN 的面积的最大值. 21.已知函数 f ( x) ? 2 x ? ax2 ? b cos x 在点 ( (Ⅰ)求 a , b 的值,并讨论 f ( x ) 在 ? 0,

?

? 3? , f ( )) 处的切线方程为 y ? . 2 2 4

? ?? ? 上的增减性; ? 2?
x1 ? x2 )?0. 2

(Ⅱ)若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且 0 ? x1 ? x2 ? ? ,求证: f '( (参考公式: cos ? ? cos ? ? ?2sin

? ??
2

sin

? ??
2



请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以坐标原点为 ? y ? 1? 3 t ? 2 ?
极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)判断直线 l 与圆 C 的交点个数; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 交于 A , B 两点,求线段 AB 的长度. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | ?m ( m ? R ) . (Ⅰ)若 m ? 1 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? x 有三个实根,求实数 m 的取值范围.

5

焦作市 2017 届高三第二次模拟考试数学(理科)答案 一、选择题
1-5: BDDCD 6-10: ABACC 11、12: BA

二、填空题
13. 2 14. [ , 4)

4 3

15. 2700

16.

3 4

三、解答题
17.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2S1 ? 1 ? 2a1 ? 1 ,解得 a1 ? ?1 . 当 n ? 2 时, 两式相减得 an ? an?1 ? 2an , 化简得 an ? ?an?1 , an ? 2Sn ? 1 ,an?1 ? 2Sn?1 ? 1, 所以数列 ?an ? 是首项为 ?1 ,公比为 ?1 的等比数列,可得 an ? (?1)n . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? (2n ?1) ? (?1)n , 当 n 为偶数时, bn?1 ? bn ? 2 , Tn ?

n ?2 ? n ; 2

当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数, Tn ? Tn?1 ? bn?1 ? (n ? 1) ? (2n ? 1) ? ?n . 所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? (?1)n ? n . 18.解: (Ⅰ)

1 ?100 ? (0.0004 ? 0.0008 ? 0.0021 ? 0.0025 ? 0.0006 ? 0.0004 ? 0.0002) ? 2m ?100 ,
∴ m ? 0.0015 . 设中位数是 x 度,前 5 组的频率之和为 0.04 ? 0.08 ? 0.15 ? 0.21 ? 0.25 ? 0.73 ? 0.5 , 而前 4 组的频率之和为 0.04 ? 0.08 ? 0.15 ? 0.21 ? 0.48 ? 0.5 , 所以 400 ? x ? 500 , x ? 400 ?

0.5 ? 0.48 ?100 , 0.25

故 x ? 408 ,即居民月均用电量的中位数为 408 度. (Ⅱ)200 户居民月均用电量在 [700,800) 度的户数是 8,月均用电量在 ?800,900? 度的户

6

数是 4. 故随机变量 X 的取值为 0,1,2,3,4, 且 P( X ? 0) ?
1 3 C84 C4 ? C8 70 224 , , ? P ( X ? 1) ? ? 4 4 C12 495 C12 495

2 3 1 4 C4 ? C82 168 C4 ? C8 C4 ? C80 32 1 , P( X ? 3) ? , P( X ? 3) ? , P( X ? 2) ? ? ? ? 4 4 4 C12 495 C12 495 C12 495

所以随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

4

70 224 495 495 224 ? 336 ? 96 ? 4 660 4 ? ? . 故 E( X ) ? 495 495 3
P

168 495

32 495

1 495

19.(Ⅰ)证明:取线段 AB 的中点 M ,连接 EM , CM .

AM ? 1 ,A1 E ? 在正方形 ABB1 A 1 中,
又 ?EAM ? ?FA 1E ?

3 AE AM 2 , 在 Rt ?EAM 和 Rt ?FA ? ? , 1E 中, 2 A1 F A1 E 3

?
2

,∴ Rt ?EAM ~ Rt ?FA1E ,∴ ?AEM ? ?A 1FE ,

从而 ?AEM ? ?A1 EF ? ?A1 FE ? ?A1EF ?

?
2

,∴ ?FEM ?

?
2

,即 EF ? EM .

又 EF ? CE , ME ? CE ? E ,∴ EF ? 平面 CEM , ∵ CM ? 平面 CEM ,∴ CM ? EF , 在等腰 ?CAB 中, CM ? AB ,又 AB 与 EF 相交,故 CM ? 平面 ABB1 A 1,

? 平面 ABC . ∵ CM ? 平面 ABC ,∴平面 ABB1 A 1
(Ⅱ)解:在等腰 ?CAB 中,由 CA ? CB , AB ? 2 知 CA ? CB ? 2 ,且 CM ? 1 . 记线段 A1B1 的中点为 N ,连接 MN ,由(Ⅰ)知, MC , MA , MN 两两垂直, 以 M 为坐标原点,分别以 MC , MA , MN 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向,建立如 图所示的空间直角坐标系 M ? xyz ,则 C (1, 0, 0) , E (0,1, ) , A(0,1, 0) , C1 (1,0, 2) , ∴ CE ? (?1,1, ) , EF ? (0, ?

???? ?

????

???? ?

??? ?

1 2

??? ?

1 2

3 3 , ). 4 2

1 ? ? x ? y ? z ? 0, ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 2 设平面 CEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? CE , n ? EF ,即 ? 即 3 3 ? ? y ? z ? 0, ? 2 ? 4
7

?2 x ? 2 y ? z ? 0, ? ? y ? 2 z.
取 z ? 2 ,则 y ? 4 , x ? 5 ,从而得到平面 CEF 的一个法向量 n ? (5, 4, 2) .

?

???? ? AC1 ? (1, ?1,2) ,记直线 AC1 与平面 CEF 所成角为 ? ,
???? ? ? ???? ? ? AC1 ? n |5?4?4| 30 ? ? ? 则 sin ? ?| cos ? AC1 , n ?|? ???? . ? 18 | AC1 | ? | n | 45 ? 6
故直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值为

30 . 18

20.解: (Ⅰ)∵圆 O 过椭圆 C 的短轴端点,∴ b ? 1 ,又∵线段 PQ 长度的最大值为 3, ∴ a ? 1 ? 3 ,即 a ? 2 ,

y2 ? x 2 ? 1. ∴椭圆 C 的标准方程为 4
(Ⅱ)由题意可设切线 MN 的方程为 y ? kx ? t ,即 kx ? y ? t ? 0 ,则

|t | 1? k 2

? 1 ,得

k 2 ? t 2 ? 1 .①

? y ? kx ? t , ? 2 2 2 联立得方程组 ? y 2 消去 y 整理得 (k ? 4) x ? 2ktx ? t ? 4 ? 0 . 2 , ? ? x ?1 ?4
2 2 2 其中 ? ? (2kt ) ? 4(k ? 4)(t ? 4) ? ?16t ? 16k ? 64 ? 48 ? 0 ,
2 2

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

?2kt t2 ? 4 x x ? , , 1 2 k2 ? 4 k2 ? 4
8

则 | MN |? 1 ? k 2 ?

?16t 2 ? 16k 2 ? 64 .② k2 ? 4
4 3|t | 1 2 3|t | ,∴ S?OMN ? ?1? | MN |? 2 , 2 t ?3 2 t ?3

将①代入②得 | MN |?



3 2 3|t | 2 3 ? ? 1 ,等号成立当且仅当 | t |? ,即 t ? ? 3 . 2 |t | t ?3 |t | ? 3 |t |

综上可知: (S?OMN )max ? 1 .

? ? 1 f '( ) ? 0, ? ? ? 2 ?a ? ? , 21.解: (Ⅰ)由题意知 f '( x) ? 2 ? 2ax ? b sin x ,∴ ? 解得 ? ? ? f ( ? ) ? 3? , ? ?b ? 1, ? 4 ? 2
故 f ( x) ? 2 x ? 当0 ? x ?

1

?
2

?

x 2 ? cos x , f '( x) ? 2 ?

2

时, f '( x) 为减函数,且 f '( ) ? 0 ,

? ?
2

x ? sin x .

∴ f '( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数. (Ⅱ)由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,得 2 x1 ? 所以 2( x1 ? x2 ) ?

x12

?

? cos x1 ? 2 x2 ?

x2 2

?

? cos x2 ,

1

?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? cos x1 ? cos x2 ? 0 ,

两边同除以 x1 ? x2 ,得 2 ?

1

?

( x1 ? x2 ) ?

cos x1 ? cos x2 ?0, x1 ? x2

所以 2 ?

1

?

( x1 ? x2 ) ?

?2sin

x1 ? x2 x ?x sin 1 2 2 2 ? 0, x1 ? x2 2sin x0 sin x1 ? x2 x ?x 2sin x0 sin 1 2 2 2 ? 0 ,得 2 ? x ? 2 . x1 ? x2 ? 0 x1 ? x2

2 x ? x2 令 x0 ? 1 ,得 2 ? x0 ? 2 ?
因为 f '( x) ? 2 ?

2x

?

? sin x ,

9

所以 f '( x0 ) ? 2 ?

2

?

x0 ? sin x0 ?

2sin x0 sin

x1 ? x2 x ?x sin 1 2 2 ? sin x ? sin x ? ( 2 ? 1) , 0 0 x1 ? x2 x1 ? x2 2

x1 ? x2 x ?x sin 2 1 2 ? 2 , 因为 x1 ? x2 x2 ? x1 2 2 sin x1 ? x2 2 ?1 ? 0 , x1 ? x2 2 x ? x2 )?0. 又 x0 ? (0, ? ) ,所以 sin x0 ? 0 ,故 f '( x0 ) ? 0 ,得 f '( 1 2
x ? x1 x ?x x ?x ? ? (0, ) ,易知 0 ? sin 2 1 ? 2 1 ,所以 又 2 2 2 2 2

sin

22.解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的普通方程为 3x ? y ?1 ? 0 , 由 ? ? 2sin ? 得圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 . 因为圆心 (0,1) 在直线 l 上,所以直线 l 与圆 C 的交点个数为 2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AB 为圆 C 的直径,而圆 C 的直径可求得为 2,所以 | AB |? 2 . 23.解: (Ⅰ)∵ m ? 1 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | ?1 . ∴当 x ? ?2 时, f ( x) ? ?3 ,不可能非负; 当 ?2 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,由 f ( x) ? 0 可解得 x ? ? 当 x ? 2 时, f ( x) ? 5 ? 0 恒成立. 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 [? , ??) . (Ⅱ)由方程 f ( x) ? x 可变形为 m ? x? | x ? 2 | ? | x ? 2 | .

1 1 ,于是 ? ? x ? 2 ; 2 2

1 2

? x ? 4, x ? ?2, ? 令 h( x) ? x ? | x ? 2 | ? | x ? 2 |? ?? x, ?2 ? x ? 2, ? x ? 4, x ? 2. ?
作出图象如图所示. 于是由题意可得 ?2 ? m ? 2 .

10

11