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2013届高三第一次月考数学(理科)试题

2013 届高三第一次月考数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分; 在每小题所给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 已知全集 U ? ?1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ? ,M ? ? 3 , 4 , 5? ,N ? ?1 , 3 , 6? , 则集合 ? 2, 7? 等 于 A. M I N C. ( 痧 M ) U ( U B. ( 痧 M ) I ( U
U U





N)

N)
? i B. ? 4 ? 3i 3 ? 4i

D. M U N ( )

2. 设 i 为虚数单位,则复数 A. ? 4 ? 3i

C. ? ? ?i D. ? ? ?i a b 2 3.设命题 p : x ? 2是 x ? 4 的充要条件,命题 q : 若 2 ? 2 , 则 a ? b ,则 ( ) c c A. p ? q ”为真 B. p ? q ”为真 “ “ C.p 真 q 假 D.p,q 均为假命题 4.已知函数 f ( x ) ? x ? x , 则 a ? b ? 0是 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 的
3





A.充分非必要条件 C.充分必要条件

B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 ( D. ?? ? )

5.某几何体的三视图如图所示,它的体积为 A. 72? B. 48? C. ???

(第 5 题图)

(第 6 题图) ( D. ? )

6. 执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为 A. 105 B. 16 C. ??

1

7.等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 3 ? a 7 ? a11 ? 12 ,则 S13 等于 A.52 8.若函数 f ( x ) ? sin ? x ? 小值为 A.
1 3

( D.58



B.54

C.56

3 cos ? x , x ? R ,又 f (? ) ? ? , (f )? 0? 2

,且 | ? ? ? | 的最 ( )

3? 4

,则正数 ? 的值是 B.
2 3

C.

4 3

D.

3 2

2 9.函数 f ( x ) ? x cos x 在区间 ? 0 , 4 ? 上的零点个数为

( D.7



A.4

B.5

C.6

10.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P , 则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 ( ) 1 1 A. B. 4 6 1 1 C. D. 8 12 11.已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 2

,双曲线 x ? y ? 1 的渐近线与
2 2

椭圆有四个交点, 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16, 则椭圆 C 的方程为 ( A.
x
2



8

?

y

2

2

?1

B.

x

2

12

?

y

2

6

?1

C.

x

2

16

?

y

2

4

?1

D.

x

2

20

?

y

2

5

?1

12. 已知 f ( x ) 为定义在 ( ?? , ?? ) 上的可导函数, f ( x ) ? f ?( x ) 对于任意 x ? R 恒成立, 且 则 A. f (2) ? e ? f (0) , f (2013) ? e
2 2013


? f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0)



B. f (2) ? e ? f (0) , f (2013) ? e
2

2013

C. f (2) ? e ? f (0) , f (2013) ? e
2

2013

D. f (2) ? e ? f (0) , f (2013) ? e
2

2013

2

第Ⅱ卷(非选择题
二.填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分)
n

共 90 分)
?

13.数列 ?a n ? 中, a1 ? 5, a n ? 2 a n ?1 ? 2 ? 1 ( n ? N , n ? 2) ,若存在实数 ? ,使得数列
? an ? ? ? ? ? 为等差数列,则 ? = n ? 2 ?
n n 3 2



14.已知 ( x ? 1) ? x ? L ? ax ? bx ? cx ? 1 ( n ? N *) ,其中 a : b ? 3 :1 ,那么
n?


2 x ? 1 y ? 1 ,若 x ? 2 y ? m ? 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围
2

15.已知 x ? 0, y ? 0 ,且

是 ; 16.如图所示,是一个由三根细铁杆 PA , PB , PC 组成的支架, 三根铁杆的两两夹角都是 60? ,一个半径为 1 的球放在支 架上(支架不变形) ,则球心到 P 的距离为____________.

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 70 分.解答应写出必要的文字说明, 共 证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 设 p :| 4 x ? 3 |? 1 ; q : x ? (2 a ? 1) x ? a ( a ? 1) ? 0 .若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条
2

件,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)
1 已知一枚质地不均匀的硬币,抛掷一次正面朝上的概率为 . ... 3

(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率; (2)抛掷这样的硬币三次后,抛掷一枚质地均匀的硬币一次,记四次抛掷后正面朝上的 .. 总次数为ξ ,求随机变量ξ 的分布列及期望 Eξ 。

3

19. (本小题满分 12 分) 如图,将一副三角板拼接,使它们有公共边 BC,且使两个三角形所在的平面互相垂直。 若∠BAC=90°,AB=AC, ∠CBD=90°, ∠BDC=60°, BC=6。 (1)求证:平面 ABD⊥平面 ACD; (2)求二面角 A—CD—B 的平面角的正切值; (3)设过直线 AD 且与 BC 平行的平面为 ? ,求点 B 到平面 ? 距离。

20. (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n , a n , (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 a n ? 2
2 ? bn

1 2

成等差数列。

,设 cn ?

bn an

求数列 {c n }的前 n 项和 T n .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ? x ? ax ? 4 ( a ? R ).
3 2

(1)若函数 y ? f ( x ) 的图象在点 P(1, f (1) )处的切线的倾斜角为

?
4

,求 a;

(2)设 f ( x ) 的导函数是 f ?( x ) .在(1)的条件下,若 m , n ? ? ? 1,1? ,求 f (m ) ? f ?(n ) 的 最小值; (3)若存在 x 0 ? ( 0 , ?? ) ,使 f ( x 0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围。

22. (本小题满分 10 分) (选修 4-4,坐标系与参数方程)
? x ? 3 cos ? (? 为 参 数 ) 曲 线 C 2 的 极 坐 标 方 程 为 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ? , ? y ? 2 sin ?
2 ? cos ? ? 3 ? sin ? ? 10 ? 0 .点 P 是曲线 C 1 上的动点,求点 P 到曲线 C 2 的最大距离.

4

2013 届高三第一次月考数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1—5 BDACC 6—10 CABCB 11、12 DA

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ? 1 14. 11 15. ? ? 4 , 2 ? 16. 3

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 70 分.解答应写出必要的文字说明, 共 证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 解:由 | 4 x ? 3 |? 1 得, ? 1 ? 4 x ? 3 ? 1 ,故
2

1 2

? x ? 1.

由 x ? (2 a ? 1) x ? a ( a ? 1) ? 0 ? ? x ? a ? ? x ? ? a ? 1 ? ? ? 0 ? ?
? a ? x ? a ?1

??????6 分

Q ? p 是 ? q 的必要而不充分条件, ? p 是 q 的充分而不必要条件,
1 ? 1 ?a ? ?1 ? ? 1? 即 ? ,1? ? ? a , a ? 1? ? ? 2 ? 0 ? a ? .故所求 a 的取值范围是 ? 0, ? . 2 ?2 ? ? 2? ?a ? 1 ? 1 ?

?????????????12 分 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率为 1 2 2 2 2 P1 ? C 3 ? ( ) ? ? . ?????????????4 分 3 3 9 (2)随机变量ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4. ??????5 分
2 3 1 4 0 P (? ? 0 ) ? C 3 ? ( ) ? ? ; 3 2 27 2 3 1 1 2 2 1 0 1 P (? ? 1) ? C 3 ? ( ) ? ? C 3 ? ? ( ) ? ? 3 2 3 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 P (? ? 2 ) ? C 3 ? ? ( ) ? ? C 3 ? ( ) ? ? 3 3 2 3 3

; 27 1 9 ? ; 2 27

10

1 2 2 1 1 3 1 7 2 3 P (? ? 3) ? C 3 ? ( ) ? ? ? C 3 ? ( ) ? ? ; 3 3 2 3 2 54 1 3 1 1 3 P (? ? 4 ) ? C 3 ? ( ) ? ? . 3 2 54

??????9 分

所以ξ 的分布列为

5

ξ P

0
4 4 27 10 9

1
10 27

2
9

3
7

4
1

27 54 54 1 3 Eξ =0× +1× +2× +3× +4× = . ??????????12 分 27 27 27 54 54 2

7

19. (本小题满分 12 分) 解:建系如图:O(0,0,0) ,C(0,-3,0) ,B(0,3,0) ,D( 2 3 ,3,0) , A(0,0,3) ; (1)设 n1 ? ( x1 , y 1 , z 1 ), n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 分别为平面 ACD,平面 ADB 的法向量,
? n ? AC ? 0 ? 1 ? n 1 ? ( ? 3 , ? 1,1) , ? ? n 1 ? CD ? 0 ?
? n ? BD ? 0 ? 2 ? n 2 ? ( 0 ,1,1) ? ? n 2 ? AB ? 0 ?

? n1 ? n 2 ? 0 ,? n1 ? n 2 ,? 平面 ACD ? 平面 ADB ;???????????4 分

(2)平面 CDB 的法向量 n 3 ? ( 0 , 0 ,3) ,
cos ? n 3 , n1 ?? n 3 ? n1 n 3 n1 ? 5 5 , tan ? n 3 , n1 ?? 2

? 二面角 A-CD-B 的正切值为 2

???????????8 分

(3)平面 ? 的法向量 n 4 ? ( x 4 , y 4 , z 4 ) ,
uuu uu r r ? OB ? n ? 0 uu r uuu r 3 ? 4 ? n 4 ? ( , 0, ? 3 ), AB ? (0, 3, ? 3) r r ? uuu uu 2 ? AD ? n 4 ? 0 ?

? B 到平面 ? 的距离 d ?

AB ? n 4 n4

?

6 7 7



??????????12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意知 2 a n ? S n ? 当 n=1 时, 2 a 1 ? a 1 ?
? a1 ? 1 2 1 2 1 2 , S n ?1 ? 2 a n ?1 ? 1 2 1 2 , an ? 0

, 当 n ? 2时 , S n ? 2 a n ?

6

两式相减得 a n ? 2 a n ? 2 a n ?1 ( n ? 2 ), 整理得:
an a n ?1 ? 2(n ? 2)
1 2
1 2 ?2
n ?1

????????4 分

∴数列 { a n } 是
a n ? a1 ? 2
2
n ?1

为首项,2 为公比的等比数列。
?2
n?2

?

????????5 分

(2) a n ? 2

? bn

?2

2n?4

,

∴ bn ? 4 ? 2 n , c n ?
Tn ? 1 2 8 2 ? 8 2
2

ba aa

?

4 ? 2n 2
n?2

?

16 ? 8 n 2
n

????????6 分

0 2
2

? 0 2

?8 2
3 3

?L ?

24 ? 8 n
n ?1

Tn ?

?

?L ?

2 24 ? 8 n 2
n

?

2 16 ? 8 n 2
n ?1

?

16 ? 8 n
n

① ② ??????9 分

1 1 1 1 16 ? 8 n ①—②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? L ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8 n 2 ? 4 ?8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8 n ? 4 ? 4 ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 4n ? n 2 8n ∴Tn ? n 2

????????11 分

????????12 分

21. (本小题满分 12 分)
2 解: (1) f ?( x ) ? ? 3 x ? 2 ax .

????????1 分 ????????3 分

据题意, f ?(1) ? tan

?
4
3

? 1,? ? 3 ? 2 a ? 1, 即 a ? 2 .
2

(2)由(I)知 f ( x ) ? ? x ? 2 x ? 4 , 则 f ?( x ) ? ? 3 x ? 4 x .
2

x
f ?? x? f ? x?

?1
?7

( ? 1, 0)

0 0

(0,1)

1 1
?3

?

+ ↗

?1



?4

∴对于 m ? ? ? 1,1? , f ? m ? 最小值为 f ? 0 ? ? ? 4 .

??????6 分

7

2 ∵ f ? ? x ? ? ? 3 x ? 4 x 的对称轴为 x ?

2 3

,且抛物线开口向下,
f ? ?1 ?

∴ x ? ? ? 1,1? 时, f ?( x ) 最小值为 f ? ? ? 1? 与 ∵ f ? ?1? ? 1, f ? ? ? 1? ? ? 7 , ∴当 x ? ? ? 1,1? 时,
f ?? x ?

中较小者.

的最小值是 ? 7 ??????7 分 ?????? 8 分

∴当 n ? ? ? 1,1? 时, f ? ? n ? 的最小值为 ? 7 , ∴ f ? m ? ? f ? ? n ? 的最小值为 ? 11 。 (3) f ?( x ) ? ? 3 x ( x ?
2a

). 3 ① 若 a ? 0 , 当 x ? 0时, f ?( x ) ? 0 ,? f ( x )在 ?0, ? ? 上单调递减. ?

又 f (0) ? ? 4, 则 当 x ? 0时 , f ( x ) ? ? 4.

? 当 a ≤ 0时 , 不 存 在 x 0 ? 0, 使 f ( x 0 ) ? 0.
② 若 a ? 0 , 则当 0 ? x ?
当x ? 2a 3 时 , f ?( x ) ? 0 2a 3 ] 上单调递增,在[ 2a 3
3

??????10 分

2a 3

时 , f ?( x ) ? 0 ,.

从而 f ( x ) 在(0,

,+ ? ) 上单调递减.
4a 9
3

? 当 x ? ( 0 , ?? )时 , f ( x ) max ? f (

2a 3

)??

8a

27

?

?4?

4a

3

27

? 4.

4a
据题意,

3

? 4 ? 0, 即 a ? 27. ? a ? 3.
3

27 综上, a 的取值范围是(3,+∞).
22. (本小题满分 10 分) (选修 4-4,坐标系与参数方程)

??????12 分

解:设点 P 的坐标为 P ? 3 cos ? , 2 sin ? ? ,由题设,曲线 C 2 的直角坐标方程为
2 x ? 3 y ? 10 ? 0

??????????3 分

则点 P 曲线 C 2 的距离为
| 6 2 sin(? ? ? 13

?
4

d ?

| 6 cos ? ? 6 sin ? ? 10 | 13

) ? 10 | ?

10 ? 6 2 sin(? ? 13

?
4

)

故 d m ax ??

10 ? 6 2 13

??????????10 分

8