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2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件:第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


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第二节
自 主 落 实 · 固 基 础

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

高 考 体 验 · 明 考 情

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1.二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线Ax+By +C=0分成三类: = (1)满足Ax+By+C_____0的点;

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> (2)满足Ax+By+C_____0的点; < (3)满足Ax+By+C______0的点.

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2.二元一次不等式表示平面区域的判断方法

直线l:Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分
为两部分,当点在直线l的同一侧时,点的坐标使式子Ax+ 相同 By+C的值具有_______的符号,当点在直线l的两侧时,点

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相反 的坐标使Ax+By+C的值具有_______的符号.
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3.线性规划中的基本概念
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名称

意义

线性约 一次 由x,y的______不等式(或方程)组成的不等式(组) 束条件

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线性目 一次 关于x,y的_______解析式 标函数 (x,y) 可行解 满足线性约束条件的解_______
集合 可行域 所有可行解组成的________ 最大值 最小值 最优解 使目标函数取得________或________的可行解 最大值 线性规 在线性约束条件下求线性目标函数的________或 最小值 划问题 ________问题
菜 单

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1.可行解与最优解有何关系?最优解是否唯一? 【提示】 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最

优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.
2.点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直线Ax+By+C=0的

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两侧的充要条件是什么?
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【提示】

(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.

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1.(人教A版教材习题改编)如果点(1,b)在两条平行直
线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为 ( ) A.2 B.1 C.3 D.0

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【解析】 由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0, 7 7 即(b- )(b-2)<0,∴ <b<2,∴b应取的整数为1. 8 8
【答案】 B

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2.(2012· 广东高考)已知变量x,y满足约束条件 ?y≤2, ? ?x+y≥1,则z=3x+y的最大值为( ) ?x-y≤1, ? A.12 B.11 C.3 D.-1

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【解析】
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可行域如图中阴
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影部分所示.先画出直线l0 :y=

-3x,平移直线l0 ,当直线过A点
时z=3x+y的值最大,





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?y=2, ?x=3, ? ? 由? 得? ?x-y-1=0, ?y=2. ? ?

∴A点坐标为(3,2).∴z最大=3×3+2=11.
【答案】 B

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?x≥1, ? 3.在平面直角坐标系中,不等式组 ?x+y≤0, 表示 ?x-y-4≤0 ? 的平面区域的面积是________.

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【解析】
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不等式组表示的

区域如图中的阴影部分所示,
?x=1 ? 由? 得A(1,-1) ?x+y=0 ?
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?x=1 ? 由? 得B(1,-3) ?x-y-4=0 ? ?x+y=0 ? 由? 得C(2,-2), ?x-y-4=0 ?

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1 ∴|AB|=2,∴S△ ABC= ×2×1=1. 2
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【答案】

1
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4.(2012· 山东高考改编)设变量x,y满足约束条件 ?x+2y≥2, ? ?2x+y≤4, 则目标函数z=3x-y的取值范围是______. ?4x-y≥-1, ?

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【解析】
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作不等式组表示

的可行域,如图所示,
作直线l0 :3x-y=0,并上 下平移. 当直线过点A、B时,z分别 取得最大值、最小值.
菜 单

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?x+2y-2=0, ? 由? ?2x+y-4=0, ?

得A(2,0).
?4x-y+1=0, ? 1 ? 由 得点B( ,3), 2 ?2x+y-4=0. ?

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1 3 ∴zmax=3×2-0=6,zmin=3× -3=- . 2 2 3 故z的取值范围是[- ,6]. 2
3 【答案】 [- ,6] 2

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?x≥0, ? 若不等式组 ?x+3y≥4, 所表示的平面区域被直线y ?3x+y≤4 ? 4 =kx+ 分为面积相等的两部分,求k的值. 3
【审题视点】 画出不等式组表示的平面区域,直线y 4 4 =kx+ 过定点(0, ),利用面积相等确定直线经过的区域 3 3 边界上的点,然后代入求k值.
菜 单

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【尝试解答】 由图可知,线性规划区域为△ABC边界 及内部. ? 4 4? y=kx+ 恰过A?0, ?, 3 3? ? 4 y=kx+ 将区域平均分 3 成面积相等两部分, 4 ∴直线y=kx+ 一定过 3 线段BC的中点D,易求C(0,4),B(1,1), 1 5 ∴线段BC的中点D的坐标为( , ). 2 2 5 1 4 7 因此 =k× + ,k= . 2 2 3 3
菜 单

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4 1.解答本题的关键是根据直线y=kx+ 过定点(0, 3 4 ),利用面积相等确定直线所经过的边界上的点. 3 2.二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法: (1)同号上,异号下.当B(Ax+By+C)>0时,区域为直 线Ax+By+C=0的上方,当B(Ax+By+C)<0时,区域为直 线Ax+By+C=0的下方. (2)直线定界、特殊点定域.应注意是否包括边界,若 不包括边界,则应将边界画成虚线;若直线不过原点,特 殊点常选取原点.

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(2012· 福建高考)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约 ?x+y-3≤0, ? 束条件?x-2y-3≤0,则实数m的最大值为( ) ?x≥m, ? 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2
【解析】 在同一直角坐标系中作出
?x+y-3≤0, ? x 函数y=2 的图象及 ? 所表 ?x-2y-3≤0 ?

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示的平面区域,如图阴影部分所 示.由图可知,当m≤1时,
菜 单

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函数y=2x的图象上存在点(x,y)满足约束条件,故m的

最大值为1.
【答案】 B

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(2012· 安徽高考改编)已知实数x,y满足约束条件 ?x≥0, ? ?x+2y≥3, ?2x+y≤3. ? (1)求z=x-y的最小值和最大值; (2)若z= x2+y2,求z的取值范围.

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【审题视点】

明确目标函数z的几何意义,数形结合

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找最优解,代入求值.





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?x≥0, ? 【尝试解答】 作约束条件 ?x+2y≥3, 满足的可行 ? 2x+y≤3. ? 域,如图所示为△ABC及其内部. ?x+2y=3, ? 联立? 得A(1,1). ?2x+y=3. ?
?x=0, ? 解方程组? ?2x+y=3, ?

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得点B(0,3).

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(1)由z=x-y,得y=x-z. 平移直线x-y=0,则当其过点B(0,3)时,截距-z最 大;当过点A(1,1)时,截距-z最小,即z最大. ∴zmin=0-3=-3;zmax=1-1=0. (2)过O(0,0)作直线x+2y=3的垂线l交于点N. 观察可行域知,可行域内的点B、N到原点的距离分别 达到最大与最小. |0+0-3| 3 又|ON|= 2 2 =5 5,|OB|=3. 1 +2 3 ∴z的取值范围是[ 5,3]. 5

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1.本题求解的关键在于:(1)准确作出可行域;(2)明确 目标函数的几何意义. 2.(1)线性目标函数z=ax+by的几何意义与直线ax+ by-z=0在y轴上的截距有关,当b>0时,直线ax+by-z= 0在y轴上的截距越大,z值越大;当b<0时,情况相反. y-b (2)常见的非线性目标函数的几何意义: 表示点 x-a (x,y)与点(a,b)连线的斜率; (x-a)2+(y-b)2 表示 点(x,y)与点(a,b)的距离.

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(2012· 课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1,1), B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则 z=-x+y的取值范围是( ) A.(1- 3,2) B.(0,2) C.( 3-1,2) D.(0,1+ 3)

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【解析】 △ABC及其内部如图, 根据题意得C(1+ 3,2). 作直线-x+y=0,并向左上或 右下平移,过点B(1,3)和C(1+ 3, 2)时,z=-x+y取范围的边界值, ∴-(1+ 3)+2<z<-1+3,

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∴z=-x+y的取值范围是 (1- 3,2).

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【答案】

A





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某企业生产A,B两种产品,生产每一吨产品所需的
劳动力、煤和电耗如下表: 产品品种 劳动力(个) 3 A产品 10 B产品 煤(吨) 9 电(千瓦) 4

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4

5

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已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的

利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,
煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业如何安 排生产,才能获得最大利润? 【审题视点】 题目的设问是“该企业如何安排生产,

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才能获得最大利润”,这个利润是由两种产品的利润所决定
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的,因此A,B两种产品的生产数量决定着该企业的总利
润,故可以设出A、B两种产品的生产数量,列不等式组和 建立目标函数.

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【尝试解答】

设生产A,B两种产品分别为x吨,y

吨,利润为z万元,依题意,得

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目标函数为z=7x+12y. 作出可行域,如图阴影所示.

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当直线7x+12y=0向右上方平行移动时,经过M时z取

最大值.

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因此,点M的坐标为(20,24).
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∴该企业生产A,B两种产品分别为20吨和24吨时,才 能获得最大利润.
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1.求解本题的关键是找出线性约束条件,写出所研究

的目标函数,转化为简单的线性规划问题.为寻找各量之间
的关系,最好是列出表格. 2.解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意, 设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出可

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行域并利用数形结合求解;(4)作答.

3.在确定整点最优解时,可先找到使目标函数取得最
值的非整点最优解,然后结合目标函数解析式的结构特点,

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来确定最优解.
菜 单

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(2012·江西高考改编)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种 植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜

和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 0.55万元 0.3万元

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黄瓜 韭菜

4吨 6吨

1.2万元 0.9万元

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为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植

成本)最大,求黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别是多少
亩? 【解】 设种植黄瓜x亩,韭菜y亩,由题意得

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设总利润为z,则z=x+0.9y.
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作可行域如图所示,

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得A(30,20). 当目标函数线l向右平移,
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移至点A(30,20)处时,目标函数取得最大值,即当黄 瓜种植30亩,韭菜种植20亩时,种植总利润最大.

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∴黄瓜和韭菜分别种植30亩、20亩时,一年种植的总利
润最大.
菜 单

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确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定 界,特殊点定域”. (1)直线定界:即若不等式不含等号,则应把直线画成

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虚线.

若不等式含有等号,把直线画成实线.
(2)特殊点定域:当C≠0时,常把原点作为测试点;当C

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=0时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.
菜 单

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利用线性规划求最值的步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域;

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(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;
(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后
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的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数求最值.
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1.画平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一 次不等式标准化. 2.求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,利用其 a z z 几何意义,通过求y=- x+ 的截距 的最值间接求出z的最 b b b z 值.要注意:当b>0时,截距 取最大值时,z也取最大值; b z 截距 取最小值时,z也取最小值.当b<0时,结论与b>0的 b 情形恰好相反.

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从近两年的高考试题来看,二元一次不等式(组)表示的

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平面区域,求线性目标函数的最值是高考命题的热点,难度
中等偏下,主要考查可行域的画法、目标函数最值的求法、
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由最优解(可行域)情况确定参数的范围,以及数形结合的思 想.求解的常见错误是忽视题目的约束条件与目标函数的几 何意义导致错误.
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易错辨析之十一 忽视题目中的个别约束条件致误

(2011· 湖南高考)设m>1,在约束条件 下,目 标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为( ) A.(1,1+ 2) B.(1+ 2,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞)

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1 z 【错解】 变形目标函数为y=- x+ . m m

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作不等式组 表示的平面区域(如图中的阴影 部分所示). 1 z 当直线l:y=- x+ 在y轴 m m 上的截距最大时,目标函数取最大值. 平移直线l,当l过点B时,z有最大值.

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1 m 因此z=x+my的最大值zmax= + . 2 2 1 m 依题意, + <2(m>1),得1<m<3. 2 2 故实数m的取值范围是(1,3).

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【答案】

C

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错因分析:(1)忽视条件m>1,没能准确判定直线l的斜 率范围,导致错求最优解,从而错得实数m的取值范围.

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(2)本题易出现不能正确画出可行域或错认为直线l过原
点时,z取得最大值的错误.
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防范措施:(1)审清题意,不能忽视参数取值的影响. (2)对于题目中最值条件的确定至关重要,明确目标函 数的最值与m的关系,且计算一定要准确,防止误选B、D的
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错误.
菜 单

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【正解】 变形目标函数为 1 z y=- x+ . m m

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作不等式组 表示的平面区域(如图中的阴影部分所示). 1 ∵m>1,∴-1<- <0. m 1 z 因此当直线l:y=- x+ 在y轴上的截距最大时,目标 m m 函数取得最大值.显然在点A处,直线l的截距最大.
菜 单

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1 m2 因此z=x+my的最大值zmax= + . 1+m 1+m 1 m2 依题意 + <2,即m2-2m-1<0, 1+m 1+m 解得1- 2<m<1+ 2, 故实数m的取值范围是(1,1+ 2).

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【答案】

A

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1.(2012·天津高考)设变量x,y满足约束条件

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则目标函数z=3x-2y的最小值为(

)

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A.-5

B.-4

C.-2

D.3
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【解析】

画出可行域,如

图阴影部分所示,当目标函
数线移至点A处时,目标函数 取得最小值,且A(0,2), 故zmin=3×0-2×2=-4.

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【答案】

B
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2.(2012· 陕西高考)设函数 D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲 线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x-2y在D上 的最大值为________.

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【解析】 ∵x>0时,y=ln x, 1 ∴y′= (x>0). x ∴在点(1,0)处的切线方程为 y=x-1, 可行域为阴影部分(如图所示).

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x z 当直线y=- - 过点C时,截距最小. 2 2 ∴z=x-2y在点C处取得最大值,且C(0,-1),zmax= 2.

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【答案】
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2
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课后作业(三十七)

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