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贵州省黔东南州2018届高三数学上学期第一次联考试题理201710260289

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2017-2018 学年高三第一次联考 数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
2 1. 已知集合 A ? ? x | 0 ? x ? 5? , B ? x | x ? 3 x ? 4 ? 0 ,则 A

?

?

B?(



A.

? 0, 4?

B. ? ?1, 4?

C. ? 0,5?

D. ? ?1,5? )

2. 设 i 是虚数单位,复数 z ?

i

?2 ? i?
C.

2

,则复数 z 的模为(

A.

1 2

B.

1 3

1 4

D.

1 5

3. 近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组,得到 样本频率分布直方图如图,其中年龄在 ?30,40? 岁的有 2500 人,年龄在 ?20,30? 岁的有 1200 人,则 m 的值为( )

A.0.013 4. 若 sin ? ?

B. 0.13

C.0.012

D. 0.12 )

1 sin 2? ? sin 2 ? ,且 ? 是第二象限角,则 的值为( 5 cos 2 ?
B. ?

6 6 1 6 1 ? ? C. D. ? 4 6 24 6 24 r r r r r 5. 已知向量 b ? ? 0, 2 ? , ag ) b ? 1 ,且 a ? 1 ,则向量 a 的坐标为(
A.

6 4

A. ? ?

? 3 1? , ? ? ? 2 2?

B. ? ? ?

? ?

3 1? , ? 2 2? ?

-1-

C. ? ?

? 3 1? ? 3 1? , ? , ? 或?? ? ? ? ? 2 2? ? 2 2?

D. ?

?1 3? ?1 3? ?2, 2 ? ?或? ? 2 ,? 2 ? ? ? ? ? ?

6. 如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位: cm ) ,且该三棱锥的外接球的 表面积为 50? cm ,则该三棱锥的体积为(
2



A. 5

B. 10

C. 15

D.30

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? x?2 7. 已知实数 x , y 满足 ? ,则 z ? 3x ? 4 y ? 3 的取值范围是( ? x ? y ?1 ? 0 ?
A. ? ,13 ?



?4 ?3

? ?

B. ? ,13?

?4 ?3

? ?

C. ? ,3 ? ?3 ? )

?4

?

D. ? 3,13?

8. 下列程序框图输出的 a 的值为(

A. 5

B.
2

0

C.

-5

D.10 )

9. 函数 y ? ln x ? x 的图象大致为(

-2-

A.

B.

C.

D.

10. 在 ?ABC 中,若 a sin A ? b sin B ? c sin C ? 0 ,则圆 C : x2 ? y 2 ? 1 与直线

l : ax ? by ? c ? 0 的位置关系是(
A. 相切 B.相交

) D.不确定

C. 相离

x2 y 2 5 ?1 11. 把离心率 e ? 的曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 称之为黄金双曲线. 若以原点为 a b 2
圆心,以虚半轴长为半径画圆 O ,则圆 O 与黄金双曲线 C ( A. 无交点 B.有 1 个交点 C. 有 2 个交点 ) D.有 4 个交点

9 ? 2 ?x ? x ? , x ? 0 12. 已知函数 f ? x ? ? ? , 若方程 f ? x ? ? a 有两个不相等的实数根, 则实数 a 4 ? ? x ? 2, x ? 0
的取值范围是( A. )

? 5 9? ? ,? ? ? ? 2 4? ? 5 9? ?? ,? ? ? 2 4?

? ?2, ?? ?
? ?2, ?? ?

B.

? ?2, ???
9? 4?

C.

D. ? ? , ? ?

? 5 ? 2

? ?2, ?? ?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知函数 f ? x ? 的导数为 f ? ? x ? ,且满足关系式 f ? x ? ? x
3

?

2

0

xdx ? x 2 f ? ?1? ? 3x ,则

f ? ? 2? 的值等于



-3-

14. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, A ?

?
6

,若将一枚质地均匀的骰子先后抛 .

掷两次,所得的点数分别为 a , b ,则满足条件的三角形恰有两解的概率是

15. 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA, PB 是圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线,

A, B 是切点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是



16. 定长为 4 的线段 MN 两端点在抛物线 y 2 ? x 上移动, 设点 P 为线段 MN 的中点, 则点 P 到 y 轴距离的最小值为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? ?2, (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 18. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,与此同时,相关管理部门推出了针对电商 商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商 品好评率为

an 2n ? n ? 2, n ? N * ? . ? an?1 n ? 1

3 3 ,对服务好评率为 ,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. 5 4

(1)是否可以在犯错误率不超过 0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关? (2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易,并从中选 择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率. 注:1.

P ? K 2 ? k0 ?

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0
2

n ? ad ? bc ? ,n ? a ?b ? c ? d 2. K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
19. 如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 为菱形,?PAD 为正三角形, 且 E, F 分别为 AD, AB 的中点, PE ? 平面 ABCD , BE ? 平面 PAD . (1)求证: BC ? 平面 PEB ;

-4-

(2)求 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值.

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 20. 已知 F1 , F2 分别是椭圆 C : 4
(1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点, PF1 PF2 ? ?

5 ,求点 P 的坐标; 4

(2)设过定点 M ? 0, 2? 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,且 ?AOB 为锐角(其中,O 为 坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 21. 已知函数 f ? x ? ? ax ?

a ? 3ln x . x

(1)当 a ? 2 时,求 f ? x ? 的最小值; (2)若 f ? x ? 在 ?1, e? 上为单调函数,求实数 a 的取值范围. 22. 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极

? x ? 2t ? C 坐标系.圆 的极坐标方程哦 ? ? 2cos ? ,直线 l 的参数方程为 ? ,直 1 ( t 为参数) y?t? ? ? 2
线 l 和圆 C 交于 A, B 两点, P 是圆 C 上不同于 A, B 的任意一点. (1)求圆心的极坐标; (2)求点 P 到直线 l 距离的最大值.

-5-

试卷答案 一、选择题 1-5: ADCDC 二、填空题 13. -9 三、解答题 17.解: (1) 14. 6-10:BAAAA 11、12:DC

1 6

15. 2 2

16.

7 4

a a2 2 a 3 a 4 2n ? 2 ? g 2 ? 2 ? g 4 ? 2 ? gL g n ? ? n ? 2, n ? N * ? , a1 1 a2 2 a3 3 an?1 n ? 1 an ? 2n ?1 gn ? n ? 2, n ? N * ? , a1

以上式子相乘得

n * 代入 a1 ? ?2 ,得 an ? ?2 gn n ? 2, n ? N , n * 又 a1 ? ?2 符合上式,故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?2 gn n ? N . 2 n (2) S n ? ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? L ? ng2 , 2 3 n n ?1 2Sn ? ? ? ?1? 2 ? 2 ? 2 ? L ? ? n ? 1?g2 ? ng2 ? ?,

?

?

?

?

?

?

两式相减,得 Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? L ? 2 ? ng 2
2 3 n

n?1

? 2n?1 ? 2 ? ng2n?1 ? ?1? n?g2n?1 ? 2 .

18.解: (1)由题意可得关于商品评价和服务评价的 2 ? 2 列联表: 对服务好评 对商品好评 对商品不满意 合计 所以 K 2 ? 80 70 150
2

对服务不满意 40 10 50

合计 120 80 200

200 ? ?80 ?10 ? 40 ? 70 ? ? 11.111 ? 10.828 , 150 ? 50 ?120 ? 80

-6-

所以可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关. (2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易,则好评的 交易次数为 3 次,不满意的次数为 2 次,令好评的交易为 A, B, C ,不满意的交易为 a , b . 从 5 次交易中,取出 2 次的所有取法

? A, B? , ? A, C ? , ? A, a? , ? A, b? , ? B, C ? , ? B, a ? , ? B, b? , ?C, a ? , ?C, a ? , ?a, b? .共计 10 种情况.
其中只有一次好评的情况是 ? A, a ? , ? A, b? , ? B, a ? , ? B, b ? , ?C, a ? , ?C, b ? ,共计 6 种情况. 因此,只有一次好评的概率为

6 3 ? . 10 5

19.(1)证明:因为 PE ? 平面 ABCD , BE ? 平面 PAD , 所以 PE ? AD, BE ? AD , 又 PE I BE ? E, PE ? 平面 PEB, BE ? 平面 PEB ,所以 AD ? 平面 PEB , 由四边形 ABCD 菱形,得 AD / / BC , 所以 BC ? 平面 PEB . (2)解:

以 E 为原点, EA, EB, EP 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系, 不妨设菱形 ABCD 的边长为 2,则 AE ? ED ? 1, PA ? 2, PE ? 3 ,

BE ? AB2 ? AE 2 ? 3 ,
则点 A ?1, 0, 0 ? , B 0, 3, 0 , C ?2, 3, 0 , D ? ?1, 0, 0 ? , P 0, 0, 3 , F ? ,

?

? ?

?

?

?

?1 3 ? ? 2 2 ,0? ?, ? ?

uuu r uuu r DC ? ?1, 3, 0 , DP ? 1, 0, 3 ,

?

?

?

?

-7-

设平面 PDC 的法向量为 n ? ? x, y , z ? ,

r

r uuu r ?ngDC ? ? x, y, z ?g ?1, 3, 0 ? ? x ? 3 y ? 0 ? ? x ? 3y ? 则由 ? r uuu ,解得 ? , r x ? ? 3z ? ? ngDP ? ? x, y, z ?g 1, 0, 3 ? x ? 3z ? 0 ? ? r 不妨令 z ? 1 ,得 n ? ? 3, ?1,1 ;

?

?

? ?

?

?

又 EF ? ? ?

uuu r

?1

3 ? ,0? ?, 2 2 ? ? ,

?1 3 ? r uuu r ? 3, ?1,1 g? , ,0? 2 2 ngEF ? ? ? 15 . 所以 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值为 ur uuu r ? 5 5 ?1 n EF

?

?

20.解: (1)由已知得 a ? 2, b ? 1, c ? 可得 F1 ? 3, 0 , F2

a 2 ? b2 ? 3 ,

?

? ?

3, 0 ,
uuu r uuu r

?

设点 P ? x, y ?? x ? 0, y ? 0? ,则 PF1 gPF2 ? ? 3 ? x, ? y g 得x ? y ?
2

?

??

5 3 ? x, ? y ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? , 4

?

7 . 4

7 ? 2 x ? y2 ? ? x ?1 ? ? 3? ? 4 ? 1 , 联立 ? 2 ,解得 ? 3 ,即 P ? ? 2 ? ?. ? ? ? x ? y2 ? 1 ?y ? ? 2 ? ? 4
(2)显然 x ? 0 不满足题意,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? 2 ? 2 2 联立 ? x 2 ,消去 y 得 ?1 ? 4k ? x ? 16kx ? 12 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
3 , 4 16k 12 , x1 x2 ? 由韦达定理,得 x1 ? x2 ? ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 uur uu u r 又 ?AOB 为锐角,所以 OAg OB ? 0 ,
由 ? ? ?16k ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?g12 ? 0 ,得 k

2

?

-8-

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 得 x1x2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? 0 ,
2 得 1 ? k x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 ,

?

?

得 1? k 2 g

?

? 1 ?12 4k

2

? 16k ? ? 2k ? ? ? 4 ? 0, 2 ? ? 1 ? 4k ?



4?4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2
2

? 0 ,可得 k 2 ? 4 ,

又k ?

? 4 4 3? ? 3 ? 2 , 2? ,即为 ? k ? 4 ,解得 k ? ? ?2, ? ? U? ? ? ?. 3 3 2 ? ? ? ? 2 ?
2 2 3 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 3ln x ,∴ f ? ? x ? ? 2 ? 2 ? ? . x x x x2

21.解: (1)当 a ? 2 时, f ? x ? ? 2 x ? 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?

1 (舍). 2
2 0 极小值 f ? 2 ?

x
f ? ? x?

? 0, 2?
-

? 2, ???
+

f ? x?

]

Z

又当 x ? 2 时, f ? x ?极小 ? f ? 2 ? ? 5 ? 3ln 2 , ∴当 a ? 2 时,函数 f ? x ? 的最小值为 5 ? 3ln 2 . (2)∵ f ? x ? ? ax ?

a ax 2 ? 3x ? a ? 3ln x ,∴ f ? ? x ? ? ,又 f ? x ? 在 ?1, e? 上为单调函数, x x2

∴当 x ? ?1, e? 时, f ? ? x ? ? 0 或 f ? ? x ? ? 0 恒成立, 也就是 ax ? 3x ? a ? 0 或 ax ? 3x ? a ? 0 对 ?x ? ?1, e? 恒成立,
2 2

即a ?

3x 3x 或a ? 2 对 ?x ? ?1, e? 恒成立. x ?1 x ?1
2

?3 x 2 ? 1 3x 令 G ? x? ? 2 ,则 G? ? x ? ? .∴当 x ? ?1, e? 时, G? ? x ? ? 0 .∴ G ? x ? 在 ?1, e? 上 2 2 x ?1 x ?1

?

?

?

?

单调递减,又当 x ? 1 时, G ? x ? ? ?? ;当 x ? e 时, G ? x ? ?

3e , e ?1
2

-9-

∴a ?

3e 3e ? ? ,故 f ? x ? 在 ?1, e? 上为单调函数时,实数 a 的取值范围为 ? ??, 2 ?. e ?1 e ? 1? ?
2

22.解: (1)因为 ? ? 2cos ? ,所以 ? 2 ? 2? cos? , 故圆 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 , 所以圆心坐标为 ?1,0 ? ,圆心的极坐标为 ?1 , 0? . (2)直线 l 的普通方程是 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 因为圆心 ?1,0 ? 到直线 l : x ? 2 y ? 1 ? 0 的距离 d ?

1?1 ? 0 ? ? ?2 ? ? 1 5

?

2 5 , 5

所以点 P 到直线 l 的距离的最大值为 r ? d ? 1 ?

2 5 . 5

- 10 -